13.6: Sistema de Eje Principal

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El tensor de inercia es una matriz simétrica real debido a la simetría dada por la ecuación\((13.4.5)\). Una propiedad de las matrices simétricas reales es que existe una orientación del marco de coordenadas, con su origen en el punto fijo del cuerpo elegido\(O\), de tal manera que el tensor de inercia es diagonal. El sistema de coordenadas para el cual el tensor de inercia es diagonal se denomina sistema de eje principal que tiene tres ejes principales perpendiculares. Así, en el sistema de eje principal, el tensor de inercia tiene la forma

\[\{\mathbf{I}\} = \begin{pmatrix} I_{11} & 0 & 0 \\ 0 & I_{22} & 0 \\ 0 & 0 & I_{33} \end{pmatrix}\]

donde\(I_{ij}\) están los números reales, que se denominan los principales momentos de inercia del cuerpo, y suelen escribirse como\(I_j\). Cuando el vector de velocidad angular\(\boldsymbol{\omega}\) apunta a lo largo de cualquier vector unitario del eje principal\(\hat{j}\), entonces el momento angular\(\mathbf{L}\) es paralelo\(\boldsymbol{\omega}\) y la magnitud del momento principal de inercia alrededor de este eje principal viene dada por la relación

\[L_j \hat{j} = I_j \omega_j \hat{j} \label{13.24}\]

Los ejes principales son fijos en relación con la forma del cuerpo rígido y son invariantes a la orientación del sistema de coordenadas fijado al cuerpo utilizado para evaluar el tensor de inercia. La ventaja de tener el marco de coordenadas bodyfixed alineado con el marco de coordenadas del eje principal es que entonces el tensor de inercia es diagonal, lo que simplifica enormemente el álgebra matricial. Incluso cuando el sistema de coordenadas fijo al cuerpo no está alineado con el marco del eje principal, si la velocidad angular se especifica para apuntar a lo largo de un eje principal entonces el momento de inercia correspondiente vendrá dado por\ ref {13.24}.

En principio es posible ubicar los ejes principales variando la orientación del vector de velocidad angular\(\boldsymbol{\omega}\) para encontrar aquellas orientaciones para las que el momento angular\(\mathbf{L}\) y la velocidad angular\(\boldsymbol{\omega}\) son paralelos lo que caracteriza a los ejes principales. Sin embargo, el mejor enfoque es diagonalizar el tensor de inercia.