13.9: Teorema de eje perpendicular para láminas planas

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La rotación de cuerpo rígido de objetos de láminas planas delgadas se encuentra con frecuencia. Ejemplos de tales cuerpos laminares son una lámina plana de metal, una puerta delgada, una rueda de bicicleta, un sobre delgado o libro. Derivar el tensor de inercia para una lámina plana es relativamente simple porque hay límites en la posible magnitud relativa de los momentos principales de inercia. Considera que los ejes principales están a lo largo de los ejes de\(x,y,z,\) coordenadas. Entonces la suma de dos momentos principales de inercia alrededor del centro de masa son

\[\begin{align*} I_x + I_y &= \int \rho(y^2 + z^2)dV + \int \rho (x^2 + z^2)dV \\ &= \int \rho(x^2 + y^2)dV + 2 \int \rho z^2 dV \geq \int \rho (x^2 + y^2)dV = I_z \end{align*}\]

Obsérvese que para cualquier cuerpo los tres momentos principales de inercia deben satisfacer la regla del triángulo de que la suma de cualquier par debe superar o igualar al tercero. Además, si el cuerpo es una lámina delgada con espesor\(z = 0\), es decir, una placa delgada en el\(x − y\) plano, entonces

\[I_x + I_y = I_z \label{13.45}\]

Este teorema de eje perpendicular puede ser muy útil para resolver problemas relacionados con la rotación de láminas planas.

Lo opuesto a una lámina plana es una aguja cilíndrica larga y delgada de masa\(m\)\(L\), longitud y radio\(r\). A lo largo del eje de simetría los momentos principales son\(I_z = \frac{1}{2}mr^2 \rightarrow 0\) como\(r \rightarrow 0\), mientras que perpendiculares al eje de simetría\(I_x = I_y = \frac{1}{12} mL^2\). Estos satisfacen la regla del triángulo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Inertia Tensor of a Hula Hoop

El hula hoop es un anillo circular plano delgado o radio\(R\) y masa\(M\). Supongamos que el eje de simetría del anillo circular es el eje 3.

Los principales momentos de inercia alrededor del centro de masa: El momento principal de inercia a lo largo del eje 3 es\(I_{33} = MR^2\). Entonces la Ecuación\ ref {13.45} más la simetría nos dice que los dos momentos principales de inercia en el plano del hula hoop deben ser\(I_{11} = I_{22} = \frac{1}{2}MR^2\).
Los principales momentos de inercia sobre la periferia del anillo: Usando el teorema del eje paralelo nos dice que el momento perpendicular al plano del hula hoop\(I_{33} = 2MR^2\). En el plano del aro es el momento tangencial al aro\(I_{11} = \frac{3}{2} MR^2\) y el momento radial al aro\(I_{22} = \frac{1}{2}MR^2\). El bailarín de hula suele balancear el aro alrededor de la periferia y perpendicular al plano balanceando sus caderas. Otro movimiento es saltar a través del aro girando el aro tangencial a la periferia. El cálculo de tales maniobras requiere el conocimiento de estos principales momentos de inercia.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Inertia Tensor of a Thin Book

Considera un libro rectangular delgado de masa\(M\), ancho\(a\) y largo\(b\) con espesor\(t \ll a\) y\(t \ll b\). Acerca del centro de masa se encuentra el tensor de inercia perpendicular al plano del libro\(I_{33} = \frac{M}{12} (a^2 + b^2)\). Los otros dos momentos son\(I_{11} = \frac{M}{12}a^2\) y\(I_{22} = \frac{M}{12} b^2\) que satisfacen la Ecuación\ ref {13.45}.