15.6: Teoría de la Perturbación Canónica

La mayoría de los ejemplos en mecánica clásica discutidos hasta ahora han sido capaces de soluciones exactas. En la vida real, la mayoría de los problemas no se pueden resolver exactamente. Por ejemplo, en la mecánica celeste el problema de Kepler de dos cuerpos puede resolverse exactamente, pero la solución del problema de tres cuerpos es intratable. Los sistemas típicos en la mecánica celeste nunca son tan simples como el sistema Kepler de dos cuerpos debido a la influencia de cuerpos adicionales. Afortunadamente, en la mayoría de los casos la influencia de cuerpos adicionales es suficientemente pequeña para permitir el uso de la teoría de la perturbación. Es decir, se puede emplear la aproximación restringida de tres cuerpos para lo cual el sistema se reduce a considerarlo como un problema de dos cuerpos exactamente solucionable, sujeto a una pequeña perturbación a este sistema de dos cuerpos solucionable. Tenga en cuenta que aunque el cambio en el hamiltoniano debido al término perturbador puede ser pequeño, el impacto en el movimiento puede ser especialmente grande cerca de una resonancia.

Considera que el hamiltoniano, sujeto a una perturbación dependiente del tiempo, está escrito como

\[H(q, p, t) = H_0(q, p, t) + \Delta H(q, p, t) \nonumber\]

donde\(H_0(q, p, t)\) designa al hamiltoniano imperturbable y\(\Delta H(q, p, t)\) designa el término perturbador. Para el sistema imperturbable, la ecuación de Hamilton-Jacobi viene dada por

\[\mathcal{H}(Q_i, P_i, t) = H_0(q_1, ...q_n; \frac{\partial S}{\partial q_1} ..., \frac{\partial S}{\partial q_n };t) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 \label{15.90}\]

donde\(S(q_i, P_i, t)\) está la función generadora para la transformación canónica\((q, p) \rightarrow (Q, P)\). Lo perturbado\(S(q_i, P_i, t)\) sigue siendo una transformación canónica, pero el hamiltoniano transformado\(\mathcal{H}(Q_i, P_i, t) \neq 0\). Es decir,

\[\mathcal{H}(Q_i, P_i, t) = H_0 + \Delta H(q, p, t) + \frac{\partial S}{\partial t} = \Delta H(q, p, t) \label{15.148}\]

Las ecuaciones de movimiento satisfechas por las variables transformadas ahora son

\[\dot{Q}_i = \frac{\partial \Delta H}{ \partial P_i} \label{15.149} \\ \dot{P}_i = \frac{\partial \Delta H }{\partial Q_i} \]

Estas ecuaciones siguen siendo tan difíciles de resolver como la hamiltoniana completa. Sin embargo, la técnica de perturbación asume que\(\Delta H\) es pequeño, y que se puede descuidar el cambio de\((Q_i, P_i)\) sobre el intervalo perturbador. Por lo tanto, a una primera aproximación, los valores imperturbables de\(\frac{\partial \Delta H }{\partial P_i}\) y\(\frac{\partial \Delta H}{ \partial Q_i }\) pueden ser utilizados en las ecuaciones\ ref {15.149}. Una explicación detallada de la teoría de la perturbación canónica se presenta en el capítulo\(12\) de Goldstein [Go50].

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Harmonic oscillator perturbation

a) Considerar primero la ecuación de Hamilton-Jacobi para la función generadora\(S(q, \alpha , t)\) para el caso de una sola partícula libre sujeta al hamiltoniano\(H = \frac{1}{ 2} p^2\). Encontrar la transformación canónica\(q = q(\beta ,\alpha )\) y\(p = p(\beta ,\alpha )\) dónde\(\beta\) y\(\alpha\) son la coordenada y el impulso transformados respectivamente.

La ecuación de Hamilton-Jacobi

\[\frac{\partial S}{\partial t} + H(q, p, t)=0 \nonumber\]

Usando\(p = \frac{\partial S}{\partial q}\) en el Hamiltoniano\(H = \frac{1}{ 2} p^2\) da

\[\frac{\partial S}{\partial t} + \frac{1}{ 2} \left(\frac{\partial S}{\partial q} \right)^2 = 0 \nonumber\]

Dado que\(H\) no depende de\(q, t\) explícitamente, entonces los dos términos en el lado izquierdo de la ecuación se pueden establecer iguales a\(−\gamma , \gamma\) respectivamente, donde\(\gamma\) es a lo sumo una función de\(p\). Entonces la función generadora es

\[S = \sqrt{2\gamma }q − \gamma t \nonumber\]

