13.25: Equilibrio dinámico de llantas

Para maquinaria giratoria Es crucial que los rotores estén equilibrados tanto estáticamente como dinámicamente. Equilibrio estático significa que el centro de masa está en el eje de rotación. Equilibrio dinámico significa que el eje de rotación es un eje principal.

Por ejemplo, considere el rotor simétrico que tiene su eje de simetría en ángulo\(\phi\) con el eje de rotación. En este caso el sistema está equilibrado estáticamente ya que el centro de gravedad está sobre el eje de rotación. Sin embargo, el eje de rotación está en un ángulo\(\phi\) con respecto al eje de simetría. Esto implica que el eje tiene que proporcionar un par para mantener la rotación que no es a lo largo de un eje principal. Si distorsiona la rueda delantera de su automóvil golpeándola de lado contra la acera, o si la rueda no está dinámicamente balanceada, entonces encontrará que el volante puede vibrar salvajemente a ciertas velocidades debido a los pares causados por el desequilibrio dinámico que sacude el mecanismo de dirección. Esto puede ser especialmente malo cuando la frecuencia de rotación es cercana a una frecuencia resonante del sistema de suspensión. Insistir en que las ruedas de su automóvil estén equilibradas dinámicamente cuando cambie las llantas, el equilibrio estático no eliminará las fuerzas de desequilibrio dinámico. Otro ejemplo es que los alerones, el timón y el elevador de las aeronaves suelen estar dinámicamente equilibrados para detener la acumulación de oscilaciones que pueden acoplar a la flexión y aleteo del fuselaje, lo que puede provocar fallas en el fuselaje.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Forces on the bearings of a rotating circular disk

Figura\(\PageIndex{1}\): Rotación del disco circular alrededor de un eje que está en ángulo\(\alpha\) con el eje de simetría del disco circular.

Un disco circular homogéneo de masa\(M\), y radio\(R\), gira con velocidad angular constante\(\omega\) alrededor de un eje fijo al cuerpo pasando por el centro del disco circular como se muestra en la figura adyacente. El eje de rotación está inclinado en un ángulo\(\alpha\) con respecto al eje de simetría del disco circular por cojinetes en ambos lados del disco espaciados una distancia\(d\). Determinar las fuerzas sobre los rodamientos.

Elija los ejes fijos al cuerpo de tal manera que\(\hat{e}_3\) estén a lo largo del eje de simetría del disco circular, y\(\hat{e}_1\) los puntos en el plano del eje de simetría del disco y el eje de rotación. Estos ejes son los ejes principales para los que se puede calcular el tensor de inercia

\[\mathbf{I} = \frac{MR^2}{4} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} \notag\]

Tenga en cuenta que para este disco de láminas planas delgadas\(I_{11} + I_{22} = I_{33}\).

Los componentes del vector de velocidad angular\(\omega\) a lo largo de los tres ejes fijos al cuerpo vienen dados por

\[\boldsymbol{\omega} = (\omega \sin \alpha , 0,\omega \ cos \alpha ) \notag\]

Ya que se supone que\(\dot{\omega} = 0\) luego sustituirse en las ecuaciones de Euler\((13.17.6)\) da los pares que actúan para ser

\[N_1 = N_3 = 0 \\ N_2 = −\omega^2 \sin \alpha \cos \alpha \frac{1}{4} MR^2\notag\]

Es decir, el par está en la\(\hat{e}_2\) dirección. Así se pueden calcular las fuerzas\(F\) sobre los cojinetes ya que\(\mathbf{N} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}\), así

\[|F| = \frac{|N_2|}{ 2d} = MR^2\omega^2 \frac{\sin 2\alpha}{16d}\notag\]

Estime el tamaño de estas fuerzas para la rueda delantera de su automóvil que viaja en\(70\)\(m.p.h.\) si el eje de rotación se desplaza\(2^{\circ}\) desde el eje de simetría de la rueda.

Figura\(\PageIndex{2}\): Las volteretas delanteras de dos y medio con dos giros demuestran inequívocamente que un buceador puede iniciar una torsión continua en el aire. En la maniobra ilustrada el buzo hace más de un salto mortal completo antes de que empiece a torcerse. Para mantener la torsión el buzo no tiene que mover las piernas. [Fro80]