13.14: Velocidad angular

Velocidad angular\(\omega\)

Es útil relacionar las ecuaciones de movimiento de cuerpo rígido en el sistema de\((\mathbf{\hat{x}}, \mathbf{\hat{y}},\mathbf{\hat{z}})\) coordenadas fijas en el espacio con las del sistema de\((\mathbf{\hat{e}}_1,\mathbf{\hat{e}}_2,\mathbf{\hat{e}}_3)\) coordenadas fijas al cuerpo donde se define el tensor de inercia del eje principal. Se mostró en el apéndice\(19.4\) que una rotación infinitossimal puede ser representada por un vector. Así, las derivadas del tiempo de estos ángulos de rotación pueden asociarse con los componentes de la velocidad angular\(\boldsymbol{\omega}\), donde la precesión\(\omega_{\phi} = \dot{\phi}\), la nutación\(\omega_{\theta} = \dot{\theta}\) y el giro\(\omega_{\psi} = \dot{\psi}\). Desafortunadamente las coordenadas\((\phi , \theta , \psi)\) son con respecto a los marcos de coordenadas mixtos y por lo tanto no son ejes ortogonales. Es decir, las velocidades angulares de Euler se expresan en diferentes marcos de coordenadas, donde la precesión\(\dot{\phi}\) es alrededor del\(\mathbf{\hat{z}}\) eje fijo al espacio medido en relación con el\(\mathbf{\hat{x}}\) eje -eje, el giro\(\dot{\psi}\) es alrededor del\(\mathbf{\hat{e}}_3\) eje fijo al cuerpo relativo a la línea de nodos giratoria, y la nutación\(\dot{\theta}\) es la velocidad angular entre los\(\mathbf{\hat{e}}_3\) ejes\(\mathbf{\hat{z}}\) y y puntos a lo largo de la línea instantánea de nodos en la\(\mathbf{\hat{e}}_3 \times \mathbf{\hat{z}}\) dirección. Por referencia a la Figura\(13.13.1\) se puede observar que los componentes a lo largo de los ejes fijos al cuerpo son los que se dan en la Tabla\(\PageIndex{1}\).

Tabla\(\PageIndex{1}\): Componentes de velocidad angular de Euler en el marco fijo de la carrocería

Precesión\(\dot{\phi}\)	Nutación\(\dot{\theta}\)	Spin\(\dot{\psi}\)
\ (\ punto {\ phi}\) ">\(\dot{\phi}_1 = \dot{\phi} \sin \theta \sin \psi\)	\ (\ punto {\ theta}\) ">\(\dot{\theta}_1 = \dot{\theta} \cos \psi\)	\ (\ punto {\ psi}\) ">\(\dot{\psi}_1 = 0\)
\ (\ punto {\ phi}\) ">\(\dot{\phi}_2 = \dot{\phi} \sin \theta \cos \psi\)	\ (\ punto {\ theta}\) ">\(\dot{\theta}_2 = -\dot{\theta} \sin \psi\)	\ (\ punto {\ psi}\) ">\(\dot{\psi}_2 = 0\)
\ (\ punto {\ phi}\) ">\(\dot{\phi}_3 = \dot{\phi} \cos \theta \)	\ (\ punto {\ theta}\) ">\(\dot{\theta}_3 = 0\)	\ (\ punto {\ psi}\) ">\(\dot{\psi}_3 = \psi\)

Tenga en cuenta que la velocidad angular de precesión\(\dot{\phi}\) es la velocidad angular que el cuerpo fijo\(\mathbf{\hat{e}}_3\) y\(\mathbf{\hat{z}} \times \mathbf{\hat{3}}\) los ejes preceden alrededor del\(\mathbf{\hat{z}}\) eje fijo en el espacio. La\(\PageIndex{1}\) tabla muestra las velocidades angulares de Euler requeridas para calcular los componentes de la velocidad angular\(\boldsymbol{\omega}\) para el sistema de\((\mathbf{1}, \mathbf{2}, \mathbf{3})\) eje fijo al cuerpo. La recolección de los componentes individuales de\(\boldsymbol{\omega}\), da los componentes de la velocidad angular del cuerpo, en relación con los ejes fijos en el espacio, en el sistema de eje fijo al cuerpo\((1, 2, 3)\)

