15.3: Transformaciones canónicas en la mecánica hamiltoniana

La mecánica hamiltoniana es una forma especialmente elegante y poderosa de derivar las ecuaciones de movimiento para sistemas complicados. Desafortunadamente, integrar las ecuaciones de movimiento para derivar una solución puede ser un desafío. Hamilton reconoció esta dificultad, por lo que propuso utilizar funciones generadoras para realizar transformaciones canónicas que transformen las ecuaciones en una forma soluble conocida. Jacobi, matemático contemporáneo, reconoció la importancia de los desarrollos pioneros de Hamilton en la mecánica hamiltoniana, y por lo tanto desarrolló un sofisticado marco matemático para explotar el formalismo de la función generadora con el fin de realizar las transformaciones canónicas requeridas para resolver Ecuaciones de movimiento de Hamilton.

En la formulación de Lagrange, transformar coordenadas en coordenadas\((q_i, \dot{q}_i)\) cíclicas generalizadas\((Q_i, \dot{Q}_i)\), simplifica la búsqueda de las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange. Para la formulación hamiltoniana, el concepto de transformaciones de coordenadas se extiende para incluir la transformación canónica simultánea tanto de las coordenadas\(q_i\) espaciales como de los momentos conjugados\(p_i\) de\((q_i, p_i)\) a\((Q_i, P_i)\), donde ambas variables canónicas son tratadas por igual en la transformación. En comparación con la mecánica lagrangiana, la mecánica hamiltoniana tiene el doble de variables, lo que es un activo, más que un pasivo, ya que amplía el ámbito de las posibles transformaciones canónicas.

La mecánica hamiltoniana tiene la ventaja de que la generación de funciones puede ser explotada para hacer transformaciones canónicas para encontrar soluciones, lo que evita tener que utilizar la integración directa. Las transformaciones canónicas son la base de la mecánica hamiltoniana; subyacen a la teoría de Hamilton-Jacobi y a la teoría de las variables de ángulo de acción, las cuales son medios poderosos para explotar la mecánica hamiltoniana para resolver problemas en física e ingeniería. El concepto subyacente a las transformaciones canónicas es que, si las ecuaciones de movimiento se simplifican mediante el uso de un nuevo conjunto de variables generalizadas\((\mathbf{Q},\mathbf{P})\), en comparación con el uso del conjunto original de variables\((\mathbf{q},\mathbf{p})\), entonces se ha ganado una ventaja. La solución, expresada en términos de las variables generalizadas\((\mathbf{Q},\mathbf{P})\), puede transformarse de nuevo para expresar la solución en términos de las coordenadas originales,\((\mathbf{q},\mathbf{p})\).

Sólo se considerará un subconjunto especializado de transformaciones, a saber, las transformaciones canónicas que preservan la forma canónica de las ecuaciones de movimiento de Hamilton. Es decir, dado que el conjunto original de variables\((q_i, p_i)\) satisface las ecuaciones de Hamilton

\[\mathbf{\dot{q}} = \frac{\partial H (\mathbf{q},\mathbf{p}, t)}{ \partial \mathbf{p}} \quad − \mathbf{\dot{p}} = \frac{\partial H (\mathbf{q},\mathbf{p}, t)}{ \partial \mathbf{q}} \label{15.71}\]

para algunos hamiltonianos\(H(\mathbf{q},\mathbf{p}, t)\), entonces la transformación a coordenadas\(Q_i(q_k,p_k, t), P_i (q_k, p_k, t)\) es canónica si, y sólo si, existe una función\(\mathcal{H}(\mathbf{Q},\mathbf{P}, t)\) tal que los\( \mathbf{ P}\) y todavía\( \mathbf{ Q}\) se rigen por las ecuaciones de Hamilton. Es decir,

\[\mathbf{\dot{Q}} = \frac{\partial\mathcal{H}(\mathbf{Q},\mathbf{P}, t)}{ \partial \mathbf{P}} \quad − \mathbf{\dot{P}} = \frac{\partial\mathcal{H}(\mathbf{Q},\mathbf{P}, t) }{\partial \mathbf{Q}} \label{15.72}\]

donde\(\mathcal{H}(\mathbf{Q},\mathbf{P}, t)\) juega el papel del hamiltoniano para las nuevas variables. Tenga en cuenta que\(\mathcal{H}(\mathbf{Q},\mathbf{P}, t)\) puede ser muy diferente a la antigua hamiltoniana\(H(\mathbf{q},\mathbf{p}, t)\). La invarianza del corchete de Poisson a las transformaciones canónicas\(15.2\), capítulo, proporciona una poderosa prueba de que la transformación es canónica.

