17.6: Formulación Lorentz-Invariante de Mecánica Lagrangiana

Formulación paramétrica

Los formalismos lagrangianos y hamiltonianos en la mecánica clásica se basan en el concepto newtoniano de tiempo absoluto\(t\) que sirve como parámetro de evolución del sistema en el Principio de Hamilton. Este enfoque viola la Teoría Especial de la Relatividad. El formalismo lagrangiano y hamiltoniano extendido es un enfoque paramétrico, pionero por Lanczos [La49], que introduce un parámetro de evolución del sistema\(s\) que sirve como variable independiente en la integral de acción, y todas las variables espacio-tiempo\(q_i (s), t(s)\) dependen del parámetro de evolución \(s\). Este formalismo lagrangiano y hamiltoniano extendido lo convierte en una forma compatible con la Teoría Especial de la Relatividad. La importancia de la formulación extendida invariante de Lorentz de la mecánica lagrangiana y hamiltoniana ha sido reconocida desde hace décadas. [La49, Go50, Sy60] Recientemente ha habido un resurgimiento del interés por el formalismo lagrangiano y hamiltoniano extendido estimulado por los papeles de Struckmeier [Str05, Str08] y este formalismo ha destacado en los libros de texto recientes de Johns [Jo05] y Greiner [Gr10]. Este enfoque paramétrico desarrolla formalismos lagrangianos y hamiltonianos manifiestamente covariantes que tratan por igual todas las variables canónicas\(2n+1\) espacio-tiempo. Proporciona un lagrangiano plausible manifiestamente covariante para el sistema de un solo cuerpo, pero existen serios problemas extendiéndose esto al sistema\(N\) -cuerpo cuando\(N > 1\). Generalizar los formalismos lagrangianos y hamiltonianos en el dominio de la Teoría Especial de la Relatividad es de fundamental importancia para la física, mientras que el enfoque paramétrico da una idea de la filosofía subyacente al uso de métodos variacionales en la mecánica clásica. ¹

En la mecánica lagrangiana convencional, las ecuaciones de movimiento para las coordenadas\(n\) generalizadas se derivan minimizando la integral de acción, es decir, el Principio de Hamilton.

\[\delta S (\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t) = \delta \int^b_a L(\mathbf{q}(t), \mathbf{\dot{q}}(t),t) dt = 0 \label{17.55}\]

donde\(L(\mathbf{q}(t), \mathbf{\dot{q}}(t),t)\) denota el lagrangiano convencional. Este enfoque asume implícitamente el concepto newtoniano de tiempo absoluto\(t\) que se elige como la variable independiente que caracteriza el parámetro de evolución del sistema. El camino real que sigue\([\mathbf{q}(t), \mathbf{\dot{q}}(t)]\) el sistema se define por el extremo de la integral de acción\(S(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t)\) que conduce a las ecuaciones correspondientes de Euler-Lagrange. Esta suposición es contraria a la Teoría de la Relatividad que requiere que las variables de espacio y tiempo sean tratadas por igual, es decir, el formalismo lagrangiano debe ser covariante.

Lagrangiano extendido

Lanczos [La49] propuso hacer la covariante lagrangiana introduciendo un parámetro de evolución general\(s\), y tratando el tiempo como una variable dependiente\(t(s)\) en igualdad de condiciones con las variables de espacio de configuración\(q^i (s)\). Es decir, el tiempo se convierte en una variable dependiente\(q_0(s) = ct(s)\) similar a las variables espaciales\(q_{\mu} (s)\) donde\(1 \leq \mu \leq n\). El sistema dinámico se describe entonces como movimiento confinado a una hipersuperficie dentro de un espacio extendido donde el valor del hamiltoniano extendido y el parámetro de evolución\(s\) constituyen un par adicional de variables conjugadas canónicamente en el espacio extendido. Es decir, el impulso canónico\(p_0\), correspondiente a\(q_0 = ct\), es\(p_0 = \frac{E}{c}\) similar a la ecuación del vector momento-energía cuatro\((17.5.21)\).

Se\(\mathbb{L}(\mathbf{q}(s), \frac{d\mathbf{q}(s) }{ds },t(s), \frac{dt(s)}{ ds} )\) puede definir un lagrangiano extendido que se puede escribir de forma compacta como\(\mathbb{L}(q^{\mu} (s), \frac{dq^{\mu }(s)}{ ds} )\) donde el índice\(0 \leq \mu \leq n\) denota todo el rango de variables espacio-tiempo.