\[\omega_1 = \dot{\phi}_1 + \dot{\theta}_1 + \dot{\psi}_1 = \dot{\phi} \sin \theta \sin \psi + \dot{\theta} \cos \psi \label{13.86}\]

\[\omega_2 = \dot{\phi}_2 + \dot{\theta}_2 + \dot{\psi}_2 = \dot{\phi} \sin \theta \cos \psi - \dot{\theta} \sin \psi \label{13.87}\]

\[\omega_3 = \dot{\phi}_3 + \dot{\theta}_3 + \dot{\psi}_3 = \dot{\phi} \cos \theta + \dot{\psi} \label{13.88}\]

La velocidad angular del cuerpo alrededor del\(\mathbf{3}\) eje fijo al cuerpo,\(\omega_3\), es la suma de la proyección de la velocidad angular de precesión de la línea de nodos\(\dot{\phi}\) con respecto al\(\mathbf{x}\) eje fijo en el espacio, más la velocidad angular\(\dot{\psi}\) del eje 3 fijo al cuerpo con respecto al línea de nodos rotativos.

De manera similar, los componentes de la velocidad angular del cuerpo\(\boldsymbol{\omega}\) para el sistema de eje fijo en el espacio se\((x,y,z)\) pueden derivar para ser

\[\omega_x = \dot{\theta} \cos \phi + \dot{\psi} \sin \theta \sin \phi \label{13.89}\]

\[\omega_y = \dot{\theta} \sin \phi - \dot{\psi} \sin \theta \cos \phi \label{13.90}\]

\[\omega_z = \dot{\phi} + \dot{\psi} \cos \theta \label{13.91}\]

Tenga en cuenta que cuando\(\theta = 0\) entonces los ángulos de Euler son singulares en que el\(z\) eje fijo al espacio es paralelo al eje 3 fijo al cuerpo y no hay manera de distinguir entre precesión\(\dot{\phi}\) y giro\(\dot{\psi}\), lo que lleva a\(\omega_z = \omega_3 = \dot{\phi} + \dot{\psi}\). Cuando\(\theta = \pi\) entonces el\(z\) eje y 3 ejes son antiparalelos y\(\omega_z = \dot{\phi} - \dot{\psi} = -\omega_3\). El otro caso especial es cuando\(\cos \theta = 0\) para el cual el sistema de ángulos de Euler es ortogonal y el espacio-fijo\(\omega_z = \dot{\phi}\), es decir, equivale a la precesión, mientras que el cuerpo fijo\(\omega_3 = \dot{\psi}\), es decir, equivale al giro. Cuando la base del ángulo de Euler no es ortogonal entonces las ecuaciones\ ref {13.86} -\ ref {13.88} y\ ref {13.89} -\ ref {13.91} son necesarias para expresar las ecuaciones de movimiento de Euler tanto en el cuadro fijo al cuerpo como en el fotograma fijo al espacio respectivamente.

Las ecuaciones\ ref {13.86} -\ ref {13.88} para los componentes de la velocidad angular en el marco fijo al cuerpo se pueden expresar en términos de las velocidades del ángulo de Euler en forma de matriz como

\[\begin{pmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \\ \omega_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin \theta \sin \psi & \cos \psi & 0 \\ \sin \theta \cos \psi & - \sin \psi & 0 \\ \cos \theta & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \dot{\phi} \\ \dot{\theta} \\ \dot{\psi} \end{pmatrix} \]

Tenga en cuenta que la matriz de transformación no es ortogonal lo que es de esperar ya que las velocidades angulares de Euler son alrededor de ejes que no forman un sistema rectangular de coordenadas. Del mismo modo, las ecuaciones\ ref {13.89} -\ ref {13.91} para la velocidad angular en el marco fijo en el espacio se pueden expresar en términos de las velocidades del ángulo de Euler en forma de matriz como

\[\begin{pmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \cos \phi & \sin \theta \sin \phi \\ 0 & \sin \phi & \sin \theta \cos \phi \\ 1 & 0 & \cos \theta \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \dot{\phi} \\ \dot{\theta} \\ \dot{\psi} \end{pmatrix} \]