13.10: Propiedades Generales del Tensor de Inercia

Equivalencia inercial

Los elementos del tensor de inercia, los valores de los momentos principales de inercia y la orientación de los ejes principales para un cuerpo rígido, dependen de la elección de origen para el sistema. Recordemos que para que la energía cinética sea separable en porciones traslacionales y rotacionales, el origen del sistema de coordenadas del cuerpo debe coincidir con el centro de masa del cuerpo. Sin embargo, para cualquier elección del origen de cualquier cuerpo, siempre existe una orientación de los ejes que diagonaliza el tensor de inercia.

Las propiedades inerciales de un cuerpo para la rotación alrededor de una ubicación específica fijada al cuerpo se definen completamente por solo tres momentos principales de inercia independientemente de la forma detallada del cuerpo. Como resultado, las propiedades inerciales de cualquier cuerpo alrededor de un punto fijo al cuerpo son equivalentes a las de un elipsoide que tiene los mismos tres momentos principales de inercia. Las propiedades de simetría de este cuerpo elipsoidal equivalente definen la simetría de las propiedades inerciales del cuerpo. Si un cuerpo tiene alguna simetría simple entonces generalmente es obvio en cuanto a cuáles serán los ejes principales del cuerpo.

Parte superior esférica:\(I_1 = I_2 = I_3\)

Una parte superior esférica es un cuerpo que tiene tres momentos principales degenerados de inercia. Tal cuerpo tiene la misma simetría que el tensor de inercia alrededor del centro de una esfera uniforme. Para una esfera es obvio por la simetría que cualquier orientación de tres ejes mutuamente ortogonales alrededor del centro de la esfera uniforme son igualmente buenos ejes principales. Para un cubo uniforme se mostró que los ejes principales del tensor de inercia alrededor del centro de masa estaban alineados de tal manera que pasan por el centro de cada cara, y los tres momentos principales son idénticos; es decir, inercialmente equivale a una parte superior esférica. Una consecuencia menos obvia de la simetría esférica es que cualquier orientación de tres ejes mutuamente perpendiculares alrededor del centro de masa de un cubo uniforme es un sistema de eje principal igualmente bueno.

Parte superior simétrica:\(I_1 = I_2 \neq I_3\)

El elipsoide equivalente para un cuerpo con dos momentos de inercia principales degenerados es un esferoide que tiene simetría cilíndrica con el eje cilíndrico alineado a lo largo del tercer eje. Un cuerpo con\(I_3 < I_1 = I_2\) es un esferoide prolado mientras que un cuerpo con\(I_3 > I_1 = I_2\) es un esferoide oblato. Ejemplos con una forma inercial equivalente esferoidal prolada son una pelota de rugby, un lápiz o un bate de béisbol. Ejemplos de un esferoide oblato son una naranja, o un frisbee. Una esfera uniforme, o un cubo uniforme, que gira alrededor de un punto desplazado del centro de masa también se comporta inercialmente como una parte superior simétrica. La simetría cilíndrica del esferoide equivalente hace evidente que los ejes mutuamente perpendiculares que son normales al eje de simetría cilíndrica son igualmente buenos ejes principales incluso cuando la sección transversal en el\(1−2\) plano es cuadrada en lugar de circular.

Un rotor es un cuerpo con forma de molécula diatómica que es un caso especial de una parte superior simétrica donde\(I_1 = 0\), y\(I_2 = I_3\). La rotación de un rotor es perpendicular al eje de simetría ya que la energía rotacional y el momento angular alrededor del eje de simetría son cero porque el momento principal de inercia alrededor del eje de simetría es cero.

Parte superior asimétrica:\(I_1 \neq I_2 \neq I_3\)

Un cuerpo donde los tres momentos principales de inercia son distintos,\(I_1 \neq I_2 \neq I_3\), se llama una parte superior asimétrica. Algunas moléculas y núcleos tienen formas asimétricas, triaxialmente deformadas.

Ortogonalidad de ejes principales

Los ejes principales fijos al cuerpo comprenden un conjunto ortogonal, para el cual los vectores\(\mathbf{L}\) y\(\boldsymbol{\omega}\) están simplemente relacionados. Componentes de\(\mathbf{L}\) y se\(\boldsymbol{\omega}\) pueden tomar a lo largo de los tres ejes fijos al cuerpo denotados por\(i\). Así por el momento\(m^{th}\) principal\(I_m\)

\[L_{im} = I_m\omega_{im}\]

Escrito en términos del tensor de inercia

\[L_{im} = \sum^3_k I_{ik} \omega_{km} = I_{m}\omega_{im} \label{13.47}\]

De igual manera el momento\(n^{th}\) principal puede escribirse como

\[L_{kn} = \sum^3_i I_{ki} \omega_{in} = I_n\omega_{kn} \label{13.48}\]

Multiplica la Ecuación\ ref {13.47} por\(\omega_{in}\) y suma sobre\(i\) da

\[\sum_{i,k} I_{ik} \omega_{km}\omega_{in} = \sum_i I_{mm}\omega_{im}\omega_{in}\]

De manera similar multiplicar la ecuación\ ref {13.48} por\(\omega_{km}\) y sumando\(k\) da

\[\sum_{i,k} I_{ki} \omega_{km}\omega_{in} = \sum_i I_{nn}\omega_{km}\omega_{kn}\]

Los lados izquierdos de estas ecuaciones son idénticos ya que el tensor de inercia es simétrico, es decir\(I_{ik} = I_{ki}\). Por lo tanto restando estas ecuaciones da

\[\sum_i I_{mm}\omega_{im}\omega_{in} −\sum_k I_{nn}\omega_{km}\omega_{kn} = 0 \]

Eso es

\[(I_{mm} − I_{nn}) \sum_k \omega_{km} \omega_{kn} = 0 \]

o

\[(I_{mm} − I_{nn}) \boldsymbol{\omega}_m \cdot \boldsymbol{\omega}_n = 0 \label{13.53}\]

Si\(I_m \neq I_n\) entonces

\[\boldsymbol{\omega}_m \cdot \boldsymbol{\omega}_n = 0 \label{13.54}\]

lo que implica que los ejes\(m\) y\(n\) principales son perpendiculares. Sin embargo, si\(I_{mm} = I_{nn}\) entonces la Ecuación\ ref {13.53} no requiere eso\(\boldsymbol{\omega}_m \cdot \boldsymbol{\omega}_n = 0\), es decir, estos ejes no son necesariamente perpendiculares, sino que, sin pérdida de generalidad, estos dos ejes pueden elegirse para que sean perpendiculares con cualquier orientación en el plano perpendicular al eje de simetría.

1. Resumiendo la discusión anterior, el tensor de inercia tiene las siguientes propiedades.
2. La diagonalización se puede lograr mediante una rotación apropiada de los ejes en el cuerpo.
3. Los momentos principales (valores propios) y ejes principales (vectores propios) se obtienen como raíces del determinante secular y son reales.
4. Los ejes principales (vectores propios) son reales y ortogonales.
5. Para una parte superior simétrica con dos momentos de inercia principales idénticos, cualquier orientación de dos ejes ortogonales perpendiculares al eje de simetría son vectores propios satisfactorios.
6. Para una parte superior esférica con tres momentos de inercia principales idénticos, el sistema de ejes principales puede tener cualquier orientación con respecto al origen.