17.7: Formulaciones invariantes de Lorentz de Mecánica Hamiltoniana
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Formalismo canónico extendido
Se puede desarrollar una formulación invariante de Lorentz de la mecánica hamiltoniana que se construye sobre el formalismo lagrangiano extendido asumiendo que el hamiltoniano y el lagrangiano están relacionados por una transformación de Legendre. Es decir,
\[H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) = \sum^n_{\mu =1} p_{\mu} \frac{\partial q^{\mu}}{\partial t} − L(\mathbf{q}, \frac{\partial \mathbf{q}}{\partial t} , t) \label{17.73}\]
donde el impulso generalizado se define por
\[p_{\mu} = \frac{\partial L}{ \partial \left( \frac{\partial q^{\mu}}{\partial t} \right)} \label{17.74}\]
Struckmeier [Str08] asume que las definiciones de lo lagrangiano extendido\(\mathbb{L}\), y el hamiltoniano extendido\(\mathbb{H}\), están relacionadas por una transformación de Legendre, y se basan en principios variacionales, análogos a la relación que existe entre el lagrangiano convencional\(L\) y el hamiltoniano \(H\). La transformación de Legendre requiere definir el vector extendido generalizado (canónico) momento-energía cuatro\(\mathbb{P}(s)= ( \frac{\mathbb{E} (s)}{c} , \mathbf{p}(s))\). Los componentes de impulso del vector momento-energía cuatro\(\mathbb{P}(s)= (\frac{\mathbb{E} (s)}{c} , \mathbf{p}(s))\) son dados por los\(1 \leq \mu \leq n\) componentes usando los Lagrangianos convencionales o extendidos como se da en la Ecuación\ ref {17.68}
\[p_{\mu} (s) = \frac{\partial \mathbb{L}}{ \partial \left(\frac{dq^{\mu}}{ds} \right)} = \frac{\partial L}{ \partial \left(\frac{dq^{\mu}}{dt} \right)} \label{17.68}\]
El\(\mu = 0\) componente del vector momento-energía cuatro viene dado por la ecuación\((17.6.15)\)
\[p_0 = \frac{1}{c} \left( \frac{\partial \mathbb{L}}{ \partial \left( \frac{dt}{ds} \right)} \right) = −\frac{H(p_{\mu} , q^{\mu} , t)}{ c} = −\frac{\mathcal{E} (s)}{ c} \label{17.75}\]
donde\(\mathcal{E} (s)\) representa la energía generalizada instantánea del hamiltoniano convencional en el punto\(s\), pero no la forma funcional de\(H(\mathbf{q}(s), \mathbf{p}(s), t(s))\). Eso es
\[\mathcal{E} (s) \underset{=}{\not\equiv} H(\mathbf{q}(s), \mathbf{p}(s), t(s)) \label{17.76}\]
Tenga en cuenta que\(\mathcal{E} (s)\) no da la función\(H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)\). Ecuaciones\ ref {17.68} y\((17.6.15)\) dar eso
\[p_0(s) = −\frac{\mathcal{E} (s)}{ c} \label{17.77}\]
El hamiltoniano extendido\(\mathbb{H}(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t, \mathcal{E} (s))\), en un espacio de fase extendido, puede definirse por la transformación Legendre y el cuatro vector\(\mathbb{P}\) para ser
\[\begin{align} \mathbb{H}(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t, \mathcal{E} (s)) &= (\mathbb{P} \cdot \mathbf{q}) − \mathbb{L}(\mathbf{q}, \frac{d\mathbf{q}}{ds} ,t, \frac{dt}{ds} ) \label{17.78} \\[4pt] &= \sum^n_{\mu =0} p_{\mu} \left(\frac{dq^{\mu}}{ds} \right) − \mathbb{L}(\mathbf{q}, \frac{d\mathbf{q}}{ds} ,t, \frac{dt}{ds} ) \nonumber \\[4pt] &= \sum^n_{\mu =1} p_{\mu} \left(\frac{dq^{\mu}}{ds} \right) − \mathcal{E} \frac{dt}{ds} − \mathbb{L}(\mathbf{q}, \frac{d\mathbf{q}}{ds} ,t, \frac{dt}{ds}) \label{17.79} \end{align}\]
