9.3: Lagrangiano

Estándar Lagrangiano

La mecánica lagrangiana, como se introdujo en el capítulo,\(6,\) se basó en los conceptos de energía cinética y energía potencial. El principio de trabajo virtual de d'Alembert se utilizó para derivar la mecánica lagrangiana en capítulo\(6\) y esto condujo a la definición del estándar lagrangiano. Es decir, el estándar lagrangiano se definió en capítulo\(6.2\) como la diferencia entre las energías cinéticas y potenciales.

\[L(\mathbf{q, \dot{q},}t)=T(\mathbf{\dot{q},}t)-U(\mathbf{q},t)\]

Hamilton extendió la mecánica lagrangiana definiendo el Principio de Hamilton\((9.1.2)\), ecuación, que establece que un sistema dinámico sigue un camino para el cual la acción funcional es estacionaria, es decir, la integral de tiempo del lagrangiano. El capítulo\(6\) mostró que el uso del estándar Lagrangiano para definir la acción funcional conduce a las ecuaciones variacionales de Euler-Lagrange

\[\left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_{j}}\right\} =Q_{j}^{EXC}+\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q},t) \label{9.51}\]

Los términos del multiplicador de Lagrange manejan las fuerzas de restricción holonómicas y\( Q_{j}^{EXC}\) manejan las fuerzas generalizadas excluidas restantes. Los capítulos\(6-8\) mostraron que el uso del estándar Lagrangiano, con las ecuaciones de Euler-Lagrange\ ref {9.51}, proporciona una manera notablemente poderosa y flexible de derivar ecuaciones de movimiento de segundo orden para sistemas dinámicos en mecánica clásica.

Tenga en cuenta que las ecuaciones de Euler-Lagrange, expresadas únicamente en términos de la norma lagrangiana\ ref {9.51}, es decir, excluyendo los\(Q_{j}^{EXC}+ \sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q} ,t)\) términos, son válidas solo bajo las siguientes condiciones:

1. Las fuerzas que actúan sobre el sistema, aparte de cualquier fuerza de restricción, deben ser derivables de potenciales escalares.
2. Las ecuaciones de restricción deben ser relaciones que conecten las coordenadas de las partículas y pueden ser funciones del tiempo, es decir, las restricciones son holonómicas.

Los\(Q_{j}^{EXC}+\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{ \partial q_{j}}(\mathbf{q},t)\) términos amplían el rango de validez del uso del estándar Lagrangiano en las ecuaciones de Lagrange-Euler introduciendo explícitamente fuerzas restrictivas y omitidas.

Los capítulos\(6-8\) explotaron la mecánica lagrangiana basada en el uso de la definición estándar del lagrangiano. El presente capítulo mostrará que la poderosa formulación lagrangiana, utilizando el estándar lagrangiano, puede extenderse para incluir lagrangianos alternativos no estándar que pueden aplicarse a sistemas dinámicos donde el uso de la definición estándar del lagrangiano es inaplicable. Si estos lagrangianos no estándar satisfacen el Principio de Acción de Hamilton\((9.1.2)\), entonces pueden usarse con las ecuaciones de Euler-Lagrange para generar las ecuaciones correctas de movimiento, aunque el lagrangiano pueda no tener la relación simple con las energías cinéticas y potenciales adoptadas por el estándar Lagrangiano. Actualmente, el desarrollo y explotación de lagrangianos no estándar es un campo activo de la mecánica lagrangiana.

Invarianza de calibre del estándar Lagrangiano

Tenga en cuenta que el lagrangiano estándar no es único, ya que existe un espectro continuo de lagrangianos estándar equivalentes que conducen a ecuaciones idénticas de movimiento. Esto se debe a que el Lagrangiano\(L\) es una cantidad escalar que es invariante con respecto a las transformaciones de coordenadas. Las siguientes transformaciones cambian el estándar lagrangiano, pero dejan inalteradas las ecuaciones de movimiento.

