14.6: Teoría Analítica General para Osciladores Lineales Acoplados

La discusión de un sistema de doble oscilador acoplado en Sección\(14.5\) ha demostrado que es posible seleccionar modos normales simétricos y antisimétricos que sean independientes y cada uno tenga frecuencias características. Las coordenadas normales para estos dos modos normales corresponden a superposiciones lineales de las amplitudes espaciales de los dos osciladores y se pueden obtener mediante una rotación en el sistema de coordenadas normales apropiado. La extensión de esto a sistemas que comprenden osciladores lineales\(n\) acoplados, requiere el desarrollo de una teoría analítica general, que sea capaz de encontrar los modos normales y sus valores propios y vectores propios. Como se ilustra para el oscilador doble, la solución de muchos osciladores lineales acoplados es un problema clásico de valores propios donde uno tiene que girar hacia el sistema de eje principal para proyectar los modos normales. La siguiente discusión presenta una aproximación general al problema de encontrar las coordenadas normales para un sistema de osciladores lineales\(n\) acoplados.

Consideremos un sistema conservador de osciladores\(n\) acoplados, descrito en términos de coordenadas generalizadas\(q_k\) y\(t\) con subíndice\(k = 1, 2, 3, \ldots, n\) para un sistema con\(n\) grados de libertad. Se supone que los osciladores acoplados tienen un equilibrio estable con coordenadas generalizadas\(q_{k0}\) en equilibrio. Además, se supone que las amplitudes de oscilación son suficientemente pequeñas para asegurar que el sistema sea lineal.

Para la posición de equilibrio\(q_k = q_{k0}\), las ecuaciones de Lagrange deben satisfacer

\[\begin{align} \dot{q}_k = 0 \label{12.27} \\ \ddot{q}_k = 0 \notag \end{align}\]

Cada término distinto de cero de la forma\(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\) en las ecuaciones de Lagrange debe contener al menos uno\(\dot{q}_k\) o\(\ddot{q}_k\) cuales son cero en equilibrio; así todos esos términos desaparecen en equilibrio. En equilibrio

\[\left(\frac{\partial L}{\partial q_k}\right)_0 = \left(\frac{\partial T}{\partial q_k}\right)_0 − \left(\frac{\partial U}{\partial q_k}\right)_0 = 0 \label{12.28}\]

donde el subíndice\(0\) designa en equilibrio.

Tensor de energía cinética T

En el capítulo\(7.6\) se demostró que, en términos de coordenadas rectangulares fijas, la energía cinética para\(N\) los cuerpos, con coordenadas\(n\) generalizadas, se expresa como

\[T = \frac{1}{2} \sum^N_{ \alpha =1} \sum^3_{i=1 } m_{\alpha} \dot{x}^2_{\alpha ,i} \label{12.29}\]

Expresando estas en términos de coordenadas generalizadas\(x_{\alpha ,i} = x_{\alpha ,i}(q_j , t)\) donde\(j = 1, 2, ...n\), luego las velocidades generalizadas están dadas por

\[\dot{x}_{\alpha ,i} = \sum^n_{j=1} \frac{\partial x_{\alpha ,i}}{\partial q_j} \dot{q}_j + \frac{\partial x_{\alpha ,i}}{\partial t} \label{12.30}\]

Como se discute en el capítulo\(7.6\), si el sistema es escleronómico entonces la derivada parcial

\[\frac{\partial x_{\alpha ,i}}{\partial t} = 0 \label{12.31}\]

Así, la energía cinética, Ecuación\ ref {12.29}, de un sistema escleronómico puede escribirse como una función cuadrática homogénea de las velocidades generalizadas

\[T = \frac{1}{2} \sum^{n}_{j,k} T_{jk} \dot{q}_j \dot{q}_k \label{12.32}\]

donde están los componentes del tensor\(\mathbf{T}\) de energía cinética

\[T_{jk} \equiv \sum^{N}_{\alpha} m_{\alpha} \sum^3_i \frac{ \partial x_{\alpha ,i}}{\partial q_j} \frac{ \partial x_{\alpha ,i}}{\partial q_k} \label{12.33}\]

Obsérvese que si las velocidades\(\dot{q}\) corresponden a la velocidad de traslación, entonces el tensor de energía cinética\(\mathbf{T}\) corresponde a un tensor de masa efectivo, mientras que si las velocidades corresponden a velocidades rotacionales angulares, entonces el tensor de energía cinética\(\mathbf{T}\) corresponde al tensor de inercia.

