13.S: Rotación de Cuerpo Rígido (Resumen)

Este capítulo ha introducido el importante tema de la rotación de cuerpos rígidos que tiene muchas aplicaciones en física, ingeniería, deportes, etc.

Tensor de inercia

Se introdujo el concepto del tensor de inercia donde los 9 componentes del tensor de inercia están dados por

\[I_{ij} = \int\rho (\mathbf{r}^{\prime} ) \left( \delta_{ij} \left( \sum^3_k x^2_{k} \right) − x_{i} x_{ j} \right) dV\]

Teorema de eje paralelo de Steiner

\[J_{11} \equiv I_{11} + M((a^2_1 + a^2_2 + a^3_3) \delta_{11} - a^2_1) = I_{11} + M(a^2_2 + a^2_3) \]

relaciona el tensor de inercia alrededor del centro de masa con el sistema de eje paralelo, no a través del centro de masa.

Se utilizó la diagonalización del tensor de inercia alrededor de cualquier punto para encontrar los ejes principales correspondientes del cuerpo rígido.

Momento angular

El momento angular\(\mathbf{L}\) para la rotación del cuerpo rígido se expresa en términos del tensor de inercia y la frecuencia angular\(\omega\) por

\[ \mathbf{L} = \begin{pmatrix} I_{11} & I_{12} & I_{13} \\ I_{21} & I_{22} & I_{23} \\ I_{31} & I_{32} & I_{33} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \\ \omega_3 \end{pmatrix} = \{\mathbf{I}\} \cdot \boldsymbol{\omega} \label{13.55} \]

Energía cinética rotacional

La energía cinética rotacional es

\[T_{rot} = \frac{1}{2} \left( \omega_1 \ \omega_2 \ \omega_3 \right) \cdot \begin{pmatrix} I_{11} & I_{12} & I_{13} \\ I_{21} & I_{22} & I_{23} \\ I_{31} & I_{32} & I_{33} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \\ \omega_3 \end{pmatrix}\]

\[T_{rot} \equiv \mathbf{T} = \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega} \cdot \{\mathbf{I}\} \cdot \boldsymbol{\omega} = \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{L}\]

Ángulos de Euler

Los ángulos de Euler relacionan los ejes principales fijos al espacio y fijos al cuerpo. La velocidad angular\(\boldsymbol{\omega}\) expresada en términos de los ángulos de Euler tiene componentes para la velocidad angular en el sistema de eje fijo al cuerpo\((1, 2, 3)\)

\[\omega_1 = \dot{\phi}_1 + \dot{\theta}_1 + \dot{\psi}_1 = \dot{\phi} \sin \theta \sin \psi + \dot{\theta} \cos \psi \label{13.86}\]

\[\omega_2 = \dot{\phi}_2 + \dot{\theta}_2 + \dot{\psi}_2 = \dot{\phi} \sin \theta \cos \psi − \dot{\theta} \sin \psi \label{13.87}\]

\[\omega_3 = \dot{\phi}_3 + \dot{\theta}_3 + \dot{\psi}_3 = \dot{\phi} \cos \theta + \dot{\psi} \label{13.88}\]

Del mismo modo, los componentes de la velocidad angular para el sistema de eje fijo en el espacio\((x, y, z)\) son

\[\omega_x = \dot{\theta} \cos \phi + \dot{\psi} \sin \theta \sin \phi \label{13.89}\]

\[\omega_y = \dot{\theta} \sin \phi − \dot{\psi} \sin \theta \cos \phi \label{13.90}\]

\[\omega_z = \dot{\phi} + \dot{\psi} \cos \theta \label{13.91}\]

Invariantes rotacionales

Se introdujo el poderoso concepto de la invarianza rotacional de las propiedades escalares. Ejemplos importantes de invariantes rotacionales son los hamiltonianos, lagrangianos y ruthianos.

Ecuaciones de movimiento de Euler para movimiento de cuerpo rígido

Se exploró la dinámica del movimiento rotacional de cuerpo rígido y se derivaron las ecuaciones de movimiento de Euler utilizando mecánica newtoniana y lagrangiana.

\[\begin{align} N^{ext}_1 = I_1 \dot{\omega}_1 − (I_2 − I_3) \omega_2\omega_3 \label{13.103} \\ N^{ext}_2 = I_2 \dot{\omega}_2 − (I_3 − I_1) \omega_3\omega_1 \notag \\ N^{ext}_3 = I_3 \dot{\omega}_3 − (I_1 − I_2) \omega_1\omega_2 \notag \end{align}\]

Ecuaciones de movimiento de Lagrange para movimiento de cuerpo rígido

Las ecuaciones de movimiento de Euler para movimiento de cuerpo rígido, dadas en la Ecuación\ ref {13.103}, se derivaron usando las ecuaciones de Lagrange-Euler.

Movimiento sin par de torsión de cuerpos rígidos

Las ecuaciones de Euler y la mecánica lagrangiana se utilizaron para estudiar la rotación sin par de torsión de cuerpos simétricos y asimétricos, incluyendo la discusión sobre la estabilidad de la rotación sin torsión.

Cuerpo simétrico giratorio sujeto a un par

El complicado movimiento exhibido por una parte superior simétrica, que gira alrededor de un punto fijo y sujeta a un par, se introdujo y resolvió usando mecánica lagrangiana.

La rueda rodante

Se introdujo el movimiento no holonómico de las ruedas rodantes, así como la importancia del equilibrio estático y dinámico de la maquinaria giratoria.

Rotación de cuerpos deformables

Se introdujo el complicado movimiento no holonómico que implica la rotación de cuerpos deformables.