13.7: Diagonalizar el tensor de inercia

Encontrar los tres ejes principales implica diagonalizar el tensor de inercia, que es el problema clásico del valor propio discutido en el apéndice\(19.1\). La solución del problema del valor propio para el movimiento de cuerpo rígido corresponde a una rotación del marco de coordenadas a los ejes principales dando como resultado la matriz

\[\{\mathbf{I}\} \cdot \boldsymbol{\omega} = I\boldsymbol{\omega} \]

donde\(I\) comprende los valores propios de tres valores, mientras que el vector correspondiente\(\boldsymbol{\omega}\) es el autovector. Apéndice\(19.1\) da la solución de la relación matricial

\[\{\mathbf{I}\} \cdot \boldsymbol{\omega} = I \{\mathbb{I}\} \boldsymbol{\omega} \label{13.26}\]

donde\(I\) son valores eigen de tres valores para los momentos de inercia del eje principal, y\(\{\mathbb{I}\}\) es el tensor de unidad, ecuación\((A.2.4)\).

\[\{\mathbb{I}\} \equiv \begin{Bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{Bmatrix} \]

Reescritura\ ref {13.26} da

\[(\{\mathbf{I}\} − I \{\mathbb{I}\}) \cdot \boldsymbol{\omega} = 0 \label{13.28}\]

Esta es una ecuación matricial de la forma\(\mathbf{A} \cdot \boldsymbol{\omega} =0\) donde\(\mathbf{A}\) es una\(3 \times 3\) matriz y\(\boldsymbol{\omega}\) es un vector con valores\(\omega_x , \omega_y, \omega_z\). La ecuación matricial\(\mathbf{A} \cdot \boldsymbol{\omega} =0\) realmente corresponde a tres ecuaciones simultáneas para los tres números\(\omega_x , \omega_y, \omega_z\). Es una propiedad bien conocida de ecuaciones como\ ref {13.28} que tienen una solución distinta de cero si, y solo si, el determinante\(\text{det}(\mathbf{A})\) es cero, es decir

\[\text{det}(\mathbf{I}−I\mathbb{I})=0 \]

Esto se llama la ecuación característica, o ecuación secular para la matriz\(\mathbf{I}\). El determinante involucrado es una ecuación cúbica en el valor de\(I\) que da los tres momentos principales de inercia. Al insertar uno de los tres valores de\(I\) en la ecuación se\((13.4.6)\) obtiene el vector propio correspondiente\(\omega\). Aplicar el problema de autovalor anterior a la rotación del cuerpo rígido corresponde a requerir que algún conjunto arbitrario de ejes fijos al cuerpo sean los ejes principales de inercia. Esto se obtiene girando el sistema de eje fijo al cuerpo de tal manera que

\[\begin{align} L_1 & = & I_{11}\omega_1 + I_{12}\omega_2 + I_{13}\omega_3 = I\omega_1 \\ L_2 & = & I_{21}\omega_1 + I_{22}\omega_2 + I_{23}\omega_3 = I\omega_2 \notag \\ L_3 & = & I_{31}\omega_1 + I_{32}\omega_2 + I_{33}\omega_3 = I\omega_3 \notag \end{align}\]

o

\[\begin{align}(I_{11} − I) \omega_1 + I_{12}\omega_2 + I_{13}\omega_3 = 0 \\ I_{21}\omega_1 + (I_{22} − I) \omega_2 + I_{23}\omega_3 = 0 \notag \\ I_{31}\omega_1 + I_{32}\omega_2 + (I_{33} − I) \omega_3 = 0 \notag \end{align}\]

Estas ecuaciones tienen una solución no trivial para las proporciones\(\omega_1 : \omega_2 : \omega_3\) ya que el determinante desaparece, es decir

\[\begin{vmatrix} (I_{11} − I) & I_{12} & I_{13} \\ I_{21} & (I_{22} − I) & I_{23} \\ I_{31} & I_{32} & (I_{33} − I) \end{vmatrix} = 0 \]

La expansión de este determinante conduce a una ecuación cúbica con tres raíces para\(I\). Esta es la ecuación secular para\(I\) cuyos valores propios son los principales momentos de inercia.

Las direcciones de los ejes principales, es decir, los vectores propios, se pueden encontrar sustituyendo la solución correspondiente\(I\) en la ecuación anterior. Así, para la solución\(I_1\) propia el vector propio se da resolviendo

\[\begin{align}(I_{11} − I_1) \omega_{11} + I_{12}\omega_{21} + I_{13}\omega_{31} = 0 \\ I_{21}\omega_{11} + (I_{22} − I_1) \omega_{21} + I_{23}\omega_{31} = 0 \notag \\ I_{31}\omega_{11} + I_{32}\omega_{21} + (I_{33} − I_1) \omega_{31} = 0 \notag \end{align}\]

Estas ecuaciones se resuelven para las relaciones\(\omega_{11} : \omega_{21} : \omega_{31}\) que son los números de dirección del sistema de ejes principales correspondientes a la solución\(I_1\). Este sistema de ejes principales se define en relación con el sistema de coordenadas original. Este procedimiento se repite para encontrar la orientación de los otros dos ejes principales mutuamente perpendiculares.