13.17: Ecuaciones de movimiento de Euler para rotación de cuerpo rígido

La rotación de cuerpo rígido puede ser confusa ya que están involucrados dos marcos de coordenadas y, en general, la velocidad angular y el momento angular no están alineados. El movimiento del cuerpo rígido se observa en el marco inercial fijo en el espacio, mientras que es más sencillo calcular las ecuaciones de movimiento en el marco del eje principal fijo al cuerpo, para lo cual se conoce y es constante el tensor de inercia. El cuerpo rígido está rotando con vector de velocidad angular\(\boldsymbol{\omega}\), que no está alineado con el momento angular\(\mathbf{L}\). Para el momento angular sin par,\(\mathbf{L}\) se conserva y tiene una orientación fija en el sistema de eje fijo al espacio. Las ecuaciones de movimiento de Euler, que se presentan a continuación, se dan en el marco fijo al cuerpo para el que se conoce el tensor inercial ya que esto simplifica la solución de las ecuaciones de movimiento. Sin embargo, esta solución tiene que ser girada de nuevo en el marco de espacio fijo para describir el movimiento de rotación visto por un observador en el marco inercial.

En este capítulo se han introducido las propiedades inerciales de un cuerpo rígido, así como los ángulos de Euler para la transformación entre los marcos de referencia fijos al cuerpo e inerciales. Esto ha preparado el escenario para resolver las ecuaciones de movimiento para el movimiento de cuerpo rígido, es decir, la dinámica del movimiento rotacional alrededor de un punto fijo al cuerpo bajo la acción de fuerzas externas. Los ángulos de Euler se utilizan para especificar la orientación instantánea del cuerpo rígido.

En la mecánica newtoniana, el movimiento rotacional se rige por la segunda ley equivalente de Newton dada en términos del par externo\(\mathbf{N}\) y el momento angular\(\mathbf{L}\)

\[\mathbf{N} = \left( \frac{d\mathbf{L}}{dt}\right)_{space} \]

Tenga en cuenta que esta relación se expresa en el marco de referencia fijo en el espacio inercial, no en el marco fijo al cuerpo no inercial. \(space\)Se agrega el subíndice para enfatizar que esta ecuación está escrita en el marco de referencia inercial fijo en el espacio. Sin embargo, como ya se ha comentado, es mucho más conveniente transformar del marco inercial fijado al espacio al bastidor fijo al cuerpo para lo cual se conoce el tensor de inercia del cuerpo rígido. Así, la siguiente etapa es expresar el movimiento rotacional en términos del marco de referencia fijo al cuerpo. Por simplicidad, se ignorará el movimiento traslacional.

La tasa de cambio del momento angular se puede escribir en términos del valor fijo del cuerpo, utilizando la transformación del marco inercial fijo en el espacio\((\mathbf{\hat{x}}, \mathbf{\hat{y}},\mathbf{\hat{z}})\) al marco giratorio\((\mathbf{\hat{e}}_1,\mathbf{\hat{e}}_2,\mathbf{\hat{e}}_3)\) como se indica en el capítulo\(13.13\),

\[\mathbf{N} = \left( \frac{d\mathbf{L}}{dt}\right)_{space} = \left( \frac{d\mathbf{L}}{dt}\right)_{body} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{L} \]

Sin embargo, el eje del cuerpo\(\mathbf{\hat{e}}_i\) se elige para que sea el eje principal de tal manera que

\[L_i = I_i \omega_i \]

donde se escriben como los principales momentos de inercia\(I_i\). Así, la ecuación de movimiento se puede escribir usando el sistema de coordenadas fijas al cuerpo como

\[\begin{align} \mathbf{N} & = I_1 \dot{\omega}_1\mathbf{\hat{e}}_1 + I_2 \dot{\omega}_2\mathbf{\hat{e}}_2 + I_3 \dot{\omega}_3 \mathbf{\hat{e}}_3 + \begin{vmatrix} \mathbf{\hat{e}}_1 & \mathbf{\hat{e}}_2 & \mathbf{\hat{e}}_3 \\ \omega_1 & \omega_2 & \omega_3 \\ I_1\omega_1 & I_2\omega_2 & I_3\omega_3 \end{vmatrix} \\ & = (I_1 \dot{\omega}_1 − (I_2 − I_3) \omega_2\omega_3) \mathbf{\hat{e}}_1 + (I_2 \dot{\omega}_2 − (I_3 − I_1) \omega_3\omega_1)\mathbf{\hat{e}}_2 + (I_3 \dot{\omega}_3 − (I_1 − I_2) \omega_1\omega_2)\mathbf{\hat{e}}_3 \end{align}\]

donde los componentes en los ejes fijos del cuerpo están dados por

\[\begin{align} N_1 = I_1 \dot{\omega}_1 − (I_2 − I_3) \omega_2\omega_3 \\ N_2 = I_2 \dot{\omega}_2 − (I_3 − I_1) \omega_3\omega_1 \notag \\ N_3 = I_3 \dot{\omega}_3 − (I_1 − I_2) \omega_1\omega_2 \notag \end{align}\]

Estas son las ecuaciones de Euler para cuerpo rígido en un campo de fuerza expresado en el marco de coordenadas fijo al cuerpo. Son aplicables para cualquier par externo aplicado\(\mathbf{N}\).

El movimiento de un cuerpo rígido depende de la estructura del cuerpo solo a través de los tres momentos principales de inercia\(I_1\),\(I_2\), y\(I_3\). Así, todos los cuerpos que tengan los mismos momentos principales de inercia se comportarán exactamente igual aunque los cuerpos puedan tener formas muy diferentes. Como se discutió anteriormente, la forma geométrica más simple de un cuerpo que tiene tres momentos principales diferentes es un elipsoide homogéneo. Así, el movimiento de cuerpo rígido a menudo se describe en términos del elipsoide equivalente que tiene los mismos momentos principales.

Una deficiencia de las ecuaciones de Euler es que las soluciones producen la variación temporal de\(\boldsymbol{\omega}\) como se ve desde los ejes del marco de referencia fijo al cuerpo, y no en el marco de coordenadas inerciales fijas de los observadores. De manera similar, los componentes de los pares externos en las ecuaciones de Euler se dan con respecto al sistema de ejes fijos al cuerpo lo que implica que la orientación del cuerpo ya es conocida. Por lo tanto, para pares externos distintos de cero el problema no puede resolverse hasta que se conozca la orientación para determinar los componentes\(N^{ext}_i\). Sin embargo, estas dificultades desaparecen cuando los pares externos son cero, o si se conoce el movimiento del cuerpo y se requiere calcular los pares aplicados necesarios para producir dicho movimiento.