1. El Lagrangiano es indefinido con respecto a la adición de una constante al potencial escalar que se cancela cuando se aplican las derivadas en las ecuaciones diferenciales de Euler-Lagrange.
2. El lagrangiano es indefinido con respecto a la adición de una energía cinética constante.
3. El lagrangiano es indefinido con respecto a la adición de una derivada de tiempo total de la forma\(L_{2}\rightarrow L_{1}+ \frac{d}{dt}\left[ \Lambda (q_{i},t)\right] ,\) para cualquier función diferenciable\(\Lambda (q_{i}t)\) de las coordenadas generalizadas más tiempo, que tenga segundas derivadas continuas.

Esta última afirmación se puede probar considerando una transformación entre dos lagrangianos estándar relacionados de la forma

\[ \label{9.52} L_{2}(\mathbf{q},\overset{.}{q},t)=L_{1}(\mathbf{q},\overset{.}{q},t)+\frac{ d\Lambda (\mathbf{q},t)}{dt}=L_{1}(\mathbf{q},\overset{.}{q},t)+\left( \frac{ \partial \Lambda (\mathbf{q},t)}{\partial q_{j}}\dot{q}_{j}+\frac{\partial \Lambda (\mathbf{q},t)}{\partial t}\right)\]Esto lleva a un Lagrangiano estándar\(L_{2}\) que tiene las mismas ecuaciones de movimiento que se muestran sustituyendo la Ecuación\ ref {9.52} en las ecuaciones de Euler-Lagrange.\(L_{1}\) Es decir,

\[\begin{align} \label{9.53} \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L_{2}}{\partial \dot{q}_{j}}\right) -\frac{ \partial L_{2}}{\partial q_{j}} &=\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L_{1}}{ \partial \dot{q}_{j}}\right) -\frac{\partial L_{1}}{\partial q_{j}}+\frac{ \partial ^{2}\Lambda (\mathbf{q},t)}{\partial t\partial q_{j}}-\frac{ \partial ^{2}\Lambda (\mathbf{q},t)}{\partial t\partial q_{j}} \\[4pt] &=\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L_{1}}{\partial \dot{q}_{j}}\right) -\frac{\partial L_{1}}{\partial q_{j}} \end{align}\]

Así, aunque los lagrangianos relacionados\(L_{1}\) y\(L_{2}\) son diferentes, son completamente equivalentes en cuanto generan ecuaciones idénticas de movimiento.

Existe un rango ilimitado de lagrangianos estándar equivalentes que conducen a las mismas ecuaciones de movimiento y satisfacen los requisitos de los lagrangianos. Es decir, no existe una elección única entre la amplia gama de lagrangianos estándar equivalentes expresados en términos de coordenadas generalizadas. Esta discusión es un ejemplo de invarianza de calibre en física.

Las teorías modernas en física describen la realidad en términos de campos potenciales. La invarianza de calibre, que también se llama simetría de calibre, es una propiedad de la teoría de campos para la cual diferentes campos subyacentes conducen a cantidades observables idénticas. Ejemplos bien conocidos son el campo de potencial eléctrico estático y el campo de potencial gravitacional donde se puede agregar cualquier constante arbitraria a estos potenciales escalares con impacto cero en el campo eléctrico estático observado o el campo gravitacional observado. Las teorías de calibre constriñen las leyes de la física en que el impacto de las transformaciones de calibre debe cancelarse cuando se expresa en términos de los observables. La simetría de calibre juega un papel crucial tanto en las manifestaciones clásicas como cuánticas de la teoría de campo, por ejemplo, es la base del Modelo Estándar de interacciones electrodébiles y fuertes.

