17.8: La Teoría General de la Relatividad
- Page ID
- 126742
La Teoría Especial de la Relatividad se restringe a los marcos inerciales que están en movimiento uniforme y no acelerado, y se supone que existen en todo el espacio-tiempo. En 1916 Einstein publicó la Teoría General de la Relatividad que amplía el alcance de la mecánica relativista para incluir marcos aceleradores no inerciales más una teoría unificada de la gravitación. La Teoría General de la Relatividad incorpora tanto la Teoría Especial de la Relatividad como la Ley de Gravitación Universal de Newton. Proporciona una teoría unificada de la gravitación que es una propiedad geométrica del espacio y el tiempo. En particular, la curvatura del espacio-tiempo está directamente relacionada con los cuatro momentos de la materia y la radiación. Desafortunadamente, las ecuaciones de la relatividad general de Einstein son ecuaciones diferenciales parciales no lineales que son difíciles de resolver exactamente, y la teoría requiere un conocimiento de la geometría riemanniana que va más allá del alcance de este libro. Sin embargo, es útil resumir los conceptos fundamentales sobre los que se basa la teoría, y algunas de las implicaciones observables ya que la Teoría General de la Relatividad es una rama importante de la mecánica clásica.
Los Conceptos Fundamentales
El desarrollo de la relatividad general por parte de Einstein estuvo fuertemente influenciado por los siguientes cinco principios.
Principio de Mach
La obra de 1883 “La ciencia de la mecánica” del filósofo/físico, Ernst Mach, criticó el concepto de Newton de un marco de referencia absoluto, y sugirió que las leyes físicas locales están determinadas por la estructura a gran escala del universo. El concepto es que el movimiento local de un marco giratorio está determinado por la distribución a gran escala de la materia, es decir, relativa a las estrellas fijas. La interpretación de Einstein de la afirmación de Mach fue que las propiedades inerciales de un cuerpo están determinadas por la presencia de otros cuerpos en el universo, y llamó a este concepto Principio de Mach. El Principio de Mach nunca se ha desarrollado en una teoría física cuantitativa que explique un mecanismo por el cual la distribución a gran escala de la materia pueda producir tal efecto.
Principio de Equivalencia
El principio de equivalencia comprende conceptos estrechamente relacionados que tratan de la equivalencia de la masa gravitacional e inercial. El principio de equivalencia débil establece que la masa inercial y la masa gravitacional de un cuerpo son idénticas, lo que lleva a una aceleración que es independiente de la naturaleza del cuerpo. Este hecho experimental suele atribuirse a Galileo. Mediciones recientes han demostrado que este débil principio de equivalencia se obedece a una sensibilidad de\(5 \times 10^{−13}\). El principio de equivalencia de Einstein establece que el resultado de cualquier experimento local no gravitacional, en un laboratorio que cae libremente, es independiente de la velocidad del laboratorio y su ubicación en el espacio-tiempo. Este principio implica que el resultado de experimentos locales debe ser independiente de la velocidad del aparato. El principio de equivalencia de Einstein se ha probado buscando variaciones de constantes fundamentales adimensionales como la constante de estructura fina. El principio de equivalencia fuerte combina los principios de equivalencia débil y equivalencia de Einstein, e implica que la constante gravitacional es constante en todas partes del universo. El fuerte principio de equivalencia sugiere que la gravedad es de naturaleza geométrica y no involucra ninguna quinta fuerza en la naturaleza. La Teoría General de la Relatividad de Einstein satisface el fuerte principio de equivalencia. Las pruebas del principio de equivalencia fuerte han implicado búsquedas de variaciones en la constante gravitacional\(G\) y masas de partículas fundamentales a lo largo de la vida del universo.
Principio de covarianza
Una ley física expresada en una formulación covariante tiene la misma forma matemática en todos los sistemas de coordenadas, y generalmente se expresa en términos de campos tensores. Las ecuaciones de Maxwell de electromagnetismo son un ejemplo de tal formulación covariante. En la Teoría Especial de la Relatividad, las transformaciones Lorentz, rotacionales, traslacionales y de reflexión entre marcos de coordenadas inerciales son todas covariantes. Las cantidades covariantes son los 4 escalares y los 4 vectores en el espacio-tiempo de Minkowski. Einstein reconoció que el principio de covarianza, que está integrado en la Teoría Especial de la Relatividad, debería aplicarse igualmente al movimiento relativo acelerado en la Teoría General de la Relatividad. Aprovechó el cálculo tensor para extender la covarianza de Lorentz a la covarianza local más general en la Teoría General de la Relatividad. La reducción local del tensor métrico general a la métrica Minkowski corresponde al movimiento de caída libre, es decir, el movimiento geodésico, y por lo tanto abarca la gravitación. La teoría unificada de campo implica intentos de extender la Teoría General de la Relatividad para incorporar otros fenómenos físicos dentro de un marco covariante en una representación puramente geométrica en el espacio-tiempo.