Es posible hacer una expansión del\(T_{jk}\) sobre los valores de equilibrio de la forma

\[T_{jk} (q_1, q_2, ..q_n) = T_{jk} (q_{i0}) + \sum_l \left(\frac{\partial T_{jk}}{\partial q_l}\right)_0 q_l + ... \label{12.34}\]

Sólo se mantendrá el término de primer orden ya que los términos segundo y superior son del mismo orden que los términos de orden superior ignorados en la expansión Taylor del potencial. Así, en el punto de equilibrio, asumir que\(\left(\frac{\partial T}{\partial q_k} \right)_0 = 0\) donde\(k = 1, 2, 3, ...n\).

Tensor de energía potencial V

Ecuaciones\ ref {12.28} más\ ref {12.34} implican que

\[\left(\frac{\partial U}{\partial q_k}\right)_0 = 0 \label{12.35}\]

donde\(k = 1, 2, 3, ...n\).

Hacer una expansión Taylor sobre el equilibrio para la energía potencial, asumiendo por simplicidad que las coordenadas se han traducido para asegurar que\(q_k = 0\) en equilibrio. Esto da

\[U (q_1, q_2, ..q_n) = U_0 + \sum_k \left(\frac{\partial U}{\partial q_k}\right)_0 q_k + \frac{1}{2} \sum_{ j,k} \left( \frac{\partial^2 U}{ \partial q_j \partial q_k } \right)_0 q_j q_k + .. \label{12.36}\]

El término lineal es cero ya que\(\left( \frac{\partial U}{\partial q_k} \right)_0 = 0\) en el punto de equilibrio, y sin pérdida de generalidad, se puede medir el potencial con respecto a\(U_0\). Supongamos que las amplitudes son pequeñas, entonces la expansión puede restringirse al término cuadrático, correspondiente al potencial del oscilador lineal simple

\[U (q_1, q_2, ..q_n) − U_0 = U^{\prime} (q_1, q_2, ..q_n) = \frac{1}{2} \sum_{ j,k} \left( \frac{\partial^2 U} {\partial q_j\partial q_k} \right)_0 q_j q_k = \frac{1}{2} \sum_{j,k} V_{jk} q_j q_k \label{12.37}\]

Eso es

\[U^{\prime} (q_1, q_2, ..q_n) = \frac{1}{2} \sum_{j,k} V_{jk} q_j q_k \label{12.38}\]

donde los componentes del tensor de energía potencial\(\mathbf{V}\) se definen como

\[V_{jk} \equiv \left( \frac{\partial^2 U^{\prime}}{ \partial q_j\partial q_k} \right)_0 \label{12.39}\]

Tenga en cuenta que el orden de diferenciación no es importante y por lo tanto la cantidad\(V_{jk}\) es simétrica

\[V_{jk} = V_{kj} \label{12.40}\]

El movimiento del sistema se ha especificado para pequeñas oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio y se ha demostrado que\(U^{\prime} (q_1, q_2, ...q_n)\) tiene un valor mínimo en equilibrio que se toma como cero por conveniencia.

En conclusión, las ecuaciones\ ref {12.32} y\ ref {12.38} dan

\[T = \frac{1}{2} \sum^n_{j,k} T_{jk} \dot{q}_j \dot{q}_k \label{12.41} \]

\[U^{\prime} = \frac{1}{2} \sum^n_{j,k} V_{jk} q_j q_k \label{12.42}\]

donde están los componentes del tensor de energía cinética\(\mathbf{T}\) y del tensor\(\mathbf{V}\) de energía potencial

\[T_{j k} \equiv\left(\sum_{\alpha}^{N} m_{\alpha} \sum_{i}^{3} \frac{\partial x_{\alpha, i}}{\partial q_{j}} \frac{\partial x_{\alpha, i}}{\partial q_{k}}\right)_{0} \label{12.43}\]

\[V_{j k} \equiv\left(\frac{\partial^{2} U^{\prime}}{\partial q_{j} \partial q_{k}}\right)_{0} \label{12.44}\]

Tenga en cuenta que\(q_j\) y\(q_k\) puede tener diferentes unidades, pero todos los términos en las sumataciones para ambos\(T\) y\(U^{\prime}\), tienen unidades de energía. \(T_{jk}\)Los valores\(V_{jk}\) y se evalúan en el punto de equilibrio, y así ambos\(V_{jk}\) y\(T_{jk}\) son\(n \times n\) conjuntos de valores evaluados en la ubicación de equilibrio.