donde el\(p_0\) término ha sido escrito explícitamente como\(−\mathcal{E} \frac{dt}{ds}\) en la Ecuación\ ref {17.79}. El hamiltoniano extendido\(\mathbb{H}((\mathbf{q}, \mathbf{p}, t, \mathcal{E} (s))\) puede llevar toda la información sobre el sistema dinámico que lleva el lagrangiano extendido\(\mathbb{L}(\mathbf{q}, \frac{d\mathbf{q}}{ds} ,t, \frac{dt}{ds} )\), si la matriz de Hesse es no singular. Es decir, si
\[\text{det } \left( \frac{\partial^2 \mathbb{L}}{ \partial \left(\frac{dq^{\mu}}{ds} \right)\partial \left(\frac{dq_{\nu}}{ ds} \right)} \right) \neq 0 \label{17.80}\]
Si el Lagrangiano extendido no\(\mathbb{L}(\mathbf{q}, \frac{d\mathbf{q}}{ds} ,t, \frac{dt}{ds} )\) es homogéneo en\(n+1\) las velocidades\(\frac{dq^{\mu}}{ds}\), entonces el conjunto extendido de ecuaciones de Euler-Lagrange no\((17.6.18)\) es redundante. Por lo tanto, la ecuación no\((17.6.12)\) es una identidad sino que puede considerarse como una ecuación implícita que siempre es satisfecha por el conjunto extendido de ecuaciones de Euler-Lagrange. En consecuencia, existe la transformación de Legendre a un hamiltoniano extendido. Es decir, la ecuación\((17.6.12)\) es idéntica a la transformada de Legendre para la\(\mathbb{H}((\mathbf{q},\mathbf{p}, t, \mathcal{E} (s))\) que se mostró igual a cero. Por lo tanto
\[\mathbf{H}(\mathbf{q}(s), \mathbf{p}(s), t(s), \mathcal{E} (s)) = 0 \label{17.81}\]
lo que significa que el hamiltoniano extendido define\(\mathbb{H}((\mathbf{q}, \mathbf{p}, t, \mathcal{E} (s))\) directamente la hipersuperficie restringida en la que se limita el movimiento de las partículas.
Las ecuaciones canónicas extendidas de movimiento, derivadas utilizando el hamiltoniano extendido\(\mathbb{H}(\mathbf{q}(s), \mathbf{p}(s), t(s), \mathcal{E} (s))\) con las relaciones mecánicas hamiltonianas habituales, son:
\[\begin{align} \frac{\partial \mathbb{H}}{ \partial p_{\mu}} &= \frac{dq^{\mu}}{ds} \label{17.82} \\[4pt] \frac{\partial \mathbb{H}}{ \partial q^{\mu}} &= −\frac{dp_{\mu}}{ ds} \label{17.83} \\ \frac{\partial \mathbb{H}}{ \partial t} &= \frac{d\mathcal{E}}{ds} \label{17.84} \\ \frac{\partial \mathbb{H}}{ \partial \mathcal{E}} &= − \frac{dt}{ds} \label{17.85} \end{align}\]
Estas ecuaciones canónicas dan que la derivada total de\(\mathbb{H}((\mathbf{q}(s), \mathbf{p}(s), t(s), \mathcal{E} (s))\) con respecto a\(s\), es
\[\begin{align} \frac{d\mathbb{H}}{ ds} &= \frac{\partial \mathbb{H}}{ \partial p_{\mu}} \frac{dp_{\mu}}{ ds} + \frac{\partial \mathbb{H}}{ \partial q^{\mu}} \frac{dq^{\mu}}{ds} + \frac{\partial \mathbb{H}}{ \partial t} \frac{dt}{ds} + \frac{\partial \mathbb{H}}{ \partial \mathcal{E}} \frac{d\mathcal{E}}{ds} \nonumber \\[4pt] &= \frac{dq^{\mu}}{ds} \frac{dp_{\mu} }{ds} − \frac{dp_{\mu}}{ ds} \frac{dq^{\mu}}{ds } + \frac{d\mathcal{E}}{ds} \frac{dt}{ds} − \frac{dt}{ds} \frac{d\mathcal{E}}{ds} = 0 \label{17.86} \end{align}\]
Es decir, en contraste con la derivada del tiempo total de\(H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)\), la\(s\) derivada total del hamiltoniano extendido\(\mathbb{H}((\mathbf{q}(s), \mathbf{p}(s), t(s), \mathcal{E} (s))\) siempre se desvanece, es decir,\(\mathbb{H}((\mathbf{q}(s), \mathbf{p}(s), t(s), \mathcal{E} (s))\) es autónoma lo que es ideal para su uso con las ecuaciones de movimiento de Hamilton. Las restricciones dan eso\(\mathbb{H}((\mathbf{q}(s), \mathbf{p}(s), t(s), \mathcal{E} (s)) = 0\), (Ecuación\ ref {17.81}) y\(\frac{d\mathbb{H}}{ ds} = 0\), (Ecuación\ ref {17.86}) lo que implica que la correlación entre los hamiltonianos extendidos y convencionales viene dada por
