13.4: Tensor de inercia

El término corchete en\((13.3.9)\) se llama el momento de inercia tensor\(\mathbf{I}\), que generalmente se conoce como el tensor de inercia

\[I_{ij} \equiv \sum^{N}_{\alpha} m_{\alpha} \left[ \delta_{ij} \left( \sum^3_k x^2_{\alpha , k} \right) − x_{\alpha , i} x_{\alpha , j} \right] \label{13.12}\]

En la mayoría de los casos es más útil expresar los componentes del tensor de inercia en forma integral sobre la distribución de masa en lugar de una suma para cuerpos\(N\) discretos. Es decir,

\[I_{ij} = \int\rho (\mathbf{r}^{\prime} ) \left( \delta_{ij} \left( \sum^3_k x^2_{k} \right) − x_{i} x_{ j} \right) dV\]

El tensor de inercia es más fácil de entender cuando se escribe en coordenadas\(\mathbf{r}^{\prime}_{\alpha} = (x_{\alpha}, y_{\alpha}, z_{\alpha})\) cartesianas que en la forma\(\mathbf{r}^{\prime}_{\alpha} = (x_{\alpha ,1}, x_{\alpha ,2}, x_{\alpha ,3})\). Entonces, los momentos diagonales de inercia del tensor de inercia son

\ [\ begin {align}
I_ {x x} &\ equiv\ suma_ {\ alpha} ^ {N} m_ {\ alpha}\ left [x_ {\ alpha} ^ {\ alpha} ^ {\ alpha} ^ {\ alpha} +z_ {\ alpha} ^ {\ alpha} ^ {\ alpha} ^ {\ alpha} ^ {2}\ derecha] =\ suma_ {\ alpha} ^ {\ alpha}} m_ {\ alfa}\ izquierda [y_ {\ alfa} ^ {2} +z_ {\ alfa} ^ {2}\ derecha]\\ [4pt]\ notag
I_ {y y} &\ equiv\ suma_ {\ alfa} ^ {N} m_ {\ alfa}\ izquierda [x_ {\ alfa} ^ {2} +y_ {\ alfa} ^ {2} +z_ {\ alfa} ^ {2} -y_ {\ alfa} ^ {2}\ derecha] =\ suma_ {\ alfa} ^ {N} m_ {\ alfa}\ izquierda [x_ {\ alpha} ^ {\ alpha} +z_ {\ alfa} ^ {2}\
iderecha]\\ [4pt] _ {z z} &\ equiv\ suma_ {\ alfa} ^ {N} m_ {\ alfa}\ izquierda [x_ {\ alpha} ^ {\ alpha} ^ {\ alpha} ^ {\ alpha} ^ {\ alpha} ^ {\ alpha} ^ {\ alpha} ^ {\ alpha} ^ {2}\ derecha] =\ suma_ {\ alfa} ^ {N} m_ {\ alfa}\ izquierda [x _ {\ alpha} ^ {2} +y_ {\ alpha} ^ {2}\ derecha]
\ noetiqueta\ end {align}\]

mientras que los productos de inercia fuera de la diagonal son

\[\begin{align} I_{yx} & = I_{xy} \equiv - \sum^N_{\alpha} m_{\alpha} [x_{\alpha} y_{\alpha}] \\[4pt] \notag I_{zx} & = I_{xz} \equiv - \sum^N_{\alpha} m_{\alpha} [x_{\alpha} z_{\alpha}] \\[4pt] \notag I_{zy} & = I_{yz} \equiv - \sum^N_{\alpha} m_{\alpha} [y_{\alpha} z_{\alpha}] \end{align}\]

Tenga en cuenta que los productos de inercia son simétricos en que

\[I_{ij} = I_{ji}\]

La notación anterior para el tensor de inercia permite que el momento angular\ ref {13.12} se escriba como

\[L_i = \sum^3_j I_{ij} \omega_j \]

Ampliado en coordenadas cartesianas

\[\begin{align} L_x & = I_{xx} \omega_x + I_{xy} \omega_y + I_{xz} \omega_z \\[4pt] \notag L_y & = I_{yx} \omega_x + I_{yy} \omega_y + I_{yz} \omega_z \\[4pt] \notag L_z & = I_{zx} \omega_x + I_{zy} \omega_y + I_{zz} \omega_z \end{align}\]

Tenga en cuenta que cada punto fijo en un cuerpo tiene un tensor de inercia específico. Los componentes del tensor de inercia en un punto especificado dependen de la orientación del marco de coordenadas cuyo origen se encuentra en el punto fijo especificado. Por ejemplo, el tensor de inercia para un cubo es muy diferente cuando el punto fijo está en el centro de masa en comparación con cuando el punto fijo está en una esquina del cubo.