Los lagrangianos equivalentes son una clara manifestación de la invarianza de calibre como se ilustra por las ecuaciones\ ref {9.52},\ ref {9.53} que muestran que agregar cualquier derivada de tiempo total de una función escalar\(\Lambda (\mathbf{q,}t)\) a la lagrangiana no tiene consecuencias observables en las ecuaciones de movimiento. Es decir, aunque la adición de la derivada de tiempo total de la función escalar\(\Lambda ( \mathbf{q},t)\) cambia el valor de la lagrangiana, no cambia las ecuaciones de movimiento para los observables derivados usando lagrangianos estándar equivalentes.

Para las formulaciones lagrangianas de la mecánica clásica, la invarianza del calibre es fácilmente evidente por la inspección directa del lagrangiano.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Gauge invariance in electromagnetism

El potencial eléctrico escalar\(\Phi\) y los\(A\) campos de potencial vectorial en el electromagnetismo son ejemplos de campos invariables de calibre. Estos campos de potencial electromagnético no son directamente observables, es decir, las cantidades observables electromagnéticas son el campo eléctrico\(E\) y el campo magnético\(B\) que pueden derivarse de los campos potenciales escalar y vectoriales\(\Phi\) y\(A\). Una ventaja de usar los campos potenciales es que reducen el problema de\(6\) componentes,\(3\) cada uno para\(E\) y\(B,\) para\(4\) componentes, uno para el campo escalar\(\Phi\) y\(3\) para el potencial vectorial\(A\). El Lagrangiano para la fuerza de Lorentz dependiente de la velocidad, dada por la ecuación\((6.10.7)\), proporciona un ejemplo de invarianza de calibre. Ecuaciones\((6.10.3)\) y\((6.10.5)\) mostraron que los campos eléctricos y magnéticos pueden expresarse en términos de potenciales escalares y vectoriales\( \Phi\) y\(\mathbf{A}\) por las relaciones

\[\mathbf{B}=\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{A}\]

\[\mathbf{E}=-\boldsymbol{\nabla}\Phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\nonumber\]

Las ecuaciones de movimiento para una carga\(q\) en un campo electromagnético se pueden obtener usando el Lagrangiano

\[L=\frac{1}{2}m\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}-q(\Phi -\mathbf{A\cdot v)}\nonumber\]

Consideremos las transformaciones\(\left( \mathbf{A,}\Phi \right) \rightarrow \left( \mathbf{A}^{\prime },\Phi ^{\prime }\right)\) en el Lagrangiano transformado\(L^{\prime }\) donde

\[\mathbf{A}^{\prime }=\mathbf{A}+\nabla \Lambda (\mathbf{r,}t)\nonumber\]

\[\Phi ^{\prime }=\Phi -\frac{\partial \Lambda (\mathbf{r,}t)}{\partial t}\nonumber\]

El Lagrangiano transformado Lorentz-force\(L^{\prime }\) está relacionado con el Lagrangiano original Lorentz-force\(L\) por

\[L^{\prime }=L+q\left[ \mathbf{\dot{r}\cdot }\nabla \Lambda (\mathbf{r,}t)+ \frac{\partial \Lambda (\mathbf{r,}t)}{\partial t}\right] =L+q\frac{d}{dt} \Lambda (\mathbf{r,}t)\nonumber\]

Tenga en cuenta que el término aditivo\(q\frac{d}{dt}\Lambda (\mathbf{r,}t)\) es un diferencial de tiempo exacto. Así, el Lagrangiano\(L^{\prime }\) es calibre invariante, lo que implica ecuaciones idénticas de movimiento que se obtienen utilizando cualquiera de estos Lagrangianos equivalentes.

Los campos de fuerza\(\mathbf{E}\) y\(\mathbf{B}\) pueden ser utilizados para mostrar que la transformación anterior es invariante de calibre. Es decir,

\[\begin{align*} \mathbf{E}^{\prime } &=-\boldsymbol{\nabla}\Phi ^{\prime }-\frac{\partial \mathbf{ A}^{\prime }}{\partial t} \\[4pt] &=-\boldsymbol{\nabla}\Phi -\frac{\partial \mathbf{A}}{ \partial t} \\[4pt] &=\mathbf{E} \\[4pt] \mathbf{B}^{\prime } &=\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{A}^{\prime } \\[4pt] &=\boldsymbol{ \nabla }\times \mathbf{A} \\[4pt] &=\mathbf{B} \end{align*}\]

Es decir, los términos aditivos debido al campo escalar\(\Lambda ( \mathbf{r,}t)\) cancelan. Así, los campos de fuerza electromagnética después de una transformación invariante de calibre se muestran idénticos de acuerdo con lo que se deduce directamente por la inspección del lagrangiano.