\[\begin{align}\mathbb{H}((\mathbf{q}(s), \mathbf{p}(s), t(s), \mathcal{E} (s)) &= \sum^n_{\mu =1} p_{\mu} \left(\frac{dq^{\mu}}{ds} \right) − \mathcal{E} \frac{dt}{ds} − \mathbb{L}(\mathbf{q}, \frac{d\mathbf{q}}{ds} ,t, \frac{dt}{ds} ) \label{17.87} \\[4pt] &= \sum^n_{\mu =1} p_{\mu} \left(\frac{dq^{\mu}}{ds} \right) − \mathcal{E} \frac{dt}{ds} − L(\mathbf{q}, \frac{d\mathbf{q}}{ds} ,t,) \frac{dt}{ds} \label{17.88} \\[4pt] &= \sum^n_{\mu =1} p_{\mu} \left(\frac{dq^{\mu}}{ds} \right) − \mathcal{E} \frac{dt}{ds} + \left[ H(\mathbf{q},\mathbf{p}, t) −\sum^n_{\mu =1} p_{\mu} \left(\frac{dq^{\mu}}{dt} \right) \right] \frac{dt}{ds} \label{17.89} \\[4pt] &= (H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) − \mathcal{E} ) \frac{dt}{ds} = 0 \label{17.90} \end{align}\]
ya que solo el término con\(\mu = 0\) no cancela en la Ecuación\ ref {17.79}. Las ecuaciones\ ref {17.81} y\ ref {17.90} dan que tanto los lados izquierdo como derecho de la Ecuación\ ref {17.90} son cero mientras que la Ecuación\ ref {17.86} implica que\(\mathbb{H}((\mathbf{q}(s), \mathbf{p}(s), t(s), \mathcal{E} (s))\) es una constante de movimiento, es decir,\(s\) es una variable cíclica para\(\mathbb{H}((\mathbf{q}(s), \mathbf{p}(s), t(s), \mathcal{E} (s))\). Formalmente se puede considerar que el hamiltoniano extendido es una constante que equivale a cero
\[\mathbb{H}(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t, \mathcal{E} (s)) = \mathbb{E} (s)=0 \label{17.91}\]
Las ecuaciones\ ref {17.84},\ ref {17.85} implican que\((\mathcal{E}, t)\) forman un par de variables conjugadas canónicamente además de las variables conjugadas canónicamente recién introducidas\((\mathbb{E} (s), s)\). La ecuación\ ref {17.90} muestra que el movimiento en el espacio de fase\(2n + 2\) extendido está restringido a la superficie reflejando el hecho de que el sistema observado tiene un grado de libertad menos que el utilizado por el hamiltoniano extendido.
En resumen, el formalismo canónico extendido invariante de Lorentz conduce a las ecuaciones de movimiento de primer orden de Hamilton en términos de derivadas con respecto a\(s\), donde\(s\) se relaciona con el tiempo adecuado\(\tau\) para un sistema relativista.
Representación extendida del soporte Poisson
Struckmeier [Str08] investigó la utilidad del formalismo extendido cuando se aplicó a la representación del soporte de Poisson de la mecánica hamiltoniana. El soporte extendido de Poisson para dos funciones diferenciables\(F\) y\(G\) se define como
\[ \left\{\left\{ F,G \right\}\right\} = \sum^n_{j=1} \left( \frac{\partial F}{ \partial q^j} \frac{\partial G}{ \partial p_j} − \frac{\partial F}{ \partial p_j} \frac{\partial G}{ \partial q^j} \right) − \frac{\partial F}{ \partial t} \frac{\partial G}{ \partial H} + \frac{\partial F}{ \partial H} \frac{\partial G}{ \partial t} \label{17.92}\]
En cuanto al soporte convencional de Poisson discutido en el capítulo\(15\), el Poisson extendido también conduce a las relaciones fundamentales del corchete de Poisson
\[ \left\{\left\{ q^i,q^j \right\}\right\} = 0 \quad \left\{\left\{ p_i,p_j \right\}\right\} = 0 \quad \left\{\left\{ q^i,p_j \right\}\right\} = \delta^i_j \label{17.93}\]
donde\(i, j = 0, 1, \dots , n\). Estos son idénticos a los corchetes de Poisson fundamentales no extendidos.
