13.12: Energía cinética del cuerpo rígido giratorio

Un observable importante es la energía cinética de rotación de un cuerpo rígido. Considerar un cuerpo rígido compuesto por\(N\) partículas de masa\(m_{\alpha}\) donde\({\alpha} = 1, 2, 3, \dots N\). Si el cuerpo gira con una velocidad angular instantánea\(\boldsymbol{\omega}\) alrededor de algún punto fijo, con respecto al sistema de coordenadas del cuerpo, y este punto tiene una velocidad de traslación instantánea\(\mathbf{V}\) con respecto al sistema de coordenadas fijas (inerciales), ver Figura\(13.3.1\), entonces la instantánea velocidad\(\mathbf{v}_{\alpha}\) de la\({\alpha}^{th}\) partícula en el marco fijo de referencia viene dada por

\[\mathbf{v}_{\alpha} = \mathbf{V} + \mathbf{v}^{\prime\prime}_{\alpha} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}_{\alpha} \label{13.56}\]

Sin embargo, para un cuerpo rígido, la velocidad de un punto fijo al cuerpo con respecto al cuerpo es cero, es decir\(\mathbf{v}^{\prime\prime}_{\alpha} = 0\), por lo tanto

\[\mathbf{v}_{\alpha} = \mathbf{V} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}_{\alpha} \]

La energía cinética total viene dada por

\[\begin{align} T & = & \sum^N_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha} \mathbf{v}_{\alpha} \cdot \mathbf{v}_{\alpha} = \sum^N_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha} (\mathbf{V} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}_{\alpha}) \cdot (\mathbf{V} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}_{\alpha}) \notag \\ & = & \frac{1}{2} \sum^N_{\alpha} m_{\alpha} V^2 + \sum^N_i m_{\alpha} \mathbf{V} \cdot \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}_{\alpha} + \frac{1}{2} \sum^{N}_{\alpha} m_{\alpha} (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}_{\alpha}) \cdot (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}_{\alpha}) \label{13.58} \end{align} \]

Esta es una expresión general para la energía cinética que es válida para cualquier elección del origen a partir del cual se\(\mathbf{r}^{\prime}_{\alpha}\) miden los vectores fijados al cuerpo. No obstante, si se elige el origen para que sea el centro de masa, entonces, y sólo entonces, se cancela el término medio. Es decir, ya que\(\mathbf{V} \cdot \boldsymbol{\omega}\) es independiente de la partícula específica, entonces

\[\sum^N_{\alpha} m_{\alpha} \mathbf{V} \cdot \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}_{\alpha} = \mathbf{V} \cdot \boldsymbol{\omega} \times \left( \sum^{N}_{\alpha} m_{\alpha} \mathbf{r}^{\prime}_{\alpha} \right)\]

Pero la definición del centro de masas es

\[\sum_{\alpha} m_{\alpha} \mathbf{r}^{\prime} = M\mathbf{R}\]

y\(\mathbf{R} = 0\) en el marco fijo al cuerpo si el punto seleccionado en el cuerpo es el centro de masa. Así, al usar el marco de centro de masa, el término medio de la Ecuación\ ref {13.58} es cero. Por lo tanto, para el marco del centro de masa, la energía cinética se separa en dos términos en el marco fijo al cuerpo

\[T = T_{trans} + T_{rot} \label{13.61}\]

donde

\[T_{trans} = \frac{1}{2} \sum^{N}_{\alpha} m_{\alpha} V^2\]

\[T_{rot} = \frac{1}{2} \sum^N_{\alpha} m_i (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}_{\alpha}) \cdot (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}_{\alpha}) \notag\]

La identidad del vector

\[(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = A^2B^2 − (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})^2 \]

se puede utilizar para simplificar\(T_{rot}\)

\[T_{rot} = \frac{1}{2} \sum^N_{\alpha} m_{\alpha} \left[ \omega^2 r^{\prime 2}_{\alpha} − (\boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{r}^{\prime}_{\alpha})^2 \right] \]

La energía cinética rotacional se\(T_{rot}\) puede expresar en términos de componentes\(\boldsymbol{\omega}\) y\(\mathbf{r}^{\prime}_{\alpha}\) en el marco fijo al cuerpo. También las siguientes fórmulas se simplifican enormemente si\(\mathbf{r}^{\prime}_{\alpha} = (x_{\alpha}, y_{\alpha}, z_{\alpha})\) en el marco fijo de cuerpo giratorio se escribe en la forma\(\mathbf{r}^{\prime}_{\alpha} = (x_{\alpha,1}, x_{\alpha,2}, x_{\alpha,3})\) donde los ejes están definidos por los números\(1, 2, 3\) en lugar de\(x,y,z\). En esta notación la energía cinética rotacional se escribe como

\[T_{rot} =\frac{1}{2} \sum_{\alpha}^{N} m_{\alpha}\left[\left(\sum_{i} \omega_{i}^{2}\right) \left(\sum_{k} x_{\alpha, k}^{2}\right)-\left(\sum_{i} \omega_{i} x_{\alpha, i}\right)\left(\sum_{j} \omega_{j} x_{\alpha, j}\right)\right]\]

Asumir la relación delta de Kronecker

\[\omega_i = \sum^3_j \omega_j \delta_{ij}\]

donde\(\delta_{ij} = 1\) si\(i = j\) y\(\delta_{ij} = 0\) si\(i \neq j\).

