13.16: Invariantes rotacionales

Las propiedades escalares de un cuerpo giratorio, como masa\(M\), lagrangiano\(L\) y hamiltoniano\(H\), son rotacionalmente invariantes, es decir, son las mismas en cualquier marco de coordenadas fijado al cuerpo o fijado en laboratorio. Este hecho también se aplica a los productos escalares de todos los observables vectoriales como el momento angular. Por ejemplo, el producto escalar

\[\mathbf{L} \cdot \mathbf{L} = l^2 \notag\]

donde\(l\) es el valor cuadrático medio raíz del momento angular. Un ejemplo de una invariante escalar es el producto escalar de la velocidad angular

\[\boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{\omega} = \omega^2 \notag\]

donde\(\omega^2\) es la velocidad angular media cuadrada. El producto escalar se\(\omega \cdot \omega = | \omega |^2\) puede calcular usando las velocidades de ángulo Euler para el marco fijo al cuerpo, ecuaciones\((13.14.1-13.14.3)\), a ser

\[\boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{\omega} = | \omega |^2 = \omega^2_1 + \omega^2_2 + \omega^2_3 = \dot{\phi}^2 + \dot{\theta}^2 + \dot{\psi}^2 + 2 \dot{\phi}\dot{\psi} \cos \theta \notag\]

De manera similar, el producto escalar se puede calcular usando las velocidades del ángulo de Euler para el marco fijo en el espacio usando ecuaciones\((13.14.4-13.14.6)\).

\[\boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{\omega} = | \omega |^2 = \omega^2_x + \omega^2_y + \omega^2_z = \dot{\phi}^2 + \dot{\theta}^2 + \dot{\psi}^2 + 2 \dot{\phi}\dot{\psi} \cos \theta \notag\]

Esto muestra el resultado obvio de que el producto escalar\(\omega \cdot \omega = | \omega |^2\) es invariante a las rotaciones del marco de coordenadas, es decir, es idéntico cuando se evalúa en los marcos fijos al espacio o fijos al cuerpo.

Tenga en cuenta que para\(\theta = 0\), los\(\hat{z}\) ejes\(\hat{3}\) y son paralelos, y perpendiculares al\(\hat{\theta}\) eje, entonces

\[| \omega |^2 = \left(\dot{\phi} + \dot{\psi} \right)^2 + \dot{\theta}^2 \notag\]

Para el caso cuando\(\theta = 180^{\circ}\), los\(\hat{z}\) ejes\(\hat{3}\) y son antiparalelos, y perpendiculares al\(\hat{\theta}\) eje, entonces

\[| \omega |^2 = \left( \dot{\phi} − \dot{\psi} \right)^2 + \dot{\theta}^2 \notag\]

Para el caso cuando\(\theta = 90^{\circ}\), los\(\hat{\theta}\) ejes\(\hat{3}\),\(\hat{z}\), y son mutuamente perpendiculares, es decir, ortogonales, y luego

\[| \omega |^2 = \dot{\phi}^2 + \dot{\psi}^2 + \dot{\theta}^2 \notag\]

La forma promediada en el tiempo de un cuerpo que gira rápidamente, como se ve en el marco inercial fijo, es muy diferente de la forma real del cuerpo, y esta diferencia depende de la frecuencia de rotación. Por ejemplo, un lápiz que gira rápidamente alrededor de un eje perpendicular al eje de simetría fijo al cuerpo tiene una forma promedio que es un disco plano en el marco de laboratorio que tiene poco parecido con un lápiz. La forma real del lápiz podría determinarse tomando fotografías de alta velocidad que muestran la forma instantánea del objeto fijada al cuerpo en momentos dados. Desafortunadamente para una rotación rápida, como la rotación de una molécula o un núcleo, no es posible tomar fotografías con suficiente velocidad y resolución espacial para observar la forma instantánea del cuerpo giratorio. Lo que se mide es la forma promedio del cuerpo tal como se ve en el marco fijo de laboratorio. En principio, la forma observada en el marco inercial fijo puede estar relacionada con la forma en el marco fijo al cuerpo, pero esto requiere conocer la forma fija al cuerpo que en general no se conoce. Por ejemplo, un núcleo deformado puede estar vibrando y girando alrededor de alguna forma promedio deformada triaxialmente que es una función de la frecuencia rotacional. Esto no es evidente a partir de las formas medidas en el marco fijo para cada uno de los estados excitados.

El hecho de que los productos escalares sean rotacionalmente invariantes, proporciona un poderoso medio para transformar productos de observables en el marco fijo al cuerpo, a aquellos en el marco de laboratorio. En 1971 Cline desarrolló un potente método independiente del modelo que utiliza productos rotacionalmente invariantes del operador cuadrupolo electromagnético para\(E2\) relacionar\(E2\) las propiedades electromagnéticas de los niveles observados de un núcleo giratorio medidos en el marco del laboratorio, con el \(E2\)propiedades electromagnéticas del núcleo giratorio deformado medidas en el marco fijo al cuerpo. [Cli71, Cli72, Cli86] El método utiliza el hecho de que los productos escalares de los operadores multipolares electromagnéticos son rotacionalmente invariantes. Esto permite transformar productos escalares de un conjunto completo de elementos de matriz electromagnética medidos, medidos en el marco de laboratorio, en las propiedades electromagnéticas en el marco fijo al cuerpo del núcleo giratorio. Estos invariantes rotacionales proporcionan una determinación independiente del modelo de la magnitud, triaxialidad y amplitudes vibracionales de las formas promedio en el marco fijo al cuerpo para estados nucleares observados individuales que pueden estar experimentando rotación y vibración. Cuando la energía de bombardeo está por debajo de la barrera de Coulomb, la dispersión de un núcleo de proyectil por un núcleo objetivo se debe puramente a la interacción electromagnética ya que la distancia de aproximación más cercana excede el rango de la fuerza nuclear. Para tales colisiones puras de Coulomb, la excitación electromagnética de núcleos colectivos puebla muchos estados excitados con secciones transversales que son una medida directa de los elementos de la\(E2\) matriz. Estos elementos de matriz medidos son precisamente los requeridos para evaluar, en el marco de laboratorio, las invariantes\(E2\) rotacionales a partir de las cuales es posible deducir las formas intrínsecas de cuadrupolo de los estados nucleares giratorio-vibratorios en el marco fijo al cuerpo [Cli86].