13.5: Formulaciones Matriz y Tensor de Rotación de Cuerpo Rígido-Cuerpo

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La notación anterior es torpe y se puede simplificar mediante el uso de métodos matriciales. Escribe el tensor de inercia en forma de matriz como

\[\{\mathbb{I}\}= \begin{pmatrix} I_{11} & I_{12} & I_{13} \\ I_{21} & I_{22} & I_{23} \\ I_{31} & I_{32} & I_{33} \end{pmatrix}\]

La velocidad angular y el momento angular pueden escribirse como vectores de columna, es decir

\ [\ boldsymbol {\ omega} =\ begin {pmatrix}\ omega_ {1}\\ omega_ {2}\\ omega_ {3}
\ end {pmatrix}\ quad\ mathbf {L} =\ begin {pmatrix} L_ {1}\\ L_ {2}\\ L_ {3}\ end {pmatrix}\]

Como se discutió en el apéndice\(19.5.2\), la ecuación\(13.4.7\) ahora se puede escribir en notación tensora como un producto interno de la forma

\[L = \{\mathbb{I}\} \cdot \boldsymbol{\omega} \]

Tenga en cuenta que la notación anterior utiliza negrita para el tensor de inercia\(\mathbb{I}\), lo que implica una representación de tensor de rango 2, mientras que la velocidad angular\(\boldsymbol{\omega}\) y el momento angular\(\mathbf{L}\) se escriben como vectores de columna. El tensor de inercia es un tensor de rango 2 de 9 componentes definido como la relación del vector de momento angular\(\mathbf{L}\) y la velocidad angular\(\boldsymbol{\omega}\).

\[\{\mathbb{I}\} = \frac{\mathbf{L}}{\boldsymbol{\omega}}\]

Obsérvese que\(19.5\), como se describe en el apéndice, el producto interno de un vector\(\boldsymbol{\omega}\), que es el tensor de rango 1, y un tensor de rango 2\(\{\mathbb{I}\}\), conduce al vector\(\mathbf{L}\). Esta notación compacta explota el hecho de que la representación de matriz y tensor son completamente equivalentes, y son ideales para la descripción de la rotación de cuerpo rígido.