Lagrangianos no estándar

La definición del estándar Lagrangiano se basó en el principio variacional diferencial de d'Alembert. La flexibilidad y el poder de la mecánica lagrangiana se pueden extender a una gama más amplia de sistemas dinámicos empleando una definición extendida del Lagrangiano que se basa en la ecuación del Principio de Hamilton\((9.1.2)\). Tenga en cuenta que el Principio de Hamilton se introdujo\(46\) años después del desarrollo de la formulación estándar de la mecánica lagrangiana. El Principio de Hamilton proporciona una definición general del lagrangiano que se aplica a los lagrangianos estándar, que se expresan como la diferencia entre las energías cinética y potencial, así como a los lagrangianos no estándar donde puede que no haya una separación clara en términos cinéticos y energéticos potenciales. Estos lagrangianos no estándar pueden ser utilizados con las ecuaciones de Euler-Lagrange para generar las ecuaciones correctas de movimiento, aunque no tengan relación con las energías cinéticas y potenciales. La definición extendida del lagrangiano basada en la acción funcional de Hamilton\((9.1.1)\) puede explotarse para desarrollar definiciones no estándar del lagrangiano que puedan aplicarse a sistemas dinámicos donde el uso de la definición estándar es inaplicable. Los lagrangianos no estándar pueden ser tan útiles como el lagrangiano estándar para derivar ecuaciones de movimiento para un sistema. En segundo lugar, los lagrangianos no estándar, que no tienen interpretación energética, están disponibles para derivar las ecuaciones de movimiento para muchos sistemas no conservadores. En tercer lugar, los lagrangianos son útiles independientemente de cómo se derivaron. Por ejemplo, se pueden utilizar para derivar leyes de conservación o las ecuaciones del movimiento. Las transformaciones de coordenadas del Lagrangiano es mucho más simple que la requerida para transformar las ecuaciones de movimiento. El lagrangiano relativista definido en capítulo\(17.6\) es un ejemplo bien conocido de un lagrangiano no estándar.

Cálculo variacional inverso

Los lagrangianos y hamiltonianos no estándar no se basan en el concepto de energías cinéticas y potenciales. Por lo tanto, el desarrollo de lagrangianos y hamiltonianos no estándar requiere un enfoque alternativo que asegure que satisfagan el Principio de Hamilton, ecuación\((9.1.2)\), que subyace a las formulaciones lagrangianas y hamiltonianas. Un enfoque alternativo útil es derivar el lagrangiano o hamiltoniano a través de un proceso variacional inverso basado en el supuesto de que se conocen las ecuaciones de movimiento. Helmholtz desarrolló el campo del cálculo variacional inverso que juega un papel importante en el desarrollo de lagrangianos no estándar. Un ejemplo de este enfoque es el uso de la conocida fuerza Lorentz como base para derivar un Lagrangiano correspondiente para manejar sistemas que involucran fuerzas electromagnéticas. El cálculo variacional inverso es una rama de las matemáticas que está más allá del alcance de este libro de texto. El teorema de Douglas afirma que, si se cumplen las tres condiciones de Helmholtz, entonces existe un Lagrangiano que, cuando se usa con las ecuaciones diferenciales de Euler-Lagrange, conduce al conjunto dado de ecuaciones de movimiento. Así, se asumirá que la técnica de cálculo variacional inverso puede ser utilizada para derivar un lagrangiano a partir de ecuaciones conocidas de movimiento.