17.2: Invarianza galileana

Como se discutió en el capítulo\(2.3\), un marco inercial es aquel en el que se aplican las leyes del movimiento de Newton. Los marcos inerciales son marcos no acelerantes, por lo que no se inducen pseudo fuerzas. Todos los marcos de referencia que se mueven a velocidad constante en relación con una referencia inercial, son marcos inerciales. Las leyes de la naturaleza de Newton son las mismas en todos los marcos de referencia inerciales y por lo tanto no hay forma de determinar el movimiento absoluto porque no se prefiere ningún marco inercial sobre ningún otro. Esto se llama invarianza galileano-newtoniana. La invarianza galileana supone que los conceptos de espacio y tiempo son completamente separables. Se supone que el tiempo es una cantidad absoluta que es invariante a las transformaciones entre sistemas de coordenadas en movimiento relativo. También el elemento de longitud es el mismo en diferentes marcos galileanos de referencia.

Figura\(\PageIndex{1}\): Movimiento del cuadro imprimado a lo largo del\(x_1\) eje con velocidad\(v\) relativa al marco paralelo no cebado.

Considere dos sistemas de coordenadas mostrados en la Figura\(\PageIndex{1}\), donde el marco imprimado se mueve a lo largo del\(x\) eje del marco fijo no cebado. Una transformación galileana implica que se aplican las siguientes relaciones;

\[x^{\prime}_1 = x_1 − vt \\ x^{\prime}_2 = x_2 \\ x^{\prime}_3 = x_3 \\ t^{\prime} = t\]

Tenga en cuenta que en cualquier instante\(t\), las unidades infinitassimales de longitud en los dos sistemas son idénticas ya que

\[ds^2 = \sum^2_{i=1} dx^2_i = \sum^3_{i=1} dx^{\prime 2}_i = ds^{\prime 2}\]

Estas son la expresión matemática de la idea newtoniana del espacio y el tiempo. Una consecuencia inmediata de la transformación galileana es que la velocidad de la luz debe diferir en diferentes marcos de referencia inerciales.

A finales del\(^{th}\) siglo XIX los físicos pensaron que habían descubierto una manera de identificar un marco de referencia inercial absoluto, es decir, debe ser el marco del medio que transmita luz al vacío. Las leyes del electromagnetismo de Maxwell predicen que la radiación electromagnética en el vacío viaja a\(c = \frac{1}{\sqrt{\mu_o \varepsilon_o}} = 2.998 \times 10^8\)\(m/s\). Maxwell no abordó en qué marco de referencia aplicaba esta velocidad. En el siglo XIX todos los fenómenos de las olas fueron transmitidos por algún medio, como las ondas en una cuerda, las ondas de agua, las ondas sonoras en el aire. Los físicos imaginaron así que la luz fuera transmitida por algún medio no observado al que llamaron el éter. Este éter tenía propiedades místicas, existía en todas partes, incluso en el espacio exterior, y sin embargo no tuvo otras consecuencias observadas. El éter obviamente debería ser el marco de referencia absoluto.

En la década de 1880, Michelson y Morley realizaron un experimento en Cleveland para tratar de detectar este éter. Transmitían luz de ida y vuelta a lo largo de dos trayectorias perpendiculares en un interferómetro, mostrado en la Figura\(\PageIndex{2}\), y asumieron que el movimiento de la tierra alrededor del sol conducía al movimiento a través del éter.

Figura\(\PageIndex{2}\): El interferómetro Michelson utilizado para el experimento de Michelson-Morley. La interferencia de los dos haces de luz coherente conduce a franjas que dependen de las diferencias de fase a lo largo de los dos caminos.

El tiempo que se tarda en recorrer un viaje de regreso toma más tiempo en un medio en movimiento, si el medio se mueve en la dirección del movimiento, en comparación con viajar en un medio estacionario. Por ejemplo, pierdes más tiempo moviéndote contra un viento en contra del que ganas viajando de regreso con el viento. La diferencia de tiempo\(\Delta t\), para un viaje de ida y vuelta a una distancia\(L\), entre viajar en la dirección del movimiento en el éter, versus viajar la misma distancia perpendicular al movimiento en el éter, viene dada por\(\Delta t \approx \frac{L}{c} \left(\frac{v}{c}\right)^2\) donde\(v\) está la velocidad relativa del éter y\(c\) es la velocidad de la luz.

Las franjas de interferencia entre haces de luz perpendiculares en un interferómetro óptico proporcionan una medida extremadamente sensible de esta diferencia de tiempo. Michelson y Morley no observaron ninguna diferencia horaria medible en ningún momento del año, es decir, el movimiento relativo de la tierra dentro del éter es menor que\(1/6\) la velocidad de la tierra alrededor del sol. Su conclusión fue, o bien, que el éter se arrastraba junto con la tierra, o bien la velocidad de la luz dependía de la velocidad de la fuente, pero éstas no concordaban con otras observaciones. Su decepción por el fracaso de este experimento para detectar evidencia de un marco inercial absoluto es importante y confundió a los físicos durante dos décadas hasta que la Teoría Especial de la Relatividad de Einstein explicó el resultado.