Este Lagrangiano extendido se puede utilizar en una acción extendida funcional\(\mathbb{S}(\mathbf{q}, \frac{d\mathbf{q} }{ds} ,t, \frac{dt}{ ds} )\) para dar una versión extendida del Principio ² de Hamilton

\[\delta \mathbb{S}(\mathbf{q}, \frac{d\mathbf{q} }{ds} ,t, \frac{dt }{ds} ) = \delta \int^b_a \mathbb{L}(q^{\mu }(s), \frac{dq^{\mu} (s)}{ ds })ds = 0 \label{17.56}\]

La acción convencional\(S\), y la acción extendida\(\mathbb{S}\), abordan caracterizaciones alternas del mismo sistema físico subyacente, y así el principio de acción implica que\(\delta S = \delta \mathbb{S} = 0\) debe sostenerse simultáneamente. Es decir,

\[\delta \int^b_a L(\mathbf{q}, \frac{d\mathbf{q}}{ dt} ,t) \frac{dt}{ ds} ds = \delta \int^b_a \mathbb{L}(\mathbf{q}, \frac{d\mathbf{q}}{ ds} ,t, \frac{dt}{ds})ds \label{17.57}\]

Como se discutió en el capítulo\(9.3\), existe un espectro continuo de lagrangianos equivalentes invariantes de calibre para el cual las ecuaciones de Euler-Lagrange conducen a ecuaciones idénticas de movimiento. Ecuación\ ref {17.57} se satisface si los lagrangianos convencionales y extendidos están relacionados por

\[\mathbb{L}(\mathbf{q}, \frac{d\mathbf{q}}{ds},t, \frac{dt}{ds} ) = L(\mathbf{q}, \frac{d\mathbf{q}}{ dt },t) \frac{dt}{ ds} + \frac{d\Lambda (\mathbf{q},t)}{ ds} \label{17.58}\]

donde\(\Lambda (\mathbf{q},t)\) es una función continua de\(\mathbf{q}\) y\(t\) que tiene segundas derivadas continuas. Es aceptable suponer que\(\frac{d\Lambda (\mathbf{q},t)}{ ds} = 0\), entonces los lagrangianos extendidos y convencionales tienen una relación única que no requiere transformación simultánea de las variables dinámicas. Es decir, supongamos

\[\mathbb{L}(\mathbf{q}, \frac{d\mathbf{q}}{ds},t, \frac{dt}{ds}) = L(\mathbf{q}, \frac{d\mathbf{q}}{ dt },t) \frac{dt}{ ds} \label{17.59}\]

Tenga en cuenta que la derivada temporal de\(\mathbf{q}\) puede expresarse en términos de las\(s\) derivadas por

\[\frac{d\mathbf{q}}{ dt} = \frac{d\mathbf{q}/ds}{ dt/ds} \label{17.60}\]

Así, para un Lagrangiano convencional con\(n\) variables, el Lagrangiano extendido correspondiente es una función de\(n + 1\) variables mientras que los Lagrangianos convencionales y extendidos se relacionan usando ecuaciones\ ref {17.59}, y\ ref {17.60}.

Los derivados de la relación entre los lagrangianos extendidos y convencionales conducen a

\[\frac{\partial \mathbb{L}}{ \partial q^{\mu}} = \frac{\partial L}{ \partial q^{\mu}} \frac{dt}{ds} \label{17.61}\]

\[\frac{\partial \mathbb{L}}{ \partial t} = \frac{\partial L}{ \partial t} \frac{dt}{ds} \label{17.62}\]

\[\frac{\partial \mathbb{L}}{ \partial \left(\frac{dq^{\mu} }{ ds} \right)} = \frac{\partial L}{ \partial \left(\frac{dq^{\mu}}{ dt} \right)} \label{17.63}\]

\[\frac{\partial \mathbb{L} }{\partial \left( \frac{dt}{ds} \right)} = L −\sum^n_{ \mu =1} \frac{\partial L}{ \partial \left(\frac{dq^{\mu}}{ dt} \right)} \frac{dq^{\mu}}{ dt} \label{17.64}\]

donde\(1 \leq \mu \leq n\) desde el\(\mu = 0\) tiempo las derivadas se escriben explícitamente en ecuaciones\ ref {17.62},\ ref {17.64}.