Principio de correspondencia
El Principio de Correspondencia establece que las predicciones de cualquier nueva teoría científica deben reducirse a las predicciones de teorías anteriores bien establecidas en circunstancias para las que se sabía que la teoría anterior era válida. Esto también se conoce como el “límite de correspondencia”. El Principio de Correspondencia es un concepto importante utilizado tanto en la mecánica cuántica como en la mecánica relativista. La Teoría Especial de la Relatividad de Einstein satisface el Principio de Correspondencia porque reduce a la mecánica clásica en el límite de velocidades pequeñas en comparación con la velocidad de la luz. El Principio de Correspondencia requiere que la Teoría General de la Relatividad se reduzca a la Teoría Especial de la Relatividad para los marcos inerciales, y se aproxime a la Teoría de la Gravitación de Newton en campos débiles y a bajas velocidades.
Principio de acoplamiento gravitacional mínimo
El principio de acoplamiento gravitacional mínimo requiere que el Lagrangiano total para las ecuaciones de campo de la relatividad general consista en dos partes aditivas, una parte correspondiente al Lagrangiano gravitacional libre, y la otra parte a campos fuente externos en espacio-tiempo curvo. Es decir, no se deben agregar términos que contengan explícitamente la curvatura del espacio-tiempo en la extensión de las teorías especiales a las generales de la relatividad.
Postulados de Einstein para la Teoría General de la Relatividad
Einstein se dio cuenta de que el Principio de Equivalencia que relaciona las masas gravitacional e inercial implica que la constancia de la velocidad de la luz en el vacío no puede sostenerse en presencia de un campo gravitacional. Es decir, el elemento de línea Minkowskiano debe ser reemplazado por un elemento de línea más general que tenga en cuenta la gravedad. Einstein propuso que el elemento lineal minkowskiano en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, sea reemplazado por la introducción de una estructura geométrica riemanniana de cuatro dimensiones donde se combinan el espacio, el tiempo y la materia. Como describen Lancos [La49], [Har03], [Mu08], esta propuesta asombrosamente audaz implica que el movimiento planetario se describe como un fenómeno puramente geodésico en cierto cuatro-espacio de estructura riemanniana, donde lo geodésico es la ecuación de una curva en un colector para cualquier posible conjunto de coordenadas. Esto implica que se descarta el concepto de “fuerza gravitacional”, y el movimiento planetario es una manifestación de un fenómeno geodésico puro para el movimiento sin fuerza en una estructura riemanniana de cuatro dimensiones.
El capítulo\(5.10\) mostró que las representaciones lagrangianas y hamiltonianas de la mecánica variacional son enfoques poderosos para determinar la ecuación que rige el movimiento restringido geodésico. Además, estas representaciones son independientes del marco de referencia elegido como lo exige la Teoría General de la Relatividad. Así, la mecánica variacional es la representación teórica preeminente de la Teoría General de la Relatividad y las predicciones son consistentes con los conceptos fundamentales descritos en el capítulo\(16.8\).
Para resumir, la Teoría Especial de la Relatividad implica que los conceptos newtonianos de marco absoluto de referencia y separación del espacio y el tiempo son inválidos. La Teoría General de la Relatividad va más allá de la Teoría Especial al implicar que la fuerza gravitacional, y el movimiento planetario resultante, pueden describirse como fenómenos geodésicos puros para el movimiento sin fuerza en una estructura riemanniana de cuatro dimensiones.
Evidencia experimental
La evidencia en apoyo de la Teoría de la Relatividad General de Einstein es convincente. Las siguientes son manifestaciones experimentales típicas de la Teoría General de la Relatividad.