El principio de menor acción de Hamilton, discutido en el capítulo\(9\), establece que

\[\delta S = \delta \int^{t_2}_{t_1} L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}, t)dt = \delta \int^{t_2}_{t_1} [\mathbf{p} \cdot \mathbf{\dot{q}} − H(\mathbf{q},\mathbf{p}, t)] dt = 0 \label{15.73}\]

De igual manera, aplicar el Principio de menor acción de Hamilton al nuevo Lagrangiano\(\mathcal{L}(\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}} , t)\) da

\[\delta S = \delta \int^{t_2}_{t_1} \mathcal{L}(\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}} , t)dt = \delta \int^{t_2}_{t_1} \left[ \mathbf{P} \cdot \mathbf{\dot{Q}} − \mathcal{H}(\mathbf{Q},\mathbf{P}, t) \right] dt = 0 \label{15.74}\]

La discusión de los lagrangianos invariantes de galga, capítulo\(9.3\), mostró que\(L\) y\(\mathcal{L}\) puede relacionarse por la derivada del tiempo total de una función generadora\(F\) donde

\[\frac{dF}{ dt} = \mathcal{L} − L \label{15.75}\]

La función generadora\(F\) puede ser cualquier función de buen comportamiento con segundas derivadas continuas de las variables canónicas antiguas y nuevas\(\mathbf{p}\),\(\mathbf{q}\),\(\mathbf{P}\),\(\mathbf{Q}\) y\(t\). Así los integrands de\ ref {15.73} y\ ref {15.74} están relacionados por

\[\mathbf{p} \cdot \mathbf{\dot{q}} − H(\mathbf{q},\mathbf{p}, t) = \lambda \left[ \mathbf{P} \cdot \mathbf{\dot{Q}} − \mathcal{H}(\mathbf{Q},\mathbf{P}, t) \right] + \frac{dF}{dt} \label{15.76}\]

donde\(\lambda\) hay una posible transformación a escala. Una transformación a escala, como el cambio de unidades, es trivial, y se supondrá que se absorbe en las coordenadas, haciendo\(\lambda = 1\). Suponiendo que eso\(\lambda \neq 1\) se llama una transformación canónica extendida.

Generando funciones

La función generadora\(F\) tiene que elegirse de tal manera que la transformación de las variables iniciales\(( \mathbf{q},\mathbf{p})\) a las variables finales\((\mathbf{Q},\mathbf{P})\) sea una transformación canónica. La función generadora elegida contribuye a\ ref {15.76} solo si es una función de las variables antiguas más nuevas. Los cuatro posibles tipos de funciones generadoras de primer tipo, son\(F_1(\mathbf{q}, \mathbf{Q}, t)\)\(F_2(\mathbf{q},\mathbf{P}, t)\),\(F_3(\mathbf{p}, \mathbf{Q}, t)\), y\(F_4(\mathbf{p}, \mathbf{P}, t)\). Estas cuatro funciones generadoras conducen a transformaciones canónicas relativamente simples, se muestran a continuación.

Tipo 1:\(F = F_1(\mathbf{q}, \mathbf{Q},t)\):

La derivada de tiempo total de la función generadora\(F = F_1(\mathbf{q}, \mathbf{Q},t)\) viene dada por

\[\frac{dF(\mathbf{q}, \mathbf{Q},t)}{ dt} = \left[ \frac{\partial F_1(\mathbf{q}, \mathbf{Q},t)}{ \partial \mathbf{q}} \cdot \mathbf{\dot{q}} + \frac{\partial F_1(\mathbf{q}, \mathbf{Q},t)}{ \partial \mathbf{Q}} \cdot \mathbf{\dot{Q}} \right] + \frac{\partial F_1(\mathbf{q}, \mathbf{Q},t) }{\partial t} \label{15.77}\]