Ecuaciones\ ref {17.63} —\ ref {17.64}, sumadas en el rango extendido\(0 \leq \mu \leq n\) de variables dinámicas espaciales y temporales, implican

\[\sum^n_{\mu = 0} \frac{\partial \mathbb{L}}{ \partial \left(\frac{dq^{\mu}}{ ds } \right)} \left(\frac{dq^{\mu}}{ds} \right) = L\frac{dt}{ds} −\sum^n_{\mu =1} \frac{\partial L}{ \partial \left(\frac{dq^{\mu}}{dt} \right)} \frac{dq^{\mu}}{dt} \frac{dt}{ds} + \sum^n_{ i=1} \frac{\partial L}{ \partial \left(\frac{dq^{\mu}}{dt} \right)} \frac{dq^{\mu}}{ds} = \mathbb{L} \label{17.65}\]

La ecuación\ ref {17.65} se puede escribir en la forma

\[\mathbb{L}−\sum^n_{\mu = 0} \frac{\partial \mathbb{L}}{ \partial \left(\frac{dq^{\mu}}{ds} \right)} \frac{dq^{\mu}}{ds} = \begin{cases} \underset{=}{\not\equiv} 0 \text{ if } \mathbb{L} \text{ is not homogeneous in } \frac{dq^{\mu}}{ds} \\ \equiv 0 \text{ if } \mathbb{L} \text{ is homogeneous in } \frac{dq^{\mu}}{ds} \end{cases} \label{17.66}\]

Si el Lagrangiano extendido\(\mathbb{L}(\mathbf{q}, \frac{d\mathbf{q}}{ds},t, \frac{dt}{ds} )\) es homogéneo a primer orden en las\(n+1\) variables\(\frac{dq^{\mu}}{ds} \), entonces el teorema de Euler sobre funciones homogéneas implica trivialmente la relación dada en la Ecuación\ ref {17.66}. Struckmeier [Str08] identificó un punto sutil pero importante que si no\(\mathbb{L}\) es homogéneo en\(\frac{dq^{\mu}}{ds} \), entonces la Ecuación\ ref {17.66} no es una identidad sino una ecuación implícita que siempre se satisface a medida que el sistema evoluciona de acuerdo con la solución de las ecuaciones extendidas de Euler-Lagrange. Entonces la Ecuación\ ref {17.59} se satisface sin que sea una forma homogénea en\(n+1\) las velocidades\(\frac{dq^{\mu}}{ds} \). Esto introduce una nueva clase de lagrangianos no homogéneos. La partícula libre relativista, discutida en el ejemplo\(\PageIndex{1}\), es un caso de un lagrangiano extendido no homogéneo.

Momenta generalizada extendida

El impulso generalizado se define por

\[p_{\mu} = \frac{\partial L}{ \partial \left( \frac{\partial q^{\mu} }{\partial t} \right)} \label{17.67}\]

Supongamos que las definiciones del lagrangiano extendido\(\mathbb{L}\), y el hamiltoniano extendido\(\mathbb{H}\), están relacionadas por una transformación de Legendre, y se basan en principios variacionales, análogos a la relación que existe entre el lagrangiano convencional\(L\) y el hamiltoniano\(H\). La transformación de Legendre requiere definir el vector extendido generalizado (canónico) momento-energía cuatro\(\mathbb{P}(s)= ( \frac{\mathbb{E}(s)}{ c} ,\mathbf{p}(s))\). Los componentes de impulso del vector momento-energía cuatro\(\mathbb{P}(s)= ( \frac{\mathbb{E}(s)}{ c} , \mathbf{p}(s))\) son dados por los\(1 \leq \mu \leq n\) componentes usando la ecuación\ ref {17.63}.

\[p_{\mu} (s) = \frac{\partial \mathbb{L}}{ \partial \left(\frac{dq^{\mu}}{ds} \right)} = \frac{\partial L}{ \partial \left(\frac{dq^{\mu}}{dt} \right)} \label{17.68}\]

El\(\mu = 0\) componente del vector momento-energía cuatro se puede derivar reconociendo que el lado derecho de la Ecuación\ ref {17.64} es igual a\(−H(p_{\mu }, q^{\mu }, t)\). Es decir, el impulso generalizado correspondiente\(p_0\), es decir conjugado a\(q_0 = ct\), viene dado por

\[p_0 = \frac{\partial \mathbb{L}}{ \partial \left(\frac{dq^0}{ ds} \right)} = \frac{1}{ c} \left( \frac{\partial \mathbb{L}}{ \partial \left( \frac{dt}{ds} \right) } \right) = \frac{1}{ c} \left(L − \sum^n_{\mu =1} \frac{\partial L}{ \partial \left(\frac{dq^{\mu}}{dt} \right)} \frac{dq^{\mu}}{dt} \right) = −\frac{H(p_{\mu} , q^{\mu} , t)}{ c} \label{17.69}\]

