4.3: Nota sobre las coordenadas curvilíneas

Div, Grad y Curl en Coordenadas Curvilíneas Ortogonales

Los problemas con una simetría particular, como cilíndrica o esférica, se atacan mejor usando sistemas de coordenadas que aprovechan al máximo esa simetría. Por ejemplo, la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno se resuelve mejor usando coordenadas polares esféricas. Para este y otros problemas de ecuaciones diferenciales, entonces, necesitamos encontrar las expresiones para operadores diferenciales en términos de las coordenadas apropiadas.

Solo miramos los sistemas de coordenadas ortogonales, de modo que localmente los tres ejes (como\(r,\theta,\varphi\)) son un conjunto mutuamente perpendiculares. Denotamos las coordenadas curvilíneas por\((u_1,u_2,u_3)\). Las coordenadas cartesianas estándar para el mismo espacio son las habituales\((x,y,z)\).

Supongamos que ahora tomamos un cubo infinitesimalmente pequeño con bordes paralelos a las direcciones de coordenadas curvilíneas locales, y por lo tanto con caras satisfactorias\(u_i = constant,\; i=1,2,3\) para los tres pares de caras.

Las longitudes de los bordes son entonces\(h_1du_1,\; h_2du_2\) y\(h_3du_3\), donde\(h_1,\; h_2,\; h_3\) están en general las funciones de\(u_1,\; u_2,u_3\). Es decir, la distancia a través del cubo de una esquina a la esquina opuesta

\[ ds^2=h^2_1du^2_1+h_2^2du_2^2+h^2_3du^2_3=dx^2+dy^2+dz^2 \tag{4.2.1}\]

Está claro que el gradiente de una función\(\psi\) en la\(u_1\) dirección es

\[ (\nabla\psi)_1=\lim_{du_1\to0}\dfrac{\psi(A)−\psi(0)}{h_1du_1}=\dfrac{1}{h_1}\dfrac{\partial\psi}{\partial u_1} \tag{4.3.2}\]

La divergencia de un campo vectorial\(\vec{V}\) en coordenadas curvilíneas se encuentra utilizando el teorema de Gauss, que el flujo vectorial total a través de los seis lados del cubo es igual a la divergencia multiplicada por el volumen del cubo, en el límite de un cubo pequeño.

El área de la cara entre corchetes por\(h_2du_2\) y\(h_3du_3\) es\(h_2du_2h_3du_3\). Para esa cara, el componente del campo vectorial que contribuye al flujo del cubo es\(−V_1\), por lo que el flujo a través de la cara es\(−V_1h_2h_3du_2du_3\). Para encontrar el flujo a través de la cara opuesta (paralela) del cubo, correspondiente a un incremento en\(u_1\) de\(du_1\), debemos tener en cuenta que\(h_2,\; h_3\) y\(V_1\) todos varían con\(u_1\), por lo que el flujo será:

\[ V_1h_2h_3du_2du_3+\dfrac{\partial}{\partial u_1}(h_2h_3V_1)du_1du_2du_3 \tag{4.3.3}\]

El primer término aquí por supuesto cancela la contribución de la otra cara. El término restante, más los términos con 123 reemplazados por 231 y 312 de los otros dos pares de caras opuestas, deben, aplicando el teorema de Gauss, agregar para dar

\[ \vec{\nabla}\cdot\vec{V}\times volume =\vec{\nabla}\cdot\vec{V} h_1h_2h_3du_1du_2du_3. \tag{4.3.4}\]

Esto da:

\[ \vec{\nabla}\cdot\vec{V}=\dfrac{1}{h_1h_2h_3}\{\dfrac{\partial}{\partial u_1}(h_2h_3V_1)+\dfrac{\partial}{\partial u_2}(h_3h_1V_2)+\dfrac{\partial}{\partial u_3}(h_1h_2V_3)\} \tag{4.3.5}\].

Armando esto con la expresión para el gradiente da inmediatamente la expresión para el operador Laplaciano en coordenadas curvilíneas:

\[ \nabla^2\psi=\dfrac{1}{h_1h_2h_3}\{\dfrac{\partial}{\partial u_1}(\dfrac{h_2h_3}{h_1}\dfrac{\partial\psi}{\partial u_1})+\dfrac{\partial}{\partial u_2}(\dfrac{h_3h_1}{h_2}\dfrac{\partial\psi}{\partial u_2})+\dfrac{\partial}{\partial u_3}(\dfrac{h_1h_2}{h_3}\dfrac{\partial\psi}{\partial u_3}) \} \tag{4.3.6}\]

El rizo de un campo vectorial\(\vec{A}\) se encuentra integrándose alrededor de una de las caras cuadradas. Así, el 1-componente de\(\vec{\nabla}\times\vec{A}\) se da integrando\(\vec{A}\cdot\vec{ds}\) alrededor del (23) cuadrado con dos de sus lados\(h_2du_2\) y\(h_3du_3\). La integral debe igualarse\((\vec{\nabla}\times\vec{A})_1\) multiplicada por el área\(h_2du_2h_3du_3\). Esto da

\[ (\vec{\nabla}\times\vec{A})_1=\dfrac{1}{h_2h_3}\{\dfrac{\partial}{\partial u_2}(A_3h_3)−\dfrac{\partial}{\partial u_3}(A_2h_2)\}. \tag{4.3.7}\]

Coordenadas cilíndricas

\[ \begin{matrix}x=r\cos\varphi \\ y=r\sin\varphi \\ z=z \\ ds^2=dr^2+r^2d\varphi^2+dz^2 \end{matrix} \tag{4.3.8}\]

Aquí\((u_