17.3: Teoría Especial de la Relatividad
- Page ID
- 126759
Postulados de Einstein
En noviembre de 1905, a la edad de 26 años, Einstein publicó un artículo seminal titulado” Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento”. Consideró la relación entre espacio y tiempo en marcos inerciales de referencia que están en movimiento relativo. En este trabajo realizó los siguientes postulados.
- Las leyes de la naturaleza son las mismas en todos los marcos de referencia inerciales.
- La velocidad de la luz en vacío es la misma en todos los marcos inerciales de referencia.
Tenga en cuenta que el primer postulado de Einstein, junto con las ecuaciones de Maxwell, conduce a la afirmación de que la velocidad de la luz en el vacío es una constante universal. Así, el segundo postulado es innecesario ya que es una consecuencia obvia del primer postulado más las ecuaciones de Maxwell que son leyes básicas de la física. Este segundo postulado explicó el resultado nulo del experimento de Michelson-Morley. Sin embargo, no fue este resultado experimental lo que llevó a Einstein a la teoría de la relatividad especial; dedujo la Teoría Especial de la Relatividad a partir de la consideración de las ecuaciones del electromagnetismo de Maxwell. Aunque los postulados de Einstein parecen razonables, llevan a las siguientes implicaciones sorprendentes.
Transformación de Lorentz
La invarianza galileana conduce a la violación del postulado de Einstein de que la velocidad de la luz es una constante universal en todos los marcos de referencia. Es necesario asumir una nueva ley de transformación que haga que las leyes físicas sean relativistamente invariantes. Las ecuaciones de Maxwell son relativisticamente invariantes, lo que dio lugar a algunos fenómenos electromagnéticos que no pudieron explicarse usando la invarianza galileana. En 1904 Lorentz propuso una nueva transformación para sustituir a la transformación galilea con el fin de explicar tales fenómenos electromagnéticos. El genio de Einstein fue que derivó la transformación, que había sido propuesta por Lorentz, directamente de los postulados de la Teoría Especial de la Relatividad. La transformación de Lorentz satisface la teoría de la relatividad de Einstein, y ha sido confirmada como correcta por muchos experimentos.
Para la geometría mostrada en la Figura\(17.2.1\), las transformaciones de Lorentz son:
\[x^{\prime}_= \gamma (x − vt) \label{17.3} \\ y^{\prime} = y \\ z^{\prime} = z \\ t^{\prime} = \gamma \left( t − \frac{vx}{ c^2} \right) \]
donde el\(\gamma\) factor Lorentz
\[\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{ 1 − ( \frac{v}{c} )^2}} \label{17.4}\]
Las transformaciones inversas son
\[x = \gamma (x^{\prime}_+ vt^{\prime}) \label{17.5} \\ y = y^{\prime} \\ z = z^{\prime} \\ t = \gamma \left( t^{\prime} + \frac{vx^{\prime}}{c^2} \right) \]
El\(\gamma\) factor Lorentz, definido anteriormente, es la característica clave que diferencia las transformaciones de Lorentz de la transformación galilea. Tenga en cuenta que\(\gamma \geq 1\); también\(\gamma \rightarrow 1.0\) como\(v \rightarrow 0\) y aumenta hasta el infinito\(\frac{v}{c} \rightarrow 1\) como se ilustra en la Figura\(\PageIndex{1}\). Un dato útil que se utilizará más adelante es que para\(\frac{v}{c} << 1\);
\[\gamma \rightarrow 1 + \frac{1}{ 2} \left(\frac{v}{c} \right)^2 \tag{Limit for \(v << c\)}\]
Tenga en cuenta que para\(v << c\) entonces\(\gamma = 1\) y la transformación de Lorentz es idéntica a la transformación galilea.
