17.4: Cinemática relativista

Transformaciones de velocidad

Considere los dos marcos de coordenadas paralelos con el marco cebado moviéndose a una velocidad a\(v\) lo largo del\(x^{\prime}_1\) eje como se muestra en la Figura\(17.2.1\). Las velocidades de un objeto medidas en ambos fotogramas se definen como

\[u_i = \dfrac{dx_i}{ dt} \label{17.16} \\ u^{\prime}_i = \dfrac{dx^{\prime}_i}{ dt^{\prime}}\]

Usando las transformaciones de Lorentz\((17.3.1)\),\((17.3.3)\) entre los dos cuadros que se mueven con velocidad relativa\(v\) a lo largo del\(x_1\) eje, da que la velocidad a lo largo del\(x^{\prime}_1\) eje es

\[u^{\prime}_1 = \dfrac{dx^{\prime}_1}{ dt^{\prime} } = \dfrac{dx_1 − vdt}{ dt − \dfrac{v}{ c^2} dx_1} = \dfrac{u_1 − v}{ 1 − \dfrac{u_1v}{ c^2} } \label{17.17}\]

De igual manera conseguimos que las velocidades a lo largo de la perpendicular\(x^{\prime}_2\) y\(x^{\prime}_3\) los ejes sean

\[u^{\prime}_2 = \dfrac{dx^{\prime}_2 }{dt^{\prime}} = \dfrac{u_2}{ 1 − \dfrac{u_1v}{ c^2}} \label{17.18} \\ u^{\prime}_3 = \dfrac{dx^{\prime}_3 }{dt^{\prime}} = \dfrac{u_3}{ 1 − \dfrac{u_1v}{ c^2}}\]

Cuando\(\dfrac{u_1v}{ c^2} \rightarrow 0\) estas transformaciones de velocidad se convierten en las relaciones galileanas habituales para la adición de velocidad. No confundir\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{u}^{\prime}\) con\(\mathbf{v}\); es decir,\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{u}^{\prime}\) son las velocidades de algún objeto medidas en los fotogramas de referencia no cebados y cebados respectivamente, mientras que\(\mathbf{v}\) es la velocidad relativa del origen de un fotograma con respecto al origen del otro marco.

Momentum

Usando la definición clásica de impulso, es decir\(\mathbf{p} = m\mathbf{u}\), el momento lineal no se conserva usando las transformaciones de velocidad relativistas anteriores si la masa\(m\) es una cantidad escalar. Este problema se origina en el hecho de que ambos\(\mathbf{x}\) y\(t\) tienen transformaciones no triviales y por lo tanto\(\mathbf{u} = \dfrac{d\mathbf{x}}{dt}\) es dependiente del marco.

La conservación del momento lineal se puede retener redefiniendo el momento en una forma que es idéntica en todos los marcos de referencia, es decir, al referirse al tiempo adecuado\(\tau\) medido en el resto del fotograma del objeto en movimiento. Por lo tanto definimos el momento lineal relativista como

\[\mathbf{p} \equiv m \dfrac{d\mathbf{x}}{ d\tau} = m \dfrac{d\mathbf{x}}{ dt} \dfrac{dt}{ d\tau} \label{17.19}\]

Pero conocemos la relación de dilatación del tiempo

\[dt = \dfrac{d\tau }{\sqrt{ (1 − \dfrac{u^2}{ c^2} )}} = \gamma_u d\tau \label{17.20}\]

Obsérvese que el\(\gamma_u\) en esta relación se refiere a la velocidad\(u\) entre el objeto en movimiento y el marco; esto es bastante diferente de la\(\gamma = \dfrac{ 1}{\sqrt{ (1− \dfrac{v^2}{ c^2} )}}\) que se refiere a la transformación entre los dos marcos de referencia. Así, la nueva definición relativista de impulso es

\[\begin{align} \mathbf{p} &\equiv m \dfrac{d\mathbf{x}}{ d\tau} \\[4pt] &= m\gamma_u \dfrac{d\mathbf{x}}{ dt} \\[4pt] &= \gamma_u m\mathbf{u} \label{17.21} \end{align}\]

La definición relativista de impulso lineal es la misma que la definición clásica con la masa de descanso\(m\) reemplazada por la masa relativista\(\gamma m\). ¹