Entonces la energía cinética se puede escribir de manera más compacta

\[\begin{align} T_{rot} & =\frac{1}{2} \sum_{\alpha}^{N} m_{\alpha}\left[\left(\sum_{i} \omega_{i}^{2}\right) \left(\sum_{k} x_{\alpha, k}^{2}\right)-\left(\sum_{i} \omega_{i} x_{\alpha, i}\right)\left(\sum_{j} \omega_{j} x_{\alpha, j}\right)\right] \notag \\ & = \frac{1}{2} \sum_{\alpha}^{N} \sum_{i, j}^{3} m_{\alpha} \left[ \left ( \omega_{i} \omega_{j} \delta_{i j}\right) \left(\sum_{k}^{3} x_{\alpha, k}^{2}\right)-\left(\omega_{i} x_{\alpha, i}\right)\left(\omega_{j} x_{\alpha, j}\right)\right] \notag \\ & = \frac{1}{2} \sum_{i, j}^{3} \omega_{i} \omega_{j}\left[\sum_{\alpha}^{N} m_{\alpha} \left[\delta_{i j} \left(\sum_{k}^{3} x_{\alpha, k}^{2}\right)-x_{\alpha, i} x_{\alpha, j}\right]\right] \end{align} \]

El término entre corchetes exteriores es el tensor de inercia definido en la ecuación\((13.4.1)\) para un cuerpo discreto. Los componentes del tensor de inercia para un cuerpo continuo están dados por ecuación\((13.4.2)\).

Así, el componente rotacional de la energía cinética puede escribirse en términos del tensor de inercia como

\[T_{rot} = \frac{1}{2} \sum^3_{i,j} I_{ij} \omega_i\omega_j \label{13.68}\]

Tenga en cuenta que cuando el tensor de inercia es diagonal, entonces la evaluación de la energía cinética se simplifica a

\[T_{rot} = \frac{1}{2} \sum^3_i I_{ii} \omega^2_i\]

que es la relación familiar en términos del momento escalar de inercia\(I\) discutido en la mecánica elemental.

La ecuación\ ref {13.68} también se puede factorizar en términos del momento angular\(\mathbf{L}\).

\[T_{rot} = \frac{1}{2} \sum_{i,j} I_{ij} \omega_i \omega_j = \frac{1}{2} \sum_i \omega_i \sum_j I_{ij} \omega_j = \frac{1}{2} \sum_i \omega_i L_i \label{13.70}\]

Como se mencionó anteriormente, el álgebra tensor es una forma elegante y compacta de expresar tales operaciones matriciales. Así es posible expresar la energía cinética rotacional como

\[T_{rot} = \frac{1}{2} \left( \omega_1 \ \omega_2 \ \omega_3 \right) \cdot \begin{pmatrix} I_{11} & I_{12} & I_{13} \\ I_{21} & I_{22} & I_{23} \\ I_{31} & I_{32} & I_{33} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \\ \omega_3 \end{pmatrix}\]

\[T_{rot} \equiv \mathbf{T} = \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega} \cdot \{\mathbf{I}\} \cdot \boldsymbol{\omega} \]

donde la energía rotacional\(\mathbf{T}\) es un escalar. Usando\((13.11.1)\) la ecuación, el componente rotacional de la energía cinética también se puede escribir como

\[T_{rot} \equiv \mathbf{T} = \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{L} \]

que es lo mismo dado por\ ref {13.70}. Es interesante darse cuenta de que aunque\(\mathbf{L} = \{\mathbf{I}\} \cdot \boldsymbol{\omega}\) es el producto interno de un tensor y un vector, es un vector como lo ilustra el hecho de que el producto interno\(T_{rot} = \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}\cdot \mathbf{L} = \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega} \cdot (\{\mathbf{I}\} \cdot \boldsymbol{\omega})\) es un escalar. Tenga en cuenta que la energía cinética traslacional se\(T_{trans}\) debe agregar a la energía cinética rotacional\(T_{rot}\) para obtener la energía cinética total dada por la Ecuación\ ref {13.61}.