Dilatación del tiempo
Considere que un reloj está fijo\(x^{\prime}_o\) en un cuadro móvil y mide el intervalo de tiempo entre dos eventos en el marco móvil, es decir\(\Delta t^{\prime}_p = t^{\prime}_1 − t^{\prime}_2\). Según la transformación de Lorentz, los tiempos en el marco fijo vienen dados por:
\[t_1 = \gamma \left( t^{\prime}_1 + \frac{vx^{\prime}_0 }{c^2} \right) \label{17.6} \\ t_2 = \gamma \left( t^{\prime}_2 + \frac{vx^{\prime}_0}{ c^2} \right) \]
Así, el intervalo de tiempo viene dado por:
\[t_2 − t_1 = \gamma (t^{\prime}_2 − t^{\prime}_1) \label{17.7}\]
El tiempo entre eventos en el resto del cuadro del reloj,\(\Delta \tau \equiv \Delta t^{\prime}_p\) se llama el tiempo adecuado que siempre es el tiempo más corto medido para un evento dado y está representado por el símbolo\(\tau \). Eso es
\[\Delta t = \gamma\Delta t^{\prime}_p = \gamma\Delta \tau \label{17.8}\]
Tenga en cuenta que el intervalo de tiempo para cualquier otro marco de referencia, que se mueve con respecto a la trama del reloj, mostrará intervalos de tiempo mayores porque lo\(\gamma \geq 1.0\) que implica que el cuadro fijo percibe que el reloj en movimiento es lento por el factor\(\gamma\).
La plausibilidad de esta dilatación temporal se puede entender observando la geometría simple del ejemplo de nave espacial que se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\). Pretende que el reloj en el marco adecuado de la nave espacial se basa en el tiempo para que la luz viaje hacia y desde el espejo en la nave espacial. En este marco adecuado la luz tiene la distancia más corta para recorrer, y el tiempo de tránsito adecuado es
\[\Delta \tau = \frac{2d}{ c} \label{17.9}\]
En el marco fijo,\(b\), el componente de velocidad en la dirección del espejo está\(\sqrt{c^2 − v^2}\) utilizando el teorema de Pitágoro, asumiendo que la luz no puede viajar más rápido el\(c\). Así, el tiempo de tránsito hacia y hacia atrás desde el espejo debe ser
\[\Delta t = \frac{2d}{ c \sqrt{1 − ( \frac{v}{c} )^2}} = \gamma\Delta \tau \label{17.10}\]
que es la dilatación de tiempo predicha.
Existen muchas verificaciones experimentales de dilatación del tiempo en física. Por ejemplo, un muón estacionario tiene una vida media de\(\tau_p = 2\)\(\mu s\), mientras que la vida de un muón de rápido movimiento, producido en la atmósfera superior por rayos cósmicos de alta energía, se observó en 1941 como más larga y dada por\(\gamma\tau_p\) como se describe en el ejemplo\(\PageIndex{1}\). En 1972 Hafely y Keating utilizaron cuatro relojes atómicos de cesio precisos para confirmar la dilatación del tiempo. Se volaron dos relojes en aerolíneas regulares que viajaban por todo el mundo, uno hacia el oeste y otro hacia el este. Los otros dos relojes fueron utilizados como referencia. El reloj móvil hacia el oeste fue lento\((273 \pm 7)\)\(n s\) en comparación con el valor predicho de\((275 \pm 10)\)\(n s\). El Sistema de Posicionamiento Global de 24 satélites geosincrónicos se utiliza para localizar posiciones a pocos metros. Tiene una precisión de unos pocos nanosegundos lo que requiere un margen para la dilatación del tiempo y es un tributo diario a la corrección de la Teoría de la Relatividad de Einstein.
Contracción de Longitud
La transformación de Lorentz conduce a una contracción de la longitud aparente de un objeto en un marco móvil visto desde un marco fijo. La longitud de una regla en su propio marco de referencia se llama la longitud adecuada. Considere una varilla medida con precisión de longitud adecuada conocida, es\(L_p = x^{\prime}_2 − x^{\prime}_1\) decir, en reposo en el marco cebado móvil. Las ubicaciones de ambos extremos de esta varilla se miden en un momento dado en el marco estacionario\(t_1 = t_2\),, tomando una fotografía de la varilla móvil. Las ubicaciones correspondientes en el marco móvil son:
\[x^{\prime}_2 = \gamma (x_2 − vt_2) \label{17.11} \\ x^{\prime}_1 = \gamma (x_1 − vt_1) \]
Ya que\(t_2 = t_1\), las longitudes medidas en los dos fotogramas están relacionadas por:
\[x^{\prime}_2 − x^{\prime}_1 = \gamma (x_2 − x_1) \label{17.12}\]
Es decir, las longitudes están relacionadas por:
\[L = \frac{1 }{\gamma} L_p \label{17.13}\]
Tenga en cuenta que la varilla móvil aparece más corta en la dirección del movimiento. A medida\(v \rightarrow c\) que la longitud aparente se contrae a cero en la dirección del movimiento, mientras que las dimensiones perpendiculares a la dirección del movimiento no cambian. A esto se le llama la contracción de Lorentz. Si pudieras andar en bicicleta cerca de la velocidad de la luz, observarías que los autos estacionarios, edificios, personas, todos parecerían estar apretados en la dirección en la que estás viajando. También los objetos que se encuentran más lejos por cualquier calle lateral se distorsionarían en la dirección de desplazamiento. Una fotografía tomada por un observador estacionario mostraría que la bicicleta en movimiento se contrajo Lorentz a lo largo de la dirección de desplazamiento y los objetos estacionarios serían normales.