Insertar Ecuación\ ref {15.77} en Ecuación\ ref {15.76}, y asumir que el factor de escala trivial\(\lambda = 1\), entonces

\[\left[ \mathbf{p} − \frac{\partial F_1(\mathbf{q}, \mathbf{Q},t)}{ \partial \mathbf{q}} \right] \cdot \mathbf{\dot{q}} − H(\mathbf{q},\mathbf{p}, t) = \left[ \mathbf{P} + \frac{\partial F_1(\mathbf{q}, \mathbf{Q},t)}{ \partial \mathbf{Q}} \right] \cdot \mathbf{\dot{Q}} − \mathcal{H}(\mathbf{Q},\mathbf{P}, t) + \frac{\partial F_1(\mathbf{q}, \mathbf{Q},t) }{\partial t} \nonumber\]

Supongamos que la función generadora\(F_1\) determina las variables canónicas\(\mathbf{p}\) y\(\mathbf{P}\) ser

\[\mathbf{p} = \frac{\partial F_1(\mathbf{q}, \mathbf{Q},t)}{ \partial \mathbf{q}} \qquad \mathbf{P} = −\frac{\partial F_1(\mathbf{q}, \mathbf{Q},t)}{ \partial \mathbf{Q}} \label{15.78}\]

luego se cancelan los términos en cada corchete, lo que lleva a la transformación canónica requerida

\[\mathcal{H}(\mathbf{Q},\mathbf{P}, t) = H(\mathbf{q},\mathbf{p}, t) + \frac{\partial F_1(\mathbf{q}, \mathbf{Q},t)}{ \partial t} \label{15.79}\]

Tipo 2:\(F = F_2(\mathbf{q},\mathbf{P},t) − \mathbf{Q} \cdot \mathbf{P}\):

La derivada de tiempo total de la función generadora\(F = F_2(\mathbf{q},\mathbf{P},t)−\mathbf{Q} \cdot \mathbf{P}\) viene dada por

\[\frac{dF}{ dt} = \left[ \frac{\partial F_2(\mathbf{q},\mathbf{P},t)}{ \partial \mathbf{q}} \cdot \mathbf{\dot{q}} + \frac{\partial F_2(\mathbf{q},\mathbf{P},t)}{ \partial \mathbf{P}} \cdot \mathbf{\dot{p}} − \mathbf{P} \cdot \mathbf{\dot{Q}} − \mathbf{\dot{P}} \cdot \mathbf{Q} \right] + \frac{\partial F_2(\mathbf{q},\mathbf{P},t)}{ \partial t} \label{15.80}\]

Inserte esto en la Ecuación\ ref {15.76}, y supongamos que el factor de escala trivial\(\lambda = 1\), entonces

\[\left( \mathbf{p} − \frac{\partial F_2(\mathbf{q},\mathbf{P},t)}{ \partial \mathbf{q}} \right) \cdot \mathbf{\dot{q}} − H(\mathbf{q},\mathbf{p}, t) = \mathbf{P} \cdot \mathbf{\dot{Q}} − \mathbf{P} \cdot \mathbf{\dot{Q}} + \left[ \frac{\partial F_2(\mathbf{q},\mathbf{P},t)}{ \partial \mathbf{P}} − \mathbf{Q} \right] \cdot \mathbf{\dot{P}} − \mathcal{H}(\mathbf{Q},\mathbf{P}, t) + \frac{\partial F_2(\mathbf{q},\mathbf{P},t)}{ \partial t } \nonumber\]

Supongamos que la función generadora\(F_2\) determina las variables canónicas\(\mathbf{p}\) y\(\mathbf{Q}\) ser

\[\mathbf{p} = \frac{\partial F_2(\mathbf{q},\mathbf{P},t)}{ \partial \mathbf{q}} \qquad \mathbf{Q} = \frac{\partial F_2(\mathbf{q},\mathbf{P},t) }{\partial \mathbf{P}} \label{15.81}\]

luego los términos entre paréntesis cancelan, lo que lleva a la transformación requerida

\[\mathcal{H}(\mathbf{Q},\mathbf{P}, t) = H(\mathbf{q},\mathbf{p}, t) + \frac{\partial F_2(\mathbf{q},\mathbf{P},t)}{ \partial t} \label{15.82}\]

Tipo 3:\(F = F_3(\mathbf{p}, \mathbf{Q},t) + \mathbf{q} \cdot \mathbf{p}\):

