15.7: Representación Simpléctica
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Las ecuaciones de movimiento de primer orden de Hamilton son simétricas si se excluyen los términos generalizados y de fuerza de restricción\((15.1.9)\), en la ecuación.
\[\mathbf{\dot{q}} = \frac{\partial H}{ \partial \mathbf{p}} \quad − \mathbf{\dot{p}} = \frac{\partial H}{ \partial \mathbf{q}} \nonumber\]
Esto estimuló los intentos de tratar las variables canónicas\((\mathbf{q}, \mathbf{p})\) de forma simétrica utilizando la teoría de grupos. Algunos libros de texto de posgrado en mecánica clásica han adoptado el uso de la simetría simpléctica para unificar la presentación de la mecánica hamiltoniana. Para un sistema de\(n\) grados de libertad,\(\boldsymbol{\eta}\) se construye una matriz de columnas que tiene\(2n\) elementos donde
\[\eta_j = q_j \quad \eta_{n+j} = p_j \quad j \leq n \label{15.150}\]
Por lo tanto la matriz de columnas
\[\left(\frac{\partial H}{ \partial \boldsymbol{\eta}} \right)_j = \frac{\partial H }{\partial q_j} \quad \left(\frac{\partial H}{ \partial \boldsymbol{\eta}} \right)_{n+j} = \frac{\partial H }{\partial p_j} \quad j \leq n \label{15.151}\]
La matriz simpléctica\(\mathbf{J}\) se define como una matriz ortogonal\(2n\) simétrica\(2n\) por sesgo que se divide en cuatro matrices\(n \times n\) nulas o unitarias según el esquema
\[\mathbf{J} = \begin{pmatrix} [\mathbf{0}] & +[\mathbf{1}] \\ − [\mathbf{1}] & [\mathbf{0}] \end{pmatrix} \label{15.152}\]
donde\([\mathbf{0}]\) está la matriz nula\(n\) -dimension, para la cual todos los elementos son cero. También\([\mathbf{1}]\) es la matriz unitaria\(n\) -dimensional, para la cual los elementos de la matriz diagonal son unidad y todos los elementos de la matriz fuera de la diagonal son cero. La\(\mathbf{J}\) matriz da cuenta de los signos opuestos utilizados en las ecuaciones para\(\mathbf{\dot{q}}\) y\(\mathbf{\dot{p}}\). La representación simpléctica permite que las ecuaciones de movimiento de Hamilton se escriban en forma compacta
\[\boldsymbol{\dot{\eta}} = \mathbf{J}\frac{\partial H }{\partial \boldsymbol{\eta}} \label{15.153}\]
Este libro de texto no utiliza la representación simpléctica elegante ya que esta representación ignora las importantes fuerzas generalizadas y las fuerzas multiplicadoras de Lagrange.