Simultaneidad
Las transformaciones de Lorentz implican una nueva filosofía del espacio y el tiempo. Una consecuencia sorprendente es que el concepto de simultaneidad depende del marco en contraste con la predicción de la mecánica newtoniana.
Considere que dos eventos ocurren en marco\(S\) en\((x_1, t_1)\) y\((x_2, t_2)\). En marco\(S^{\prime}\) estos dos eventos ocurren en\((x^{\prime}_1, t^{\prime}_1)\) y\((x^{\prime}_2, t^{\prime}_2)\). De la transformación de Lorentz la diferencia horaria es
\[t^{\prime}_2 − t^{\prime}_1 = \gamma \left[ (t_2 − t_1) − \frac{v (x_2 − x_1) }{c^2} \right] \label{17.14}\]
Si un evento es simultáneo en marco\(S\), es decir\((t_2 − t_1)=0\) entonces
\[t^{\prime}_2 − t^{\prime}_1 = \gamma \left[ \frac{v (x_1 − x_2) }{c^2} \right] \label{17.15}\]
Por lo tanto el evento no es simultáneo en marco\(S^{\prime}\) si\((x_2 − x_1) = L_p \neq 0\). Es decir, un evento que es simultáneo en un fotograma no es simultáneo en el otro marco si los eventos están separados espacialmente. El enunciado equivalente es que para dos relojes, espacialmente separados por una distancia\(L_p\), que se sincronizan en su fotograma de reposo, luego en un marco móvil no son simultáneos.
Einstein discutió el problema de que un rayo golpee ambos extremos de un vagón ferroviario que se mueve a una velocidad\(v\). Supongamos que el rayo golpea tanto la parte delantera como la trasera del carro simultáneamente, según un observador estacionario. Una mujer que viaja en el centro del tren verá que el relámpago llegará desde la parte delantera del carruaje antes de que llegue el frente de onda desde la parte trasera del carro ya que el carro se mueve hacia el frente de onda que se aproxima y se aleja del frente de onda desde la parte trasera del tren. Si la longitud del carro es\(L\), entonces la diferencia de tiempo entre el flash de luz de la parte delantera y trasera del carro será\(\Delta t = \gamma L_p \frac{v}{c^2}\). En consecuencia observa que las dos señales no son simultáneas. Así, una fotografía de un cuerpo que se mueve rápidamente parecerá tener una distancia más corta. La serpiente relativista discutida en el capítulo\(17\), ejercicio 1 es un ejemplo similar del papel de la simultaneidad en la mecánica relativista.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Muon lifetime
Muchas personas tuvieron problemas para comprender la dilatación del tiempo y la contracción de Lorentz predicha por la Teoría Especial de la Relatividad. Las predicciones parecen locas, pero hay muchos ejemplos donde la dilatación del tiempo y la contracción de Lorentz se observan experimentalmente como la decadencia en vuelo del muón. En reposo, el muón decae con una vida media de\(2\)\(\mu s\). Los muones se crean en lo alto de la atmósfera debido al bombardeo de rayos cósmicos. Un muón típico viaja a\(v = 0.998c\) lo que corresponde\(\gamma = 15\). La dilatación del tiempo implica que la vida útil del muón en movimiento en el marco de referencia de la tierra es\(30\)\(\mu s\). La velocidad del muón está esencialmente\(c\) en ambos marcos de referencia, y viajaría\(600\)\(m\) dentro\(2\)\(\mu s\) y\(9000\)\(m\) dentro\(30\)\(\mu s\). De hecho, se observa que el muón sí viaja, en promedio,\(9000\)\(m\) en el marco de referencia terrestre antes de descomponerse. ¿Esto es inconsistente con la visión de alguien que viaja con el muón? En el marco móvil del muón, la vida es solo\(2\)\(\mu s\), pero la contracción de distancia de Lorentz significa que\(9000\)\(m\) en el marco de tierra parece estar solo\(600\)\(m\) en el marco móvil del muón; una distancia que recorre es\(2\)\(\mu s\). Así en ambos marcos de referencia tenemos explicaciones consistentes, es decir, el muón recorre la altura de la montaña en una sola vida.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Relativistic Doppler Effect