Ecuaciones de movimiento

Tanto la energía cinética como los términos de energía potencial son productos de las coordenadas que conducen a un conjunto de ecuaciones acopladas que son complicadas de resolver. El problema se simplifica enormemente al seleccionar un conjunto de coordenadas normales para las cuales ambas\(T\) y\(U\) son diagonales, luego desaparecen los términos de acoplamiento. Así, se debe encontrar una transformación de coordenadas que diagonalice simultáneamente\(T_{jk}\) y con el\(V_{jk}\) fin de obtener un conjunto de coordenadas normales.

La energía cinética\(T\) es solo una función de las velocidades generalizadas\(\dot{q}_k\) mientras que la energía potencial conservadora es solo una función de las coordenadas generalizadas\(q_k\). Así, las ecuaciones de Lagrange

\[\frac{\partial L}{\partial q_k} − \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} = 0 \label{12.45}\]

reducir a

\[\frac{\partial U}{\partial q_k} + \frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_k} = 0 \label{12.46}\]

Pero

\[\frac{\partial U}{\partial q_k} = \sum^n_j V_{jk} q_j \label{12.47}\]

y

\[\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_k} = \sum^n_j T_{jk} \dot{q}_j \label{12.48}\]

Así, las ecuaciones de Lagrange se reducen al siguiente conjunto de ecuaciones de movimiento,

\[\sum^n_j (V_{jk} q_j + T_{jk} \ddot{q}_j )=0 \label{12.49}\]

Para cada uno\( k\), donde\(1 \leq k \leq n\), existe un conjunto de ecuaciones diferenciales homogéneas lineales de\(n\) segundo orden con coeficientes constantes. Dado que el sistema es oscilatorio, es natural probar una solución de la forma

\[q_j (t) = a_j e^{i(\omega t−\delta )} \label{12.50}\]

Suponiendo que el sistema es conservador, entonces esto implica que\(\omega\) es real, ya que un término imaginario para\(\omega\) conduciría a un término de amortiguación exponencial. Las constantes arbitrarias son la amplitud real\(a_j\) y la fase\(\delta\). La sustitución de esta solución de prueba para cada uno\(k\) conduce a un conjunto de ecuaciones

\[\sum_j (V_{jk} − \omega^2 T_{jk} ) a_j = 0 \label{12.51}\]

donde se\(e^{i(\omega t−\delta )}\) ha eliminado el factor común. La ecuación\ ref {12.51} corresponde a un conjunto de ecuaciones algebraicas homogéneas\(n\) lineales que las\(a_j\) amplitudes deben satisfacer para cada una\(k\). Para que exista una solución no trivial, el determinante de los coeficientes debe desaparecer, es decir

\[\begin{vmatrix} V_{11} − \omega^2 T_{11} & V_{12} − \omega^2 T_{12} & V_{13} − \omega^2 T_{13} & ... \\ V_{12} − \omega^2 T_{12} & V_{22} − \omega^2 T_{22} & V_{23} − \omega^2 T_{23} & ... \\ V_{13} − \omega^2 T_{13} & V_{23} − \omega^2 T_{23} & V_{33} − \omega^2 T_{33} & ... \\ ... & ... & ... & ... \end{vmatrix} = 0 \label{12.52}\]

donde se\(V_{jk} = V_{kj}\) ha incluido la simetría. Este es el problema del valor propio estándar para el cual el determinante anterior da la ecuación secular o la ecuación característica. Es una ecuación de grado\(n\) en\(\omega^2\). Las\(n\) raíces de esta ecuación son\(\omega^2_r\) donde\(\omega_r\) están las frecuencias características o frecuencias propias de los modos normales.