Ecuaciones de movimiento de Lagrange Extended

Por analogía directa con la integral de acción no relativista\ ref {17.55}, el extremo para la integral de acción relativista\(S(\mathbf{q}, \frac{d\mathbf{q}}{ds},t, \frac{dt}{ds} )\) se obtiene utilizando las ecuaciones de Euler-Lagrange derivadas de la Ecuación\ ref {17.56} donde está la variable independiente\(s\). Esto implica que para\(0 \leq \mu \leq n\)

\[\frac{d}{ ds} \left( \frac{\partial \mathbb{L}}{ \partial \left(\frac{dq^{\mu}}{ds} \right)} \right) − \frac{\partial \mathbb{L}}{ \partial q^{\mu}} = \mathbb{Q}^{EX}_{\mu} = \sum^m_{ k=1} \frac{dt}{ds}\lambda_k \frac{\partial g_k}{ \partial q^{\mu} } + Q^{EXC}_{\mu} \frac{dt}{ds} \label{17.70}\]

donde la fuerza generalizada extendida\(\mathbb{Q}^{EX}_{\mu}\) mostrada en el lado derecho de la Ecuación\ ref {17.70}, da cuenta de todas las fuerzas no incluidas en el término de energía potencial en el lagrangiano. La fuerza generalizada extendida se\(\mathbb{Q}^{EX}_{\mu}\) puede factorizar en dos términos como se discute en el capítulo\(6\), ecuación\((6.5.12)\). El término multiplicador de Lagrange incluye fuerzas de restricción\(1 \leq k \leq m\) holonómicas donde las restricciones\(m\) holonómicas, que no funcionan, se expresan en términos de las ecuaciones\(m\) algebraicas de restricción holonómica\(g_k\). El\(Q^{EXC}_{\mu}\) término incluye las fuerzas de restricción restantes y las fuerzas generalizadas que no están incluidas en el término multiplicador de Lagrange o el término de energía potencial del lagrangiano.

Para el caso en el que\(\mu = 0\), desde entonces\(q_0 = ct\), la Ecuación\ ref {17.70} se reduce a

\[\frac{d}{ds} \left( \frac{\partial \mathbb{L}}{ \partial \left( \frac{dt}{ds} \right)} \right) − \frac{\partial \mathbb{L}}{ \partial t} = \sum^m_{k=1} \frac{dt}{ds}\lambda_k \frac{\partial g_k}{ \partial t} −\sum^n_{\nu =1} Q^{EXC}_{\nu} \frac{dq^{\nu}}{ ds} \label{17.71}\]

Estas ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange\ ref {17.70},\ ref {17.71} determinan las coordenadas\(1 \leq \mu \leq n\) generalizadas\(q^{\mu} (s)\), más\(q^0 = ct(s)\) en términos de la variable independiente\(s\).

Si las ecuaciones holonómicas de restricción son independientes del tiempo, es decir\(\frac{\partial g_k }{\partial t} = 0\) y si\(\mathbb{Q}^{EXC}_0 = 0\), entonces el\(\mu = 0\) término de las ecuaciones de Euler-Lagrange simplifica a

\[\frac{d}{ds} \left( \frac{\partial \mathbb{L}}{ \partial \left( \frac{dt}{ds} \right) } \right) − \frac{\partial \mathbb{L}}{ \partial t} = 0 \label{17.72}\]

Una interpretación es seleccionar\(L\) para ser primaria. Luego\(\mathbb{L}\) se deriva del\(L\) uso de la Ecuación\ ref {17.59} y\(\mathbb{L}\) debe satisfacer la identidad dada por la Ecuación\ ref {17.66} mientras que las ecuaciones de Euler-Lagrange que contienen\(\frac{dt}{ds}\) producen una identidad que implica que\(L\) no proporciona una ecuación de movimiento en términos de\(t(s)\). Por el contrario, si\(\mathbb{L}\) se elige para ser primario, entonces ya no\(\mathbb{L}\) es una función homogénea y la Ecuación\ ref {17.66} sirve como una restricción sobre el movimiento que se puede usar para deducir\(L\), mientras que\(\frac{dt}{ds}\) produce una ecuación no trivial de movimiento en términos de\(t(s)\). En ambos casos la ocurrencia de una superficie de restricción resulta del hecho de que el espacio extendido tiene\(2n + 2\) variables para describir\(2n + 1\) grados de libertad, es decir, un grado de libertad más del requerido para el sistema real.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Lagrangian for a relativistic free particle