Sistema de coordenadas del centro de impulso

Las relaciones clásicas para manejar la cinemática de objetos colisionantes, se trasladan a la relatividad especial cuando se asume la definición relativista de impulso lineal, Ecuación\ ref {17.21}. Es decir, se puede seguir aplicando la conservación del impulso lineal. Sin embargo, existe una diferencia conceptual importante para la dinámica relativista en que el centro de masa ya no es un concepto significativo debido a la interrelación de masa y energía. Sin embargo, este problema se elimina considerando el sistema de coordenadas del centro de impulso que, como en el caso no relativista, es el marco donde el impulso lineal total del sistema es cero. Utilizando el concepto de centro de impulso incorpora el formalismo de la cinemática clásica no relativista.

Fuerza

La segunda ley de Newton\(\mathbf{F} = \dfrac{d\mathbf{p}}{ dt}\) es covariante bajo una transformación galileana. En la relatividad especial esta definición también se aplica utilizando la definición relativista de impulso\(\mathbf{p}\). El hecho de que el impulso relativista\(\mathbf{p}\) se conserve en la situación libre de fuerza, lleva naturalmente a utilizar la definición de fuerza para ser

\[\mathbf{F} = \dfrac{d\mathbf{p}}{ dt} \label{17.22}\]

Entonces se conserva el impulso relativista si\(\mathbf{F} = 0\).

Energía

La definición clásica de trabajo realizado se define por

\[W_{12} = \int^2_1 \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = T_2 − T_1 \label{17.23}\]

Supongamos\(T_1 = 0\), vamos\(d\mathbf{r} = \mathbf{u}dt\) e inserte la relación de fuerza relativista en la ecuación\ ref {17.23}, da

\[W = T = \int^t_0 \dfrac{d}{dt} (\gamma_u m\mathbf{u}) \cdot \mathbf{u}dt = m \int^u_0 ud (\gamma_u u) \label{17.24}\]

Integrar por partes, seguido de manipulación algebraica, da

\[\begin{align} T &= \gamma_{u} m u^{2}-m \int_{0}^{u} \dfrac{u d u}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}} \\[4pt] &= \gamma_{u} m u^{2} + m c^{2} \sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}} - m c^{2} \\ &= \dfrac{m u^{2}}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}} + \dfrac{m c^{2}}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}} \left( 1 - \dfrac{u^{2}}{c^{2}} \right) - m c^{2} \\[4pt] &= m c^{2} \left( \gamma_{u} -1 \right) \label{17.25} \end{align}\]

Definir la energía de descanso\(E_0\)

\[E_0 \equiv mc^2 \label{17.26}\]

y energía relativista total\(E\)

\[E \equiv \gamma_u mc^2 \label{17.27}\]

entonces la ecuación\ ref {17.25} puede escribirse como

\[\begin{align} E &= T + E_0 \\[4pt] &= \gamma_u mc^2 \label{17.28} \end{align}\]

Se trata de la famosa energía relativista de Einstein que relaciona la equivalencia de masa y energía. La energía relativista total\(E\) es una cantidad conservada en la naturaleza. Es una extensión de la conservación de la energía y las manifestaciones de la equivalencia de energía y masa ocurren extensamente en el mundo real.

En la física nuclear a menudo convertimos la masa en energía y de nuevo en masa. Por ejemplo, los rayos gamma con energías mayores que\(1.022\)\(MeV\), que son energía electromagnética pura, pueden convertirse en un electrón más positrón los cuales tienen masa en reposo. El positrón puede entonces aniquilar un electrón diferente en otro átomo, lo que resulta en la emisión de dos rayos\(511\)\(keV\) gamma en direcciones consecutivas para conservar el impulso lineal. Un ejemplo dramático de la ecuación de Einstein es un reactor nuclear. Un gramo de material, la masa de un clip, proporciona\(E = 9 \times 10^{13}\) julios. Esta es la producción diaria de una central\(1\)\({GWatt}\) nuclear o la potencia explosiva de las bombas de Nagasaki o Hiroshima.

