9.1: Introducción al principio de acción de Hamilton

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El principio de acción estacionaria de Hamilton se introdujo en dos artículos publicados por Hamilton en\(1834\) y el principio de acción de\(1835.\) Hamilton proporciona la base para construir mecánicas lagrangianas que habían sido pioneras\(46\) años antes. El Principio de Hamilton subyace ahora a la física teórica y a muchas otras disciplinas en matemáticas y economía. En\(1834\) Hamilton buscaba una teoría de la óptica cuando desarrolló tanto su principio de acción estacionaria, más el campo de la mecánica hamiltoniana.

El principio de acción de Hamilton se basa en definir la función de acción ¹\(S\) para coordenadas\(n\) generalizadas que son expresadas por el vector\( \mathbf{q,}\) y su vector de velocidad correspondiente\(\mathbf{ \dot{q}}\).

\[S=\int_{t_{i}}^{t_{f}}L(\mathbf{q,\dot{q},}t\mathbf{)}dt\]

La acción escalar\(S,\) es una función de la lagrangiana\(L(\mathbf{q,\dot{q} ,}t\mathbf{)}\), integrada entre un tiempo inicial\(t_{i}\) y un tiempo final\( t_{f}\). En principio, podrían incluirse las derivadas de tiempo de orden superior de las coordenadas generalizadas, pero la mayoría de los sistemas en mecánica clásica se describen adecuadamente al incluir solo las coordenadas generalizadas, más sus velocidades. La definición de la acción funcional permite lagrangianos más generales que el lagrangiano estándar\(L(\mathbf{q,\dot{q},}t)=T( \mathbf{\dot{q},}t)-U(\mathbf{q},t)\) que se ha utilizado a lo largo de los capítulos\(5-8\). Hamilton afirmó que la trayectoria real de un sistema mecánico es la que se da al requerir que la acción funcional sea estacionaria con respecto al cambio de las variables. La acción funcional es estacionaria cuando el principio variacional puede escribirse en términos de un desplazamiento virtual\(\delta ,\) infinitossimal, ser

\[\delta S=\delta \int_{t_{i}}^{t_{f}}L(\mathbf{q,\dot{q},}t\mathbf{)}dt=0\]

Típicamente el punto estacionario corresponde a un mínimo de la acción funcional. La aplicación del cálculo variacional a la función de acción conduce a las mismas ecuaciones de movimiento de Lagrange para sistemas que las ecuaciones derivadas usando el Principio de d'Alembert, si los términos adicionales de fuerza generalizada\( \sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q} ,t)+Q_{j}^{EXC}\), se omiten en las ecuaciones correspondientes de movimiento.

Estas se utilizan para derivar las ecuaciones de movimiento, que luego se resuelven para un conjunto supuesto de condiciones iniciales. Antes del Principio de Acción de Hamilton, Lagrange desarrolló la mecánica lagrangiana basada en el Principio de d'Alembert en contraste con las ecuaciones de movimiento newtonianas que se definen en términos de las Leyes del Movimiento de Newton.

¹ El término “función de acción” se denominó “Función principal de Hamilton” en textos antiguos. El nombre suele abreviarse como “acción” en la mecánica moderna.