El lagrangiano estándar no\(L = T − U\) es invariante de Lorentz. El Lagrangiano extendido\(L(\mathbf{q}, \frac{d\mathbf{q}}{ds}, t, \frac{dt}{ds} )\) introduce la variable independiente\(s\) que trata tanto las variables\(q(s)\) de espacio como la variable de tiempo\(q_0 = ct(s)\) por igual. Esto se puede lograr definiendo el lagrangiano no estándar

\[\mathbb{L} \left(\mathbf{q}, \frac{d\mathbf{q}}{ds},t, \frac{dt}{ds} \right) = \frac{1}{ 2} mc^2 \left[ \frac{1}{ c^2} \left(\frac{d\mathbf{q}}{ ds} \right)^2 − \left( \frac{dt}{ds} \right)^2 − 1 \right] \tag{\(\alpha\)}\label{\alpha}\]

Se incluye el tercer término constante en el paréntesis para asegurar que el lagrangiano extendido converja al lagrangiano estándar en el límite\(\frac{dt}{ds} \rightarrow 1\).

Tenga en cuenta que el lagrangiano extendido\ ref {\ alpha} no es homogéneo a primer orden en las velocidades\(\frac{d\mathbf{q}}{ ds}\) como se requiere. La ecuación\ ref {17.66} debe usarse para asegurar que la ecuación\ ref {\ alpha} es homogénea. Es decir, debe satisfacer la relación de restricción

\[\left( \frac{dt}{ds}\right)^2 − \frac{1}{ c^2} \left(\frac{d\mathbf{q}}{ ds} \right)^2 − 1=0 \label{\beta}\tag{\(\beta\)}\]

Al insertar\ ref {\ beta} en el lagrangiano extendido\ ref {\ alpha} se obtiene que el corchete en la Ecuación\ ref {\ alpha} debe ser igual a 2. Por lo tanto

\[|\mathbb{L}| = \frac{1}{ 2} mc^2 [−2] = −mc^2 \label{\gamma}\tag{\(\gamma\)}\]

La restricción Ecuación\ ref {\ beta} implica que

\[\frac{ds}{ dt} = \sqrt{1 − \frac{1}{ c^2} \left(\frac{d\mathbf{q}}{ dt} \right)^2} = \frac{1}{ \gamma} \tag{\(\delta\)}\label{\delta}\]

Usando la ecuación\ ref {\ delta} da que el lagrangiano relativista es

\[L = \frac{\mathbb{L}}{ \gamma} = −\frac{mc^2}{ \gamma} = −mc^2 \sqrt{ 1 − \beta^2} \label{\epsilon}\tag{\(\epsilon\)}\]

La ecuación\ ref {\ epsilon} es la lagrangiana relativista convencional derivada asumiendo que el parámetro de evolución del sistema\(s\) se transforma para estar a lo largo de la línea mundial\(ds\), donde la longitud invariante\(ds\) reemplaza el intervalo de tiempo apropiado

\[ds = cd\tau = \frac{cdt}{ \gamma} \label{\varepsilon}\tag{\(\varepsilon\)}\]

La definición del impulso generalizado (canónico)

\[p_i = \frac{\partial L}{ d\dot{q}_i} = \gamma m\dot{q}_i \label{\varsigma}\tag{\(\varsigma\)}\]

conduce a la expresión relativista para el impulso dado en la ecuación\((17.4.6)\).

El lagrangiano relativista es un ejemplo importante de un lagrangiano no estándar. La ecuación\ ref {\ alpha} no equivale a la diferencia entre las energías cinética y potencial, es decir, la expresión relativista para la energía cinética viene dada por\((17.4.13)\) ser

\[T = (\gamma − 1) mc^2 \label{\eta}\tag{\(\eta\)}\]

El lagrangiano relativista no estándar\ ref {\ épsilon} se puede utilizar con las ecuaciones de Euler-Lagrange para derivar las ecuaciones de movimiento de segundo orden tanto para problemas relativistas como no relativistas dentro de la Teoría Especial de la Relatividad.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Relativistic particle in an external elctromagnetic field

Una partícula cargada que se mueve a velocidad relativista en un campo electromagnético externo proporciona un ejemplo del uso del lagrangiano relativista.

