14.S: Osciladores lineales acoplados (Resumen)

Este capítulo se ha centrado en muchos sistemas de osciladores lineales acoplados a cuerpos que son una característica ubicua en la naturaleza. Un resumen de las principales conclusiones son las siguientes.

Modos normales

Se demostró que los osciladores lineales acoplados exhiben modos normales y coordenadas normales que corresponden a modos independientes de oscilación con frecuencias propias características\(\omega_i\).

Teoría analítica general para osciladores lineales acoplados

La mecánica lagrangiana se utilizó para derivar el procedimiento analítico general para la solución del problema del oscilador acoplado de muchos cuerpos que se reduce al problema de valores propios convencionales. Un resumen del procedimiento para resolver problemas de osciladores acoplados es el siguiente:.

1) Elegir coordenadas generalizadas\(q_j\) y evaluar\(T\) y\(U\).

\[T = \frac{1}{2} \sum^{n}_{j,k} T_{jk} \dot{q}_j\dot{q}_k\]

y

\[U^{\prime} = \frac{1}{2} \sum^n_{j,k} V_{jk} q_j q_k \label{12.42}\]

donde están los componentes de\(\mathbf{T}\) los\(\mathbf{V}\) tensores y

\[T_{j k} \equiv\left(\sum_{\alpha}^{N} m_{\alpha} \sum_{i}^{3} \frac{\partial x_{\alpha, i}}{\partial q_{j}} \frac{\partial x_{\alpha, i}}{\partial q_{k}}\right)_{0} \label{12.43}\]

y

\[V_{j k} \equiv\left(\frac{\partial^{2} U}{\partial q_{j} \partial q_{k}}\right)_{0} \label{12.44}\]

2) Determinar los valores propios\(\omega_r\) utilizando el determinante secular.

\[\begin{vmatrix} V_{11} − \omega^2 T_{11} & V_{12} − \omega^2 T_{12} & V_{13} − \omega^2 T_{13} & ... \\ V_{12} − \omega^2 T_{12} & V_{22} − \omega^2 T_{22} & V_{23} − \omega^2 T_{23} & ... \\ V_{13} − \omega^2 T_{13} & V_{23} − \omega^2 T_{23} & V_{33} − \omega^2 T_{33} & ... \\ ... & ... & ... & ... \end{vmatrix} = 0 \]

3) Los vectores propios se obtienen insertando los valores propios\(\omega_r\) en

\[\sum^n_j (V_{jk} − \omega^2_r T_{jk} ) a_j = 0 \label{12.51}\]

4) A partir de las condiciones iniciales se determinan los factores de escala complejos\(\beta_r\) donde

\[\eta_r(t) \equiv \beta_r e^{i\omega_rt}\]

5) Determinar las coordenadas normales donde cada una\(\eta_r\) es un modo normal. Las coordenadas normales se pueden expresar como

\[\boldsymbol{\eta} = \mathbf{\{a\}^{-1}}\mathbf{q}\]

Sistemas de osciladores acoplados de pocos cuerpos

Se utilizó la teoría analítica general para determinar las soluciones para acoplamientos paralelos y en serie de dos y tres osciladores lineales. Los fenómenos observados incluyen valores propios degenerados y no degenerados y modos oscilatorios espurios de centro de masa. Existen dos amplias clasificaciones para tres o más osciladores acoplados, es decir, ya sea el acoplamiento completo de todos los osciladores, o el acoplamiento de los osciladores del vecino más cercano. Se observa que el valor propio correspondiente al movimiento más coherente de los osciladores acoplados corresponde al movimiento más colectivo y su valor propio es el que más se desplaza en energía de los valores propios restantes. Para algunos sistemas este modo colectivo coherente correspondía a un movimiento de centro de masa sin excitación interna de los otros modos, mientras que los otros valores propios correspondían a modos con excitación interna de los osciladores de tal manera que el centro de masa es estacionario. El procedimiento anterior se ha aplicado a dos clasificaciones de acoplamiento, acoplamiento completo de muchos osciladores y acoplamiento vecino más cercano. Se observaron modos de centro de masa tanto degenerados como espurios. Los fuertes grados de libertad de forma colectiva en los núcleos son ejemplos de acoplamiento completo debido a las débiles interacciones residuales entre los nucleones en el núcleo. Se vio que, para muchos osciladores acoplados, un estado coherente se separa de los otros estados y este estado coherente lleva la mayor parte de la fuerza colectiva.

Cadena de celosía discreta

Se discutieron los modos de movimiento transversal y longitudinal en la cadena reticular discreta debido al importante papel que juega en la naturaleza, como en las estructuras de celosía cristalina. Se discutieron tanto los modos normales como las ondas viajeras, incluyendo los fenómenos de dispersión y frecuencias de corte. Las moléculas y las cadenas de la red cristalina son ejemplos donde se manifiesta el acoplamiento vecino más cercano. Se demostró que, para la cadena de celosía discreta\(n\) −oscilador, solo hay modos longitudinales\(n\) independientes más\(n\) modos para las dos polarizaciones transversales, y que existe la frecuencia angular, es\(\omega_r \leq 2\omega_0\) decir, una frecuencia de corte.

Osciladores lineales acoplados amortiguados

Se demostró que los sistemas de osciladores acoplados linealmente amortiguados pueden resolverse analíticamente utilizando el concepto de la función de disipación Rayleigh.

Sincronización colectiva de osciladores acoplados

El modelo de fase esquemático de Kuramoto se utilizó para ilustrar cómo las fuerzas residuales débiles pueden causar la sincronización colectiva del movimiento de muchos osciladores acoplados. Esto es aplicable a muchos sistemas acoplados grandes como núcleos, moléculas y sistemas biológicos.