La derivada de tiempo total de la función generadora\(F = F_3(\mathbf{p}, \mathbf{Q},t) + \mathbf{q} \cdot \mathbf{p}\) viene dada por

\[\frac{dF }{dt} = \left[ \frac{\partial F_3(\mathbf{p}, \mathbf{Q},t)}{ \partial \mathbf{p}} \cdot \mathbf{\dot{p}} + \frac{\partial F_3(\mathbf{p}, \mathbf{Q},t)}{ \partial\mathbf{ Q}} \cdot \mathbf{\dot{Q}} + \mathbf{\dot{q}} \cdot \mathbf{p} + \mathbf{q} \cdot \mathbf{\dot{p}} \right] + \frac{\partial F_3(\mathbf{p}, \mathbf{Q},t)}{ \partial t} \label{15.83}\]

Inserte esto en la Ecuación\ ref {15.76}, y supongamos que el factor de escala trivial\(\lambda = 1\), entonces

\[− \left[ \mathbf{q}+ \frac{\partial F_3(\mathbf{p}, \mathbf{Q},t)}{ \partial \mathbf{p}} \right] \cdot \mathbf{\dot{p}} − H(\mathbf{q},\mathbf{p}, t) = \left[ \mathbf{P}+ \frac{\partial F_3(\mathbf{p}, \mathbf{Q},t)}{ \partial \mathbf{Q}} \right] \cdot \mathbf{\dot{Q}} − \mathcal{H}(\mathbf{Q},\mathbf{P}, t) + \frac{\partial F_3(\mathbf{p}, \mathbf{Q},t)}{ \partial t} \nonumber\]

Supongamos que la función generadora\(F_3\) determina las variables canónicas\(\mathbf{q}\) y\(\mathbf{P}\) ser

\[\mathbf{q} = −\frac{\partial F_3(\mathbf{p}, \mathbf{Q},t)}{ \partial \mathbf{p}} \qquad \mathbf{P} = −\frac{\partial F_3(\mathbf{p}, \mathbf{Q},t)}{ \partial \mathbf{Q}} \label{15.84}\]

luego los términos entre paréntesis cancelan, lo que lleva a la transformación requerida

\[\mathcal{H}(\mathbf{Q},\mathbf{P}, t) = H(\mathbf{q},\mathbf{p}, t) + \frac{\partial F_3(\mathbf{p}, \mathbf{Q},t)}{ \partial t} \label{15.85}\]

Tipo 4:\(F = F_4(\mathbf{p}, \mathbf{P},t) + \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} − \mathbf{Q} \cdot \mathbf{P}\):

La derivada de tiempo total de la función generadora\(F = F_4(\mathbf{p}, \mathbf{P},t) + \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} − \mathbf{Q} \cdot \mathbf{P}\) viene dada por

\[\frac{dF }{dt} = \left[ \frac{\partial F_4(\mathbf{p}, \mathbf{P},t)}{ \partial \mathbf{p}} \cdot \mathbf{\dot{p}} + \frac{\partial F_4(\mathbf{p}, \mathbf{P},t) }{\partial \mathbf{P}} \cdot \mathbf{\dot{p}} + \mathbf{\dot{q}} \cdot \mathbf{p} + \mathbf{q} \cdot \mathbf{\dot{p}} − \mathbf{\dot{Q}} \cdot \mathbf{P} − \mathbf{Q} \cdot \mathbf{\dot{P}} \right] + \frac{\partial F_4(\mathbf{p}, \mathbf{P},t)}{ \partial t}\label{15.86}\]

Inserte esto en la Ecuación\ ref {15.76}, y supongamos que el factor de escala trivial\(\lambda = 1\), entonces

\[− \left[ \mathbf{q}+ \frac{\partial F_4(\mathbf{p}, \mathbf{P},t)}{ \partial \mathbf{p}} \right] \cdot \mathbf{\dot{p}} − H(\mathbf{q},\mathbf{p}, t) = \left[ \frac{\partial F_4(\mathbf{p}, \mathbf{P},t)}{ \partial \mathbf{P} } − \mathbf{Q} \right] \cdot \mathbf{\dot{P}} − \mathcal{H}(\mathbf{Q},\mathbf{P}, t) + \frac{\partial F_4(\mathbf{p}, \mathbf{P},t) }{\partial t} \nonumber\]