En la discusión de la mecánica clásica se demostró que la fuerza de Lorentz dependiente de la velocidad puede ser absorbida en el potencial eléctrico escalar\(\Phi\) más el potencial magnético vectorial\(\mathbf{A}\). Es decir, la energía potencial viene dada por ecuación\((17.3.4)\) para ser\(U = q(\Phi − \mathbf{A} \cdot \mathbf{v})\). Incluyendo esto en el Lagrangiano,\ ref {17.71}, da

\[L = −\frac{mc^2}{ \gamma} − U = −mc^2 \sqrt{1 − \beta^2} − q\Phi + q\mathbf{A} \cdot \mathbf{v} \nonumber\]

Las tres derivadas parciales espaciales se pueden escribir en notación vectorial como

\[\frac{\partial L}{ \partial \mathbf{r}} = −q\boldsymbol{\nabla}\Phi + \frac{q}{ c} \boldsymbol{\nabla}(\mathbf{v} \cdot \mathbf{A}) \label{a}\tag{a}\]

y el impulso generalizado viene dado por

\[\mathbf{p} = \frac{\partial L}{ d\mathbf{v}} = \gamma m \mathbf{v} + q\mathbf{A} \nonumber\]

que es idéntica a la respuesta no relativista dada por la ecuación 7.6. Es decir, incluye el impulso del campo electromagnético más el impulso lineal clásico de la partícula en movimiento.

El tiempo total derivado del impulso generalizado es

\[\frac{d\mathbf{p}}{ dt} = \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{ d\mathbf{v}} \right) = \frac{d}{dt}(\gamma m \mathbf{v}) + q \frac{d\mathbf{A}}{ dt} \label{b}\tag{b}\]

donde el último término viene dado por la regla de la cadena

\[\frac{d\mathbf{A}}{ dt} = \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \boldsymbol{\nabla})\mathbf{A} \label{c}\tag{c}\]

Usando ecuaciones\ ref {a},\ ref {b},\ ref {c} en la ecuación de Euler-Lagrange da

\[\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{ d\mathbf{v}} \right) = \frac{\partial L}{ \partial \mathbf{r}} \nonumber\]

\[\frac{d}{dt}(\gamma m \mathbf{v}) + q \frac{d\mathbf{A}}{ dt} = −q\boldsymbol{\nabla}\Phi + q\boldsymbol{\nabla}(\mathbf{v} \cdot \mathbf{A}) \nonumber\]

La recopilación de términos y el uso de la conocida identidad vector-producto, además de la definición\(\mathbf{B} = \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}\), da

\[\begin{align*} \frac{d}{dt}(\gamma m \mathbf{v}) &= − \left[ q\boldsymbol{\nabla}\Phi − q \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \right] + q [\boldsymbol{\nabla}(\mathbf{v} \cdot \mathbf{A}) − (\mathbf{v} \cdot \boldsymbol{\nabla})\mathbf{A}] \\[4pt] &= −q \left[ \boldsymbol{\nabla}\Phi − \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \right] + q [\mathbf{v} \times \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}] \\[4pt] \mathbf{F} &= q [\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}] \end{align*}\]

Si adoptamos la definición de que el impulso canónico relativista es\(p = \gamma mv\) entonces el lado izquierdo es la fuerza relativista mientras que el lado derecho es la conocida fuerza Lorentz del electromagnetismo. Así, la formulación lagrangiana extendida reproduce correctamente la conocida fuerza de Lorentz para una partícula cargada que se mueve en un campo electromagnético.

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¹ Capítulos\(17.6\) y\(17.7\) reproducir la presentación de Struckmeier. [Str08]

² Estas fórmulas implican derivados totales y parciales con respecto tanto al tiempo como al parámetro\(s\).\(t\) Para mayor claridad, las derivadas se escriben en su totalidad porque Lanczos [La49] y Johns [Jo05] utilizan la convención opuesta para los superíndices punto y primo como abreviaturas para los diferenciales con respecto a\(t\) y\(s\). El formato negrita pizarra se utiliza para designar las versiones extendidas de la acción\( \mathbb{S}\), lagrangiana\( \mathbb{ L}\) y hamiltoniana\( \mathbb{ H}\).