La discusión de los observables en la mecánica hamiltoniana en el capítulo\(15.2.5\) puede ampliarse trivialmente a la representación extendida del soporte de Poisson. En particular, la\(s\) derivada total de la función\(G\) viene dada por
\[\frac{dG}{ ds} = \frac{\partial G}{ \partial s} + \left\{\left\{ G, \mathbb{H} \right\}\right\} \label{17.94}\]
Si\(G\) se desplaza con el hamiltoniano extendido, es decir, el corchete de Poisson es igual a cero, y si\(\frac{\partial G}{ \partial s} = 0\), entonces\(\frac{dG}{ ds} = 0\). Es decir, lo observable\(G\) es una constante de movimiento.
Sustituir las variables fundamentales por\(G\) da
\[\frac{dp_{\mu} }{ds} = \left\{\left\{ p_{\mu}, \mathbb{H} \right\}\right\} = − \frac{\partial \mathbb{H}}{ \partial q^{\mu}} \quad \frac{dq^{\mu}}{ds} = \left\{\left\{ q^{\mu}, \mathbb{H} \right\}\right\} = \frac{\partial \mathbb{H}}{ \partial p_{\mu}} \label{17.95}\]
donde\(i, j = 0, 1, \dots , n\). Estas son las ecuaciones canónicas extendidas de movimiento de Hamilton expresadas en términos del parámetro de evolución del sistema\(s\). La representación extendida del corchete de Poisson es una extensión trivial de las ecuaciones canónicas convencionales presentadas en el capítulo\(15.3\).
Transformación canónica extendida y teoría Hamilton-Jacobi
Struckmeier [Str08] presentó versiones extendidas plausibles de transformación canónica y teorías de Hamilton-Jacobi que pueden ser utilizadas para proporcionar una formulación invariante de Lorentz de la mecánica hamiltoniana para sistemas relativistas de un solo cuerpo. Una descripción detallada se puede encontrar en Struckmeier [Str08]. 1
Validez del formalismo extendido Hamilton-Lagrange
Se ha demostrado que el formalismo lagrangiano y hamiltoniano extendido, basado en el modelo paramétrico de Lanczos [La49], conduce a un enfoque plausible manifiestamente covariante para el sistema de un solo cuerpo. Las características generales desarrolladas para el manejo de la mecánica lagrangiana y hamiltoniana se trasladan a la Teoría Especial de la Relatividad asumiendo el uso de un lagrangiano o hamiltoniano no estándar, extendido. Esta expansión del rango de validez de la conocida mecánica hamiltoniana y lagrangiana al dominio relativista es importante, y reduce cualquier transformación de Lorentz a una transformación canónica. Se ha criticado la validez de este formalismo extendido de Hamilton-Lagrange, y existen problemas para extender este enfoque al sistema\(N\) -cuerpo para\(N > 1\). Por ejemplo, como discutieron Goldstein [Go50] y Johns [Jo05], cada uno de los cuerpos en\(N\) movimiento tiene sus propias líneas mundiales y momenta. Definir el impulso total\(\mathbf{P}\) requiere conocer simultáneamente los momentos de los cuerpos individuales, pero la simultaneidad depende del cuerpo y por lo tanto incluso el impulso total no es un simple vector de cuatro. Se requiere un método general que permita utilizar un lagrangiano o hamiltoniano manifiestamente covariante para el sistema\(N\) -body. Para el sistema de un solo cuerpo, el formalismo extendido Hamilton-Lagrange proporciona un enfoque poderoso y lógico para explotar la mecánica analítica en el dominio relativista que conserva la forma de los formalismos lagrangiano/hamiltonianos convencionales. Tenga en cuenta que el teorema de Noether que relaciona la energía y el tiempo es fácilmente evidente usando el formalismo extendido.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): The Bohr-Sommerfeld hydrogen atom
