13.11: Vectores de Momento Angular y Velocidad Angular

El momento angular es un primario observable para la rotación. Como se discutió en el capítulo\(13.5\), el momento angular\(\mathbf{L}\) se escribe de manera compacta y elegante en forma de matriz usando la relación álgebra tensora

\[ \begin{align} \mathbf{L} &= \begin{pmatrix} I_{11} & I_{12} & I_{13} \\ I_{21} & I_{22} & I_{23} \\ I_{31} & I_{32} & I_{33} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \\ \omega_3 \end{pmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \{\mathbf{I}\} \cdot \boldsymbol{\omega} \label{13.55} \end{align}\]

donde\(\boldsymbol{\omega}\) está la velocidad angular,\(\{\mathbf{I}\}\) el tensor de inercia y\(\mathbf{L}\) el momento angular correspondiente.

Dos consecuencias importantes de la Ecuación\ ref {13.55} son que:

• El momento angular\(\mathbf{L}\) y la velocidad angular no\(\boldsymbol{\omega}\) son necesariamente colineales.
• En general, el sistema de eje principal del cuerpo rígido giratorio no está alineado ni con los vectores de momento angular ni con los vectores de velocidad angular.

Una excepción a estas afirmaciones ocurre cuando la velocidad angular\(\boldsymbol{\omega}\) se alinea a lo largo de un eje principal para el cual el tensor de inercia es diagonal, es decir\(I_{ij} = I_i\delta_{ij}\), y luego ambos\(\mathbf{L}\) y\(\boldsymbol{\omega}\) apuntan a lo largo de este eje principal. En general el momento angular\(\mathbf{L}\) y la velocidad angular\(\boldsymbol{\omega}\) preceden uno alrededor del otro. Un caso especial importante es para los sistemas sin par donde el teorema de Noether implica que el vector de momento angular\(\mathbf{L}\) se conserva tanto en magnitud como en amplitud. En este caso, la velocidad angular\(\boldsymbol{\omega}\), y el sistema de eje Principal, ambos preceden alrededor del vector de momento angular\(\mathbf{L}\). Es decir, el cuerpo parece caer con respecto al marco fijo del laboratorio. Comprender la rotación del cuerpo rígido requiere cuidado de no confundir el marco de coordenadas del eje principal fijo al cuerpo, utilizado para determinar el tensor de inercia, y el marco fijo de laboratorio donde se observa el movimiento.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Rotation about the center of mass of a solid cube

Es ilustrativo usar los tensores de inercia de un cubo uniforme para calcular el momento angular para cualquier vector de velocidad angular aplicado\(\omega\) usando la Ecuación\ ref {13.55}. Si la velocidad angular es a lo largo del\(x\) eje, entonces usar el tensor de inercia para un cubo sólido, derivado anteriormente, en la Ecuación\ ref {13.55} da el momento angular para ser

\[\begin{align*} \mathbf{L} &= \{\mathbf{I}\} \cdot \boldsymbol{\omega} \\[4pt] &= \frac{1}{6} Mb^2\omega\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 0\end{pmatrix} \\[4pt] & = \frac{1}{6} Mb^2\omega \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}\end{align*}\]

Esto demuestra que\(\mathbf{L}\) y\(\boldsymbol{\omega}\) son colineales y por lo tanto el\(x\) eje es un eje principal. Por simetría, el eje fijo\(y\) y el\(z\) cuerpo también deben ser ejes principales.

Considera que el cuerpo se gira alrededor de una diagonal del cubo para lo cual el centro de masa estará sobre el eje de rotación. Entonces el vector de velocidad angular se escribe como\(\boldsymbol{\omega} = \omega \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) donde los componentes de\(\omega_x = \omega_y = \omega_z = \omega \frac{1}{\sqrt{3}}\) con la magnitud de la velocidad angular\(\sqrt{ \omega^2_x + \omega^2_y + \omega^2_z} = \omega\).

\[\begin{align*} \mathbf{L} &= \{\mathbf{I}\} \cdot \boldsymbol{\omega} \\[4pt] &= \frac{1}{6} Mb^2\omega \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix} \\[4pt] &= \frac{1}{6} Mb^2\omega \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1\end{pmatrix} \\[4pt] &= \frac{1}{6}Mb^2 \boldsymbol{\omega} \end{align*}\]

