12.4: Marco de referencia en rotación más traslación

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Considere el caso donde el sistema está acelerando en traslación así como girando, es decir, el marco imprimado es el marco de traslación no giratorio. El vector de posición\(\mathbf{r}_{fix}\) se toma con respecto a la trama no cebada fija inercial que se puede escribir en términos de los vectores de base de unidad fija\((\widehat{\mathbf{i}}_{fix}, \widehat{\mathbf{j}}_{fix}, \widehat{\mathbf{k}}_{fix})\). Este\(\mathbf{r}_{fix}\) vector se puede escribir como la suma vectorial del movimiento de traslación\(\mathbf{R}_{fix}\) del origen del sistema giratorio con respecto al marco fijo, más la posición\(\mathbf{r}^{\prime}_{mov}\) con respecto a esta base de fotograma cebado de traslación

\[\mathbf{r}_{fix} = \mathbf{R}_{fix} + \mathbf{r}^{\prime}_{mov} \label{12.18}\]

El diferencial de tiempo es

\[\left(\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right)_{fix} = \left(\frac{d\mathbf{R}}{dt}\right)_{fix} + \left(\frac{d\mathbf{r}^{\prime}_{mov}}{dt}\right) \label{12.19}\]

El vector\(d\mathbf{r}^{\prime}\) es la posición con respecto al marco de referencia de traducción que se puede expresar en términos de los vectores unitarios\(\left(\widehat{\mathbf{i}^{\prime}}_{mov}, \widehat{\mathbf{j}^{\prime}}_{mov}, \widehat{\mathbf{k}^{\prime}}_{mov}\right)\).

La ecuación\ ref {12.19} toma en cuenta el movimiento traslacional de la base del fotograma cebado móvil. Ahora, suponiendo que el marco doble cebado gira alrededor del origen del marco cebado móvil, entonces el desplazamiento neto con respecto a la base del marco inercial original se puede combinar con la ecuación que\((12.3.3)\) conduce a la relación

\[\left(\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right)_{fix} = \left(\frac{d\mathbf{R}}{dt}\right)_{fix} + \left(\frac{d\mathbf{r}^{\prime\prime}}{dt}\right)_{rot} + \omega \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov} \label{12.20}\]

Aquí el marco de doble cebado es tanto giratorio como traslativo. Los vectores en este marco se expresan en términos de los vectores de base unitaria\(\left(\widehat{\mathbf{i}^{\prime\prime}}_{rot}, \widehat{\mathbf{j}^{\prime\prime}}_{rot}, \widehat{\mathbf{k}^{\prime\prime}}_{rot}\right)\).

Expresada como velocidades, la ecuación\ ref {12.20} puede escribirse como

\[\mathbf{v}_{fix} = \mathbf{V}_{fix} + \mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot} + \omega \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov} \label{12.21}\]

donde:

\(\mathbf{v}_{fix}\)es la velocidad medida con respecto a la base de cuadro inercial (no imprimado).
\(\mathbf{V}_{fix}\)es la velocidad del origen de la base de trama de traslación no inercial (imprimada) con respecto al origen de la base de trama inercial (no imprimada).
\(\mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot}\)es la velocidad de la partícula con respecto a la base del marco giratorio no inercial (doble cebado) cuyo origen es tanto de traslación como de rotación.
\(\omega \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov}\)es el movimiento del marco giratorio (doble cebado) con respecto a la base del marco de traslación lineal (cebado). Así, esta relación toma en cuenta tanto la velocidad de traslación más la rotación de los vectores de base del marco de coordenadas de referencia.