El átomo de hidrógeno relativista clásico fue resuelto por primera vez por Sommerfeld en 1916. Sommerfeld utilizó la “teoría cuántica antigua” de Bohr más la mecánica hamiltoniana para dar un paso importante en el desarrollo de la mecánica cuántica al obtener las expresiones de primer orden para la estructura fina del átomo de hidrógeno. Al igual que en el caso no relativista, el movimiento se limita a un plano que permite el uso de coordenadas polares planas. Así el lagrangiano relativista viene dado por
\[\begin{align*} L &= −\frac{mc^2}{ \gamma } − U \\[4pt] &= −mc^2 \sqrt{ 1 − \frac{\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2}{ c^2}} + \frac{ke^2}{ r} \end{align*}\]
Los momentos canónicos son dados por
\[\begin{align*} p_{\theta} &= \frac{\partial L}{ \partial \dot{\theta}} = m\gamma r^2 \dot{\theta} \\[4pt] p_r &= \frac{\partial L}{ \partial \dot{r}} = m\gamma \dot{r} \\[4pt] \dot{p}_{\theta} &= \frac{\partial L}{ \partial \theta} = 0 \\[4pt] \dot{p}_r &= \frac{\partial L}{ \partial r} = m\gamma r \dot{\theta}^2 + k \frac{e^2}{ r^2} \end{align*}\]
En cuanto al caso no relativista,\(\theta\) es una variable cíclica y así\(p_{\theta} = m\gamma r^2 \dot{\theta}\) se conserva el momento angular.
El relativista hamiltoniano para el potencial Coulomb entre un electrón y el protón, asumiendo que el movimiento está confinado a un plano, lo que permite el uso de coordenadas polares planas, conduce a
\[H = \sqrt{ p^2_rc^2 + \frac{p^2_{\theta} c^2}{ r^2} + m^2c^4} − \frac{ke^2}{r} \nonumber\]
Las mismas ecuaciones de movimiento se obtienen utilizando la mecánica hamiltoniana, es decir:
\[\begin{align*} \dot{\theta} &= \frac{\partial H}{ \partial p_{\theta}} = \frac{p_{\theta}}{ m\gamma r^2} \\[4pt] \dot{r} &= \frac{\partial H}{ \partial p_r} = \frac{p_r}{ m\gamma} \\[4pt] \dot{p}_{\theta} &= −\frac{\partial H}{ \partial \theta} = 0 \\[4pt] \dot{p}_r &= −\frac{\partial H}{ \partial r} = m \gamma r \dot{\theta}^2 + k \frac{e^2 }{r^2} \end{align*}\]
La dependencia radial se puede resolver usando mecánica lagrangiana o hamiltoniana, pero la solución no es trivial. Usando las mismas técnicas aplicadas para resolver el problema de Kepler, conduce a la solución radial
\[r = \frac{q}{ 1 + \epsilon \cos [\Gamma (\theta − \theta_0]} \quad \Gamma = \sqrt{ 1 − \frac{e^4}{ c^2 p^2_{\theta}}} \quad q = \frac{c^2\Gamma^2 p^2_{\theta}}{e^2 E} \quad \epsilon = \sqrt{1 + \frac{\Gamma^2 (1 − \frac{m^2c^4}{E^2} )}{ 1 − \Gamma^2}} \nonumber\]
Los ábsides son\(r_{\text{min}} = \frac{q}{ (1+\epsilon)}\) para\(\Gamma (\theta − \theta_0) = 0\),\(2\pi , 4\pi \), y\(r_{\text{max}} = \frac{q}{ (1−\epsilon)}\) para\(\Gamma (\theta − \theta_0) = \pi , 3\pi ,\). El perihelio avanza entre ciclos debido al cambio en la masa relativista durante la trayectoria como se muestra en (Figura\(\PageIndex{1}\)). Esta precesión conduce a la estructura fina observada en los espectros ópticos del átomo de hidrógeno. La misma precesión del perihelio ocurre para el movimiento planetario, sin embargo, existe un efecto de tamaño comparable debido a la gravedad que requiere el uso de la relatividad general para calcular las trayectorias.
1 Tenga en cuenta que Greiner [Gr10] incluye una reproducción del papel Struckmeier [Str08].