Establezca\(\alpha = \sqrt{2\gamma}\) entonces la función generadora se puede escribir como

\[S = \alpha q − \frac{1}{ 2} \alpha^2t \nonumber\]

La constante se\(\alpha\) puede identificar con el nuevo impulso\(P\). Entonces las ecuaciones de transformación se convierten en

\[p = \frac{\partial S}{\partial q} = \alpha \quad Q = \frac{\partial S}{\partial P} = \frac{\partial S}{\partial \alpha } = q − \alpha t = \beta \nonumber\]

Eso es

\[q = \beta + \alpha t \nonumber\]

que corresponde al movimiento con una velocidad uniforme\(\alpha\) en el\(q, p\) sistema.

b) Considerar que el hamiltoniano se ve perturbado por la adición de potencial\(U = \frac{q^2}{ 2}\) que corresponde al oscilador armónico. Entonces

\[H = \frac{1}{ 2} p^2 + \frac{q^2}{ 2} \nonumber\]

Considera el hamiltoniano transformado

\[\mathcal{H} = H + \frac{\partial S}{\partial t} = \frac{1}{ 2} p^2 + \frac{q^2}{ 2} − \frac{\alpha^2}{ 2} = \frac{q^2}{ 2} = \frac{1}{ 2} (\beta + \alpha t)^2 \nonumber\]

Ecuaciones de movimiento de Hamilton

\[\dot{Q} = \frac{\partial \mathcal{H}}{ \partial P} \quad \dot{P} = −\frac{\partial \mathcal{H}}{ \partial Q} \nonumber\]

dar que

\[\dot{\beta} = (\beta + \alpha t)t \nonumber\]

\[\dot{\alpha } = − (\beta + \alpha t) \nonumber\]

Estas dos ecuaciones se pueden resolver para dar

\[\ddot{\alpha} + \alpha = 0 \nonumber\]

que es la ecuación de un oscilador armónico que muestra que\(\alpha\) es armónico de la forma\(\alpha = \alpha_0 \sin (t + \delta )\) donde\(\alpha_0, \delta\) están constantes de movimiento. Así

\[\beta = −\dot{\alpha} − t = −\alpha_0 [ \cos(t + \delta ) + t \sin(t + \delta )] \nonumber\]

Las ecuaciones de transformación dan entonces

\[p = \alpha = \alpha_0 \sin (t + \delta ) \nonumber\]

\[q = \beta + \alpha t = − \dot{\alpha} = −\alpha_0 \cos (t + \delta ) \nonumber\]

De ahí que la solución para el sistema perturbado sea armónica, lo que es de esperar ya que el potencial tiene una dependencia cuadrática de la posición.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Lindblad resonance in planetary and galactic motion

El uso de la teoría de la perturbación canónica en la mecánica celeste ha sido aprovechado por la profesora Alice Quillen y su grupo. Combinan el uso de variables de ángulo de acción y la teoría de Hamilton-Jacobi para investigar el papel de la resonancia de Lindblad en el movimiento planetario, y también para el movimiento estelar en galaxias. Una resonancia Lindblad es una resonancia orbital en la que el período orbital de un cuerpo celeste es un simple múltiplo de alguna frecuencia de forzamiento. Incluso para fuerzas perturbadoras muy débiles, tal comportamiento de resonancia puede conducir a la captura de órbita y al movimiento caótico.

Para el movimiento planetario las masas planetarias son aproximadamente\(1/1000\) las de la estrella central, por lo que las perturbaciones a las órbitas de Kepler son pequeñas. Sin embargo, la resonancia de Lindblad para el movimiento planetario condujo a los anillos de Saturno que resultan de las perturbaciones producidas por las lunas de Saturno que crían y despejaban los anillos de polvo. Las órbitas estelares en las galaxias de disco están perturbadas un poco por ciento por características galácticas no simétricas axialmente como brazos espirales o barras. Las resonancias Lindblad perturben el movimiento estelar e impulsan ondas de densidad espiral a distancias del centro de un disco galáctico donde la frecuencia natural de la componente radial de la velocidad orbital de una estrella es cercana a la frecuencia de las fluctuaciones en el campo gravitacional debido al paso a través de brazos espirales o barras. Si la velocidad orbital de una estrella alrededor de un centro galáctico es mayor que la de la parte de un brazo espiral a través del cual está atravesando, entonces se produce una resonancia Lindblad interna que acelera la velocidad orbital de la estrella moviendo la órbita hacia afuera. Si la velocidad orbital es menor que la de un brazo espiral, se produce una resonancia interna de Lindblad provocando el movimiento hacia adentro de la órbita.