El efecto Doppler relativista se encuentra frecuentemente en física y astronomía. Considera la radiación electromagnética monocromática de una fuente, como una estrella, que se está moviendo hacia el detector a una velocidad\(v\). Durante el tiempo\(\Delta t\) en la trama del receptor, la fuente emite\(n\) ciclos de la forma de onda sinusoidal. Así, la longitud de esta forma de onda, vista por el receptor, es la\(n\lambda\) que es igual a
\[n\lambda = (c − v)\Delta t \nonumber\]
La frecuencia medida por el receptor es
\[\nu = \frac{c}{ \lambda } = \frac{cn}{ (c − v)\Delta t} \nonumber\]
Según la fuente, emite\(n\) ondas de frecuencia\(\nu_0\) durante el intervalo de tiempo adecuado\(\Delta t^{\prime}\), es decir
\[n = \nu_0\Delta t^{\prime} \nonumber\]
Este intervalo de tiempo apropiado\(\Delta t^{\prime}\), en la trama de origen, corresponde a un intervalo de tiempo\(\Delta t\) en la trama receptora donde
\[\Delta t = \gamma\Delta t^{\prime} \nonumber\]
Así, la frecuencia medida por el receptor es
\[\nu = \frac{1}{ (1 − \frac{v}{c} )} \frac{\nu_0}{ \gamma} = \frac{\sqrt{1 − ( \frac{v}{c} )^2}}{ (1 − \frac{v}{c} )} \nu_0 = \sqrt{\frac{ 1 + \beta}{ 1 − \beta}} \nu_0 \nonumber\]
donde\(\beta \equiv \frac{v}{c}\). Esta fórmula para que la fuente y el receptor se acerquen entre sí también da la respuesta correcta para que la fuente y el receptor retrocedan si\(\beta\) se cambia el signo de.
Este efecto Doppler relativista explica el desplazamiento al rojo observado para la luz emitida por estrellas y galaxias que retroceden, así como muchos ejemplos en física atómica y nuclear que involucran fuentes móviles de radiación electromagnética.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Twin paradox
Un problema que preocupó a los físicos durante muchos años se llama la paradoja de los gemelos. Considera dos gemelos idénticos, Jack y Jill. Supongamos que Jill viaja en una nave espacial a una velocidad de\(\gamma = 4\) durante 20 años, medida por el reloj de Jack, y luego regresa tomando otros 20 años, según Jack. Así, Jack ha envejecido 40 años para cuando su hermana gemela regresa a casa. No obstante, el reloj de Jill mide\(20/4=5\) años por cada mitad del viaje para que piense que viajó durante 10 años el tiempo total según su reloj. Así ha envejecido sólo 10 años en el viaje, es decir, ahora es 30 años menor que su hermano gemelo. Tenga en cuenta que, según Jill, la distancia que recorrió de ida y vuelta fue\(1/4\) la distancia según Jack, por lo que no percibe inconsistencia en su reloj, y la velocidad de la nave espacial. Esto se llamó una paradoja porque algunas personas afirmaron que Jill percibirá que la tierra y Jack se alejaron a la misma velocidad relativa en sentido contrario y así según Jill, Jack debería ser 30 años más joven, no ella. Además, algunos afirmaron que este problema es simétrico y por lo tanto ambos gemelos deben seguir teniendo la misma edad ya que no hay forma de decir quién se alejaba de quién. Este argumento es incorrecto porque Jill pudo sentir que aceleró a\(\gamma = 4\) lo que destruye el argumento de simetría. El efecto se observa con haces acelerados de núcleos inestables como el muón y fue confirmado por los resultados del experimento donde se volaron relojes atómicos de cesio alrededor de la Tierra. Así, la paradoja de los Gemelos no es una paradoja; lo cierto es que Jill será menor que su hermano gemelo.