La sustitución de\(\omega^2_r\) en Ecuación\ ref {12.52} determina la relación\(a_{1,r} : a_{2,r} : a_{3,r} : ... : a_{n,r}\) para esta solución que define los componentes del vector propio\(n\) -dimensional\(\mathbf{a}_r\). Es decir, la solución de las ecuaciones seculares han determinado los valores propios y vectores propios de las\(n\) soluciones del sistema de canales acoplados.

Superposición

Las ecuaciones de movimiento\(\sum_j (V_{jk} q_j + T_{jk} \ddot{q}_j )=0\) son ecuaciones lineales que satisfacen la superposición. Así, la solución más general\(q_j (t)\) puede ser una superposición de los\(n\) vectores propios\(\mathbf{a}_{jr}\), es decir

\[q_j (t) = \sum^n_r a_{jr} e^{i(\omega_rt−\delta_r)} \label{12.53}\]

Sólo la parte real de\(q_j (t)\) tiene sentido, es decir,

\[q_j (t) = \text{ Re} \sum^n_r a_{jr} e^{i(\omega_r t−\delta_r)} = \sum^n_r a_{jr} \cos (\omega_r t − \delta_r) \label{12.54}\]

Así, la solución más general de estas ecuaciones lineales implica una suma sobre los vectores propios del sistema que son funciones coseno de las frecuencias propias correspondientes.

Ortonormalidad de función propia

Se puede demostrar que los vectores propios son ortogonales. Además, el procedimiento anterior sólo determina proporciones de amplitudes, por lo que existe una indeterminación que se puede utilizar para normalizar el\(a_{jr}\). Así, los vectores propios forman un conjunto ortonormal. En el capítulo se ilustró la ortonormalidad de las funciones propias para el tensor de inercia de rango 3\(13.10.2\). Se aplican argumentos similares que permiten extender la ortonormalidad a casos de mayor rango tal que para osciladores acoplados a\(n\) cuerpo.

La ortogonalidad de la función propia para osciladores\(n\) acoplados se puede probar escribiendo la Ecuación\ ref {12.51} tanto para la\(s^{th}\) raíz como para la\(r^{th}\) raíz. Es decir,

\[\sum_j V_{jk} a_{ks} = \omega^2_s \sum_j T_{jk} a_{ks} \label{12.55} \]

\[\sum_j V_{jk} a_{jr} = \omega^2_r \sum_j T_{jk} a_{jr} \label{12.56} \]

Multiplicar la ecuación\ ref {12.55} por\(a_{jr}\) y sumar\(k\). De manera similar, multiplique la ecuación\ ref {12.56} por\(a_{ks}\) y suma\(k\). Estas sumataciones conducen a

\[\sum_{jk} V_{jk} a_{jr}a_{ks} = \omega^2_s \sum_{jk} T_{jk} a_{jr} a_{ks} \label{12.57} \]

\[\sum_{jk} V_{jk} a_{jr}a_{ks} = \omega^2_r \sum_{jk} T_{jk} a_{jr}a_{ks} \label{12.58} \]

Tenga en cuenta que los lados izquierdos de estas dos ecuaciones son idénticos. Así, tomar la diferencia entre estas ecuaciones da

\[(\omega^2_r − \omega^2_s) \sum_{jk} T_{jk} a_{jr} a_{ks} = 0 \label{12.59}\]

Tenga en cuenta que si\((\omega^2_r − \omega^2_s ) \neq 0\), es decir, asumiendo que las frecuencias propias no están degeneradas, entonces para asegurar que la Ecuación\ ref {12.59} es cero se requiere que

\[\sum_{jk} T_{jk} a_{jr} a_{ks} = 0 \quad r \neq s \label{12.60}\]

Esto demuestra que las funciones propias son ortogonales. Si las frecuencias propias son degeneradas, es decir\(\omega^2_r = \omega^2_s\), entonces, sin pérdida de generalidad, los ejes\(r\) y se\(s\) pueden elegir para que sean ortogonales.