Problema de Kepler
En 1915 Einstein demostró que la mecánica relativista explicaba el avance anómalo del perihelio del planeta mercurio, es decir, los ejes del preceso elíptico de la órbita Kepler. Ejemplo\(16.7.1\) discute el análogo de este efecto para el átomo de hidrógeno de Bohr-Sommerfeld.
Desviación de la luz
Eddington viajó a la isla de Príncipe, cerca de África, para ver el eclipse solar del 29 de mayo de 1919. Durante el eclipse, tomó fotografías de las estrellas de la región alrededor del Sol. Según la teoría de la relatividad general, las estrellas con rayos de luz que pasaban cerca del Sol parecerían haber sido ligeramente desviadas debido a que su luz había sido curvada por el campo gravitacional del sol. Este efecto se nota sólo durante los eclipses, ya que de lo contrario el brillo del Sol oscurece las estrellas afectadas. Los resultados confirmaron la predicción de Einstein de la desviación de la luz en un campo gravitacional que hizo famoso a Einstein.
Lentes gravitacionales
La desviación de la luz por la atracción gravitacional de un objeto masivo situado entre una estrella distante y el observador da como resultado la observación de múltiples imágenes del cuásar distante.
Dilatación gravitacional del tiempo y desplazamiento de frecuencia
Los procesos que ocurren en un campo de alta gravitación son más lentos que en un campo gravitacional débil; esto se llama dilatación gravitacional del tiempo. Además, la luz que sale de un pozo gravitacional es desplazada al rojo. La dilatación gravitacional del tiempo se ha medido muchas veces y la operación continua del Sistema de Posición Global proporciona una validación continua. El desplazamiento gravitacional al rojo ha sido confirmado en el laboratorio utilizando el efecto Mössbauer preciso en física nuclear. Las pruebas en campos gravitacionales más fuertes son proporcionadas por estudios de púlsares binarios. Todas estas mediciones confirman la teoría general de la relatividad.
Detección de ondas gravitacionales
En 1916 Einstein predijo la existencia de ondas gravitacionales sobre la base de la teoría de la relatividad general. La primera detección implícita de ondas gravitacionales fue realizada en 1976 por Hulse y Taylor quienes detectaron una disminución en el período orbital debido a una pérdida significativa de energía que presumiblemente se asoció con la emisión de ondas gravitacionales por la estrella compacta de neutrones en el púlsar binario\(PSR 1913 + 16\). La evidencia directa más convincente para la observación de una onda gravitacional fue realizada el 15 de septiembre de 2015 por los Observatorios de Ondas Gravitacionales de Interferómetro Láser LIGO. La forma de onda detectada por los dos observatorios LIGO coincidió con las predicciones de Relatividad General para ondas gravitacionales que emanan de la espiral interior más la fusión de un par de agujeros negros de alrededor de 36 y 29 masas solares, seguido del agujero negro binario resultante. La onda gravitacional emitida por esta fusión cataclísmica llegó a la Tierra como una ondulación en el espacio-tiempo que cambió la longitud del brazo\(4\)\(km\) LIGO en una milésima parte del ancho del protón. La energía gravitacional emitida fueron masas\(3.0^{+0.5}_{−0.5} c^2\) solares. Se realizó una segunda observación de ondas gravitacionales el 26 de diciembre de 2015, y cuatro observaciones similares se realizaron durante 2017. La detección de tales cambios minúsculos en el espacio-tiempo es un logro verdaderamente notable. Esta detección directa de ondas gravitacionales resultó en la concesión del Premio Nobel 2017 a Rainer Weiss, Barry Barish y Kip Thorn.
Agujeros negros
Si la relación masa/radio de un objeto masivo se vuelve suficientemente grande, la relatividad general predice la formación de un agujero negro, que es una región del espacio del que ni la luz ni la materia pueden escapar. Se cree que un agujero negro supermasivo, con una masa que son masas\(10^6 − 10^9\) solares, jugó un papel importante en la formación de la galaxia M87. Este agujero negro en el núcleo de la galaxia elíptica masiva M87 fue observado en abril de 2017 por el Telescopio Event Horizon (EHT). La figura\(\PageIndex{1}\) muestra una imagen de luz polarizada de este agujero negro, revelando una estructura en forma de anillo consistente con la emisión de sincrotrones de electrones relativistas que giran alrededor del borde interno de un vórtice de líneas de campo magnético en las proximidades del horizonte de eventos. (The Astrophysical Journal Letters, 910:L12, 20 de marzo de 2021).
