15.8: Comparación de las formulaciones lagrangianas y hamiltonianas

Características comunes

La discusión de la dinámica lagrangiana y hamiltoniana ha ilustrado el poder de tales formulaciones algebraicas. Ambos enfoques se basan en la aplicación de principios variacionales a la energía escalar, lo que da la libertad de concentrarse únicamente en las fuerzas activas e ignorar las fuerzas internas. Ambos métodos pueden manejar sistemas de muchos cuerpos y explotar transformaciones canónicas, que son poco prácticas o imposibles usando la mecánica vectorial newtoniana. Estos enfoques algebraicos simplifican el cálculo del movimiento para sistemas restringidos al representar los campos de fuerza vectorial, así como las ecuaciones correspondientes de movimiento, en términos de la función Lagrangiana\(L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}, t)\) o la función de acción\(S(\mathbf{q},\mathbf{p},t)\) que están relacionadas por la definición integral

\[S(\mathbf{q},\mathbf{p},t) = \int^{t_2}_{t_1} L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}, t)dt \label{15.1}\]

La función lagrangiana\(L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}, t)\), y la función de acción\(S(\mathbf{q},\mathbf{p},t)\), son funciones escalares bajo rotación, pero determinan los campos de fuerza vectorial y las ecuaciones de movimiento correspondientes. Así, el uso de funciones rotacionalmente invariantes\(L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}, t)\) y\(S(\mathbf{q},\mathbf{p},t)\) proporcionar una representación simple de los campos de fuerza vectorial. Esto es análogo al uso de campos de potencial escalar\(\phi (\mathbf{q}, t)\) para representar los campos de fuerza vectorial electrostática y gravitacional. Al igual que los campos de potencial escalar, la mecánica lagrangiana y hamiltoniana representa a los observables como derivados de\(L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}, t)\) y\(S(\mathbf{q},\mathbf{p},t)\), y los valores absolutos de\(L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}, t)\) y\(S(\mathbf{q},\mathbf{p},t)\) son indefinidos; solo las diferencias en\(L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}, t)\) y\(S(\mathbf{q},\mathbf{p},t)\) son observables. Por ejemplo, los momentos generalizados están dados por los derivados\(p_i \equiv \frac{\partial L}{ \partial \dot{q}_i}\) y\(p_j = \frac{\partial S }{\partial q_j }\). El significado físico de la menor acción\(S(\mathbf{q}, \boldsymbol{\alpha},t)\) se ilustra cuando el momento canónicamente transformado\(\mathbf{P} = \boldsymbol{\alpha}\) es una constante. Entonces el momento generalizado y la ecuación de Hamilton-Jacobi, implican que la derivada de tiempo total de la acción es igual a

\[\frac{dS}{ dt} = \frac{\partial S}{ \partial q_i} \dot{q}_i + \frac{\partial S}{ \partial t} = p_iq_i − H = L \label{15.154}\]

La integral indefinida de esta ecuación reproduce la integral definida\ ref {15.1} dentro de una constante arbitraria, i.e.

\[S(\mathbf{q}, \mathbf{p}) = \int L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}, t)dt + \text{ constant} \label{15.155}\]

Formulación Lagrangiana

Considera un sistema con coordenadas generalizadas\(n\) independientes, más fuerzas de\(m\) restricción que no se requieren conocer. El enfoque lagrangiano puede reducir el sistema a un sistema mínimo de coordenadas generalizadas\(s = n − m\) independientes que conducen a ecuaciones diferenciales de\(s = n - m\) segundo orden. En comparación, el enfoque newtoniano utiliza\(n + m\) incógnitas. Alternativamente, el enfoque de multiplicadores Lagrange permite determinar las fuerzas de restricción holonómicas que resultan en ecuaciones de\(s = n + m\) segundo orden para determinar\(s = n + m\) incógnitas. La función potencial lagrangiana se limita a las fuerzas conservadoras, pero las fuerzas generalizadas pueden usarse para manejar fuerzas no conservadoras y no holonómicas. La ventaja de las ecuaciones de movimiento de Lagrange es que pueden lidiar con cualquier tipo de fuerza, conservadora o no conservadora, y determinan directamente\(q, \dot{q}\) en lugar de con\(q,p\) cuál luego requiere\(p\) relacionarse\(\dot{q}\). El enfoque Lagrange es superior al enfoque hamiltoniano si se requiere una solución numérica para problemas típicos de pregrado en mecánica clásica. Sin embargo, la mecánica hamiltoniana tiene una clara ventaja para abordar cuestiones más profundas y filosóficas en la física.

Formulación hamiltoniana

Para un sistema con coordenadas generalizadas\(n\) independientes y fuerzas de\(m\) restricción, el enfoque hamiltoniano determina ecuaciones diferenciales de\(2n\) primer orden. En contraste con la mecánica lagrangiana, donde el lagrangiano es una función de las coordenadas y sus velocidades, el hamiltoniano utiliza las variables\(\mathbf{q}\) y\(\mathbf{p}\), más que la velocidad. El hamiltoniano tiene el doble de variables independientes que la lagrangiana, lo que es una gran ventaja, no una desventaja, ya que amplía el ámbito de las posibles transformaciones que pueden utilizarse para simplificar las soluciones. La mecánica hamiltoniana utiliza las coordenadas conjugadas\(\mathbf{q},\mathbf{p}\), correspondientes al espacio de fase. Esto es una ventaja en la mayoría de las ramas de la física y la ingeniería. En comparación con la mecánica lagrangiana, la mecánica hamiltoniana tiene un arsenal significativamente más amplio de técnicas poderosas que pueden ser explotadas para obtener una solución analítica de las integrales del movimiento para sistemas complicados. Estas técnicas incluyen, la formulación de brackets de Poisson, transformaciones canónicas, el enfoque Hamilton-Jacobi, las variables acción-ángulo y la teoría de la perturbación canónica. Además, la dinámica hamiltoniana proporciona un medio para determinar las variables desconocidas para las cuales la solución asume una forma soluble, y es ideal para el estudio de la física subyacente fundamental en aplicaciones a otros campos como la física cuántica o estadística. Sin embargo, el enfoque hamiltoniano asume endémicamente que el sistema es conservador poniéndolo en desventaja con respecto al enfoque lagrangiano. La atractiva simetría de las ecuaciones hamiltonianas, más su capacidad para utilizar transformaciones canónicas, la convierten en el formalismo de elección para el examen de la dinámica del sistema. Por ejemplo, la teoría Hamilton-Jacobi, las variables de ángulo de acción y la teoría de la perturbación canónica se utilizan ampliamente para resolver complicadas perturbaciones orbitales multicuerpos en la mecánica celeste al encontrar una transformación canónica que transforma al perturbado hamiltoniano en un hamiltoniano resuelto e imperturbado.

El formalismo hamiltoniano ocupa un lugar destacado en la mecánica cuántica, ya que existen reglas bien establecidas para transformar las coordenadas y momentos clásicos en operadores lineales utilizados en la mecánica cuántica. Las variables\(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}\) utilizadas en la mecánica lagrangiana no tienen análogos simples en física cuántica. Como consecuencia, la formulación del soporte de Poisson y las variables de ángulo de acción de la mecánica hamiltoniana jugaron un papel clave en el desarrollo de la mecánica matricial de Heisenberg, Born y Dirac, mientras que la formulación Hamilton-Jacobi jugó un papel clave en el desarrollo de la mecánica de ondas de Schrödinger. De igual manera, la mecánica hamiltoniana es el enfoque variacional preeminente utilizado en la mecánica estadística.