La normalización de la función propia se puede elegir libremente ya que solo se determinan las relaciones de los componentes\(a_{jr}\) de la función propia cuando\(\omega_r\) se usa en la Ecuación\ ref {12.51}. La energía cinética, dada por la Ecuación\ ref {12.32} debe ser positiva, o cero para el caso de un sistema estático. Eso es

\[T = \frac{1}{2} \sum^n_{j,k} T_{jk} \dot{q}_j \dot{q}_k \geq 0 \label{12.61}\]

Utilice la derivada de tiempo de la Ecuación\ ref {12.54} para determinar\(\dot{q}_r\) e insertar en la Ecuación\ ref {12.61} da que la energía cinética es

\[T=\frac{1}{2} \sum_{j, k}^{n} T_{j k} \dot{q}_{j} \dot{q}_{k}=\frac{1}{2} \sum_{j, k}^{n} T_{j k} \sum_{r, s} \omega_{r} \omega_{s} a_{j r} \cos \left(\omega_{r} t-\delta_{r}\right) a_{k s} \cos \left(\omega_{s} t-\delta_{s}\right) \label{12.62} \]

Para el término diagonal\(r = s\)

\[T=\frac{1}{2} \sum_{j, k}^{n} T_{j k} \dot{q}_{j} \dot{q}_{k}=\left[\frac{1}{2} \sum_{r}^{n} \omega_{r}^{2} \cos ^{2}\left(\omega_{r} t-\delta_{r}\right)\right] \sum_{j, k} T_{j k} a_{j r} a_{k r} \geq 0 \label{12.63}\]

Dado que el término entre corchetes debe ser positivo, entonces

\[\sum_{j,k} T_{jk} a_{jr} a_{kr} \geq 0 \label{12.64}\]

Dado que esta suma debe ser un número positivo, y la magnitud de las amplitudes se puede elegir libremente, entonces es posible normalizar las amplitudes de función propia a la unidad. Es decir, elige eso

\[\sum_{j,k} T_{jk} a_{jr} a_{ks} = 1 \label{12.65}\]

La ecuación de ortogonalidad,\ ref {12.60} y la ecuación de normalización\ ref {12.65} se pueden combinar en una sola ecuación de ortonormalización

\[\sum_{j,k} T_{jk} a_{jr} a_{ks} = \delta_{rs} \label{12.66}\]

Esto ha demostrado que los vectores propios forman un conjunto ortonormal.

Dado que el\(j^{th}\) componente\(r^{th}\) del vector propio es\(a_{jr}\), entonces el\(r^{th}\) vector propio se puede escribir en la forma

\[\mathbf{a}_r = \sum_j a_{jr} \widehat{\mathbf{e}_j} \label{12.67}\]

donde\(\widehat{\mathbf{e}_j}\) están los vectores unitarios para las coordenadas generalizadas.

Coordenadas normales

La solución general anterior del problema del oscilador acoplado se expresa mejor en términos de las coordenadas normales que son independientes. Es más transparente si la superposición de los modos normales se escribe en la forma

\[q_{j}(t)=\sum_{r}^{n} \beta_{r} a_{j r} e^{i \omega_{r} t} \label{12.68}\]

donde el factor complejo\(\beta_r\) incluye el factor de escala arbitraria para permitir amplitudes arbitrarias así\(q_j\) como el hecho de que las amplitudes se\(a_{jr}\) han normalizado y se\(\delta_r\) ha elegido el factor de fase.

Definir

\[\eta_{r} (t) \equiv \beta_{r} e^{i \omega_{r} t} \label{12.69}\]

entonces la ecuación\ ref {12.68} puede escribirse como

\[q_j (t) = \sum^n_r a_{jr}\eta_r (t) \label{12.70} \]

La ecuación\ ref {12.70} se puede expresar esquemáticamente como la multiplicación de la matriz

\[{\bf q = \{a\} \cdot} \boldsymbol{\eta} \label{12.71}\]

Las\(\eta_r (t)\) son las coordenadas normales que se pueden expresar en la forma

\[\boldsymbol{\eta} {\bf = \{a\}^{−1} q } \label{12.72}\]

Cada modo normal\(\eta_r\) corresponde a una única frecuencia propia,\(\omega_r\) que satisface la ecuación del oscilador lineal

\[\ddot{\eta}_r + \omega^2_r \eta_r = 0 \label{12.73}\]

Colaboradores y Atribuciones

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