Tenga en cuenta que\(\mathbf{L}\) y\(\boldsymbol{\omega}\) nuevamente son colineales mostrando que también es un eje principal. Además, la magnitud de\(\mathbf{L}\) es idéntica para las orientaciones de los ejes de rotación\(\omega\) que pasan por el centro de masa cuando se centran en una cara, o en la diagonal, del cubo, lo que implica que los principales momentos de inercia alrededor de estos ejes son idénticos. Esto ilustra la importante propiedad de que, cuando los tres momentos principales de inercia son idénticos, entonces cualquier orientación del sistema de coordenadas es un sistema de eje principal igualmente bueno. Es decir, esto corresponde a la parte superior esférica donde todas las orientaciones son ejes principales, no solo a lo largo de los obvios ejes de simetría.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Rotation about the corner of the cube

Repetimos el ejercicio anterior para la rotación alrededor de una esquina del cubo. Considera que la velocidad angular es a lo largo del\(x\) eje. Entonces ejemplo\((13.8.2)\) da el momento angular para ser

\[\begin{align*} \mathbf{L} &= \{\mathbf{I}\} \cdot \boldsymbol{\omega}\\[4pt] &= \frac{1}{12} Mb^2\omega \begin{pmatrix} +8 & -3 & -3 \\ -3 & +8 & -3 \\ -3 & -3 & +8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \\[4pt] &= \frac{1}{12} Mb^2 \boldsymbol{\omega} \begin{pmatrix} +8 \\ -3 \\ -3 \end{pmatrix}\end{align*}\]

El momento angular está lejos de estar alineado con el eje\(\omega\), es decir, no es un eje principal.

Considera que el cuerpo es girado con la velocidad angular alineada a lo largo de una diagonal del cubo a través del centro de masa sobre este eje. Entonces la velocidad angular se escribe como\(\boldsymbol{\omega} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}\) donde los componentes de\(\omega_x = \omega_y = \omega_z = \omega \frac{1}{\sqrt{3}}\) asegurar que la magnitud es igual\(\sqrt{ \omega^2_x + \omega^2_y + \omega^2_z} = \omega\).

\[\begin{align*} \mathbf{L} &= \{\mathbf{I}\} \cdot \boldsymbol{\omega} \\[4pt] &= \frac{1}{12} Mb^2\omega \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} +8 & -3 & -3 \\ -3 & +8 & -3 \\ -3 & -3 & +8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\[4pt] &= \frac{1}{12} Mb^2 \omega \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \\[4pt] &= \frac{1}{6}Mb^2\boldsymbol{\omega}\end{align*} \nonumber\]

Este es un eje principal ya que\(\mathbf{L}\) y\(\omega\) nuevamente son colineales y el momento angular es el mismo que para cualquier eje a través del centro de masa de un cubo sólido uniforme debido a la alta simetría del cubo. Si la velocidad angular es perpendicular a la diagonal del cubo, entonces, para cualquiera de estos ejes perpendiculares, la relación entre\(L\) y\(\omega\) viene dada por

\[\begin{align*} \mathbf{L} &= \frac{1}{12} Mb^2\omega \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} +8 & -3 & -3 \\ -3 & +8 & -3 \\ -3 & -3 & +8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ +1 \\ 0 \end{pmatrix} \\[4pt] &= \frac{1}{12} Mb^2 \omega \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -11 \\ +11 \\ 0 \end{pmatrix} \\[4pt] &= \frac{11}{12}Mb^2 \omega \begin{pmatrix} -1 \\ +1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align*}\]

Tenga en cuenta que este debe ser un eje principal para la rotación alrededor de una esquina del cubo ya que\(\mathbf{L}\) y\(\boldsymbol{\omega}\) son colineales. El momento angular es el mismo para ambas orientaciones posibles de\(\omega\) que son perpendiculares a la diagonal a través del centro de masa. Diagonalizar el tensor de inercia en el ejemplo\((13.8.2)\) también dio el resultado anterior con el eje de simetría a lo largo de la diagonal del cubo.

Este ejemplo ilustra que no es necesario diagonalizar la matriz de tensores de inercia para obtener los ejes principales. La esquina del cubo tiene tres ejes principales mutuamente perpendiculares independientemente de la elección de un marco de coordenadas fijo al cuerpo. La ventaja del marco de coordenadas del eje principal es que el tensor de inercia es diagonal haciendo trivial la evaluación del momento angular. Es decir, no hay física asociada a la orientación elegida para el marco de coordenadas fijo al cuerpo, este marco solo determina la relación de los componentes del tensor de inercia a lo largo de las coordenadas elegidas. Tenga en cuenta que, si un cuerpo tiene una simetría obvia, entonces la intuición es una forma poderosa de identificar el marco del eje principal.