A medida que se\(v\) acerca la velocidad de una partícula\(c\), entonces\(\gamma\) y la masa relativista\(\gamma m\) ambas se acercan al infinito. Esto significa que la fuerza necesaria para acelerar la masa también se acerca al infinito, y así ninguna partícula puede exceder la velocidad de la luz. La energía continúa aumentando no aumentando la velocidad sino por el incremento de la masa relativista. Si bien la relación relativista para la energía cinética es bastante diferente de la relación newtoniana, la forma newtoniana se obtiene para el caso de\(u \ll c\) en que

\[\begin{align} T &= \dfrac{mc^2}{\sqrt{1 − \dfrac{u^2}{ c^2}}} − mc^2 \\[4pt] &= mc^2(1 + \dfrac{1}{ 2} \dfrac{u^2}{ c^2} + \cdots ) − mc^2 \\[4pt] &= \dfrac{1}{ 2} mu^2 \label{17.29} \end{align}\]

Una relación relativista especialmente útil que puede derivarse de lo anterior es

\[E^2 = p^2c^2 + E^2_0 \label{17.30}\]

Esto es útil porque proporciona una relación simple entre la energía total de una partícula y su impulso lineal relativista más la energía de reposo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Rocket Propulsion

Considera que un cohete, que tiene masa inicial\(M\), se acelera en línea recta en el espacio libre al agotar el propulsor a una velocidad constante en\(v_p\) relación con el cohete. Dejar\(u\) ser la velocidad del cohete con relación a su marco de reposo inicial\(S\), cuando su masa de reposo ha disminuido a\(m\). En este instante el cohete está en reposo en el marco inercial\(S^{\prime} \). En un momento adecuado\(\tau + d\tau\) la masa de reposo es\(m − dm\) y ha adquirido un incremento de velocidad\(du\) relativo\(S^{\prime}\) y el propelente de la masa de reposo\(dm_p\) ha sido expulsado con velocidad\(v_p\) relativa a\(S^{\prime} \). En el momento adecuado\(\tau\) en\(S^{\prime}\) la masa de descanso es\(mc^2\). En ese momento\(\tau + d\tau \), la conservación de energía requiere que

\[\gamma_{u^{\prime}} (m − dm) c^2 + \gamma_{v_p} m_p c^2 = mc^2 \nonumber\]

En el mismo instante, la conservación del impulso lineal requiere

\[\gamma_{u^{\prime}} (m − dm) du^{\prime} − \gamma_p v_p dm_p = 0 \nonumber\]

Para ordenar primero estas dos ecuaciones simplifican a

\[dm_p = \sqrt{ 1 − \left(\dfrac{v_p }{c} \right)^2 } dm \nonumber\]

\[ mdu^{\prime} = dm_p\gamma_{v_p} v_p \nonumber\]

Por lo tanto

\[mdu^{\prime} = v_pdm \label{a}\tag{a}\]

El incremento de velocidad\(du^{\prime}\) en fotograma se\(S^{\prime}\) puede transformar de nuevo a fotograma\(S\) usando la ecuación\((17.3.3)\), es decir

\[d + du = \dfrac{u + du^{\prime}}{ 1 + \dfrac{ udu^{\prime}}{ c^2}} \approx u + \left( 1 − \left(\dfrac{u}{c} \right)^2 \right) du^{\prime} \label{b}\tag{b}\]

Las ecuaciones\ ref {a} y\ ref {b} producen una ecuación diferencial para\(u(m)\) de

\[\dfrac{du}{ 1 − (\dfrac{u}{c} )^2} = v_p \dfrac{dm}{m} \nonumber\]

Integrar el lado izquierdo entre\(0\)\(u\) y y el lado derecho entre\(M\) y\(m\) da

\[\dfrac{1}{ 2} c \ln \left(\dfrac{1 + \dfrac{u}{c} }{1 − \dfrac{u}{c}} \right) = −v_p \ln \left( \dfrac{m}{M} \right) \nonumber\]

Esto reduce a

\[\dfrac{u}{c} = \dfrac{1 − ( \dfrac{m}{M} )^{2v_p/c}}{ 1 + ( \dfrac{m}{M} )^{2v_p/c}} \nonumber\]

Cuando\(\dfrac{u}{c} \rightarrow 0\) esta ecuación se reduce a la respuesta no relativista dada en la ecuación\((2.12.34)\).

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¹ Obsérvese que, hasta hace poco, la masa de descanso estaba denotada por\(m_0\) y se denominó a la masa relativista como\(m\). Los textos modernos denotan la masa de descanso por\(m\) y la masa relativista por\(\gamma m\). Este libro sigue la nomenclatura moderna para la masa de descanso para evitar confusiones.