Supongamos que la función generadora\(F_4\) determina las variables canónicas\(\mathbf{q}\) y\(\mathbf{Q}\) ser

\[\mathbf{q} = −\frac{\partial F_4(\mathbf{p}, \mathbf{P},t)}{ \partial \mathbf{p}} \qquad \mathbf{Q} = \frac{\partial F_4(\mathbf{p}, \mathbf{P},t)}{ \partial \mathbf{P}} \label{15.87}\]

luego los términos entre paréntesis cancelan, lo que lleva a la transformación requerida

\[\mathcal{H}(\mathbf{Q},\mathbf{P}, t) = H(\mathbf{q},\mathbf{p}, t) + \frac{\partial F_4(\mathbf{p}, \mathbf{P},t)}{ \partial t} \label{15.88}\]

Tenga en cuenta que las tres últimas funciones generadoras requieren la inclusión de productos bilineales adicionales de\(q\)\(p\)\(Q\),,, para que los términos\(P\) cancelen para dar el resultado requerido. La adición de los términos bilineales, asegura que la función generadora resultante\(F\) sea la misma usando cualquiera de las cuatro funciones generadoras\(F_1\),\(F_2\),\(F_3\),\(F_4\). Frecuentemente la función\(F_2(\mathbf{q},\mathbf{P}, t)\) generadora es la más conveniente. Las cuatro posibles funciones generadoras de primer tipo, dadas anteriormente, están relacionadas por transformaciones de Legendre. Una transformación canónica no tiene que conformarse solo a una de las cuatro funciones generadoras\(F_k\) para todos los grados de libertad, pueden ser una mezcla de diferentes sabores para los diferentes grados de libertad. Las propiedades de las funciones generadoras se resumen en tabla\(\PageIndex{1}\).

Tabla\(\PageIndex{1}\): Funciones generadoras de transformación canónica

Función generadora	Generación de derivados de función	Ejemplos especiales triviales
\(F = F_1(\mathbf{q}, \mathbf{Q}, t)\)	\(p_i = \frac{\partial F_1}{ \partial q_i } \quad P_i = −\frac{\partial F_1}{ \partial Q_i}\)	\(F_1 = q_iQ_i \quad Q_i = p_i \quad P_i = −q_i\)
\(F = F_2(\mathbf{q},\mathbf{P}, t) − \mathbf{Q} \cdot \mathbf{P}\)	\(p_i = \frac{\partial F_2}{ \partial q_i} \quad Q_i = \frac{\partial F_2}{ \partial P_i}\)	\(F_2 = q_iP_i \quad Q_i = q_i \quad P_i = p_i\)
\(F = F_3(\mathbf{p}, \mathbf{Q},t) + \mathbf{q} \cdot \mathbf{p}\)	\(q_i = −\frac{\partial F_3}{ \partial p_i} \quad P_i = −\frac{\partial F_3}{ \partial Q_i}\)	\(F_3 = p_iQ_i \quad Q_i = −q_i \quad P_i = −p_i\)
\(F = F_4(\mathbf{p},\mathbf{P},t) + \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} − \mathbf{Q} \cdot \mathbf{P}\)	\(q_i = −\frac{\partial F_4}{ \partial p_i } \quad Q_i = \frac{\partial F_4}{ \partial P_i}\)	\(F_4 = p_iP_i \quad Q_i = p_i \quad P_i = −q_i\)

Las derivadas parciales de las funciones generadoras\(F_i\) determinan las variables conjugadas correspondientes no incluidas explícitamente en la función generadora\(F_i\). Obsérvese que, para el primer ejemplo trivial\(F_1 = q_iQ_i\), los viejos momenta se convierten en las nuevas coordenadas\(Q_i = p_i\),, y viceversa,\(P_i = −q_i\). Esto ilustra que es mejor nombrarlas “variables conjugadas” en lugar de “momenta” y “coordenadas”.

En resumen, Jacobi ha desarrollado un marco matemático para encontrar la función generadora\(F\) requerida para hacer una transformación canónica a un nuevo hamiltoniano\(\mathcal{H}(\mathbf{Q},\mathbf{P}, t)\), que tenga una solución conocida. Es decir,

\[\mathcal{H}(\mathbf{Q},\mathbf{P}, t) = H(\mathbf{q},\mathbf{p}, t) + \frac{\partial F}{ \partial t} \label{15.89}\]

Cuando\(\mathcal{H}(\mathbf{Q},\mathbf{P}, t)\) es una constante, entonces se ha obtenido una solución. La transformación inversa para esta solución\(\mathbf{Q}(t), \mathbf{P}(t) \rightarrow \mathbf{q}(t), \mathbf{p}(t)\) ahora se puede utilizar para expresar la solución final en términos de las variables originales del sistema.

Observe el caso especial cuando\(\mathcal{H}(\mathbf{Q},\mathbf{P}, t)=0\), entonces la Ecuación\ ref {15.89} se ha reducido a la relación Hamilton-Jacobi\ ref {15.11}

\[H(\mathbf{q},\mathbf{p}, t) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 \label{15.11}\]

En este caso, la función generadora\(F\) determina la acción funcional\(S\) requerida para resolver la ecuación de Hamilton-Jacobi\((15.4.23)\)). Desde la Ecuación\ ref {15.89} ha transformado al hamiltoniano\(H(\mathbf{q},\mathbf{p}, t) \rightarrow \mathcal{H}(\mathbf{Q},\mathbf{P}, t)\), para lo cual\(\mathcal{H}(\mathbf{Q},\mathbf{P}, t)=0\), entonces\(\mathcal{H}(\mathbf{Q},\mathbf{P}, t)=0\) se obtiene fácilmente la solución\(\mathbf{Q}(t), \mathbf{P}(t)\) para el hamiltoniano. Este enfoque subyace en la teoría Hamilton-Jacobi presentada en el capítulo\(15.4\).

Aplicaciones de las Transformaciones Canónicas

El procedimiento de transformación canónica puede parecer innecesariamente complicado para resolver los ejemplos dados en este libro, pero es esencial para resolver los complicados sistemas que ocurren en la naturaleza. Por ejemplo, las transformaciones canónicas se pueden utilizar para transformar hamiltonianos dependientes del tiempo, (no autónomos) en hamiltonianos independientes del tiempo, (autónomos) para los que se conocen las soluciones. Ejemplo\(15.6.2\) describe un sistema de este tipo. Las transformaciones canónicas proporcionan un enfoque notablemente poderoso para resolver las ecuaciones de movimiento en la mecánica hamiltoniana, especialmente cuando se usa el enfoque Hamilton-Jacobi discutido en el capítulo\(15.4\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): The identity canonical transformation

La transformación de identidad\(F_2(\mathbf{q},\mathbf{P}) = \mathbf{q} \cdot \mathbf{P}\) satisface\ ref {15.89} si se satisfacen las siguientes relaciones\(p_i = \frac{\partial F_2 }{\partial q_i }= P_i\),\(Q_i = \frac{\partial F_2}{ \partial P_i } = q_i\),\(\mathcal{H}=H\). Obsérvese que las coordenadas nuevas y antiguas son idénticas, de ahí se\(F_2 = q_iP_i \) genera la transformación de identidad\(q_i = Q_i , p_i = P_i\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): The point canonical transformation

Consideremos el punto de transformación\(F_2(\mathbf{q} \cdot \mathbf{P}) = f(\mathbf{q},t)\cdot \mathbf{P}\) donde\(f(\mathbf{q},t)\) es alguna función de\(\mathbf{q}\). Esta transformación satisface\ ref {15.89} si se satisfacen las siguientes relaciones\(Q_i = \frac{\partial F_2}{ \partial P_i} = f_i(q_i)\),\(p_i = \frac{\partial F_2}{\partial q_i } = \frac{\partial f_i(q_i,t)}{ \partial q_i }\),\(\mathcal{H}=H\). Las transformaciones de punto corresponden a transformaciones punto a punto de coordenadas.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): The exchange canonical transformation

La transformación de identidad\(F_1(\mathbf{q}, \mathbf{Q}) = \mathbf{q} \cdot \mathbf{Q}\) satisface\ ref {15.89} si se satisfacen las siguientes relaciones\(p_i = \frac{\partial F_1}{ \partial q_i} = Q_i\),\(P_i = −\frac{\partial F_1} {\partial Q_i} = −q_i\), es\(\mathcal{H}=H\) decir, se han intercambiado las coordenadas y los momentos.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Infinitessimal point canonical transformation

Consideremos una transformación canónica de punto infinitesimal, que está infinitesimalmente cerca de una identidad puntual.

\[F_2(\mathbf{q} \cdot \mathbf{P},t) = \mathbf{q} \cdot \mathbf{P}+\epsilon G (\mathbf{q},\mathbf{P},t) \nonumber\]

satisface\ ref {15.89} si se cumplen las siguientes relaciones

\[Q_i = \frac{\partial F_2}{ \partial P_i} = q_i + \epsilon \frac{\partial G(\mathbf{q},\mathbf{P}, t) }{\partial P_i} \nonumber\]

\[p_i = \frac{\partial F_2 }{\partial q_i} = P_i + \epsilon \frac{\partial G(\mathbf{q},\mathbf{P}, t)}{ \partial q_i} \nonumber\]

Así los infinitossimales cambios en\(q_i\) y\(p_i\) son dados por

\[\delta q_i(\mathbf{q},\mathbf{p},t) = Q_i − q_i = \epsilon \frac{\partial G(\mathbf{q},\mathbf{P}, t)}{ \partial P_i } = \epsilon \frac{\partial G(\mathbf{q},\mathbf{P}, t)}{ \partial p_i} + O(\epsilon^2) \nonumber\]

\[\delta p_i(\mathbf{q},\mathbf{p},t) = P_i − p_i = −\epsilon \frac{\partial G(\mathbf{q},\mathbf{P}, t)}{ \partial q_i} = −\epsilon \frac{\partial G(\mathbf{q},\mathbf{P}, t)}{ \partial p_i} + O(\epsilon^2) \nonumber\]

Así\(G(\mathbf{q},\mathbf{P},t)\) es el generador de los infinitostransformación canónica simal.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): 1-D harmonic oscillator via a cononical transformation

El clásico oscilador armónico unidimensional proporciona un ejemplo del uso de transformaciones canónicas. Considera el hamiltoniano donde\(\omega^2 = \frac{k}{m}\) entonces

\[H = \frac{p^2}{2m} + \frac{kq^2}{ 2} = \frac{1}{ 2m} \left( p^2 + m^2\omega^2q^2\right) \nonumber\]

Esta forma del hamiltoniano es una suma de dos cuadrados que sugieren una transformación canónica para la cual\(H\) es cíclica en una nueva coordenada. Una suposición para una transformación canónica es de la forma\(p = m\omega q \cot Q\) que es del\(F_1(\mathbf{q}, \mathbf{Q})\) tipo donde\(F_1\) es igual\(F_1(\mathbf{q}, \mathbf{Q}) = \frac{m\omega q^2}{2} \cot Q\). Usando\ ref {15.78} da

\[p = \frac{\partial F_1(q,Q) }{\partial q_i} = m\omega q \cot Q \nonumber\]

\[P = −\frac{\partial F_1(q, Q)}{ \partial Q} = \frac{m}{ 2} \frac{\omega q^2}{ \sin^2 Q} \nonumber\]

Resolviendo para los\((p, q)\) rendimientos de las coordenadas

\[q = \sqrt{\frac{2P}{ m\omega}} \sin Q \tag{a}\label{a}\]

\[p = \sqrt{2m\omega P} \cos Q \tag{b}\label{b}\]

Inserción de estos en\(H\) da

\[\mathcal{H} =\omega P(\cos^2 Q + \sin^2 Q) = \omega P \nonumber\]

lo que implica que\(Q\) es una coordenada cíclica.

El hamiltoniano es conservador, ya que no depende explícitamente del tiempo, y equivale a la energía total ya que la transformación a coordenadas generalizadas es independiente del tiempo. Así

\[\mathcal{H} =E = \omega P \nonumber\]

Desde

\[\dot{Q} = \frac{\partial \mathcal{H}}{ \partial P} = \omega \nonumber\]

entonces

\[Q = \omega t + \phi \nonumber\]

Sustituir\(Q\) en\ ref {a} da la solución bien conocida del oscilador armónico unidimensional

\[q = \sqrt{\frac{2E}{ m\omega^2}} \sin (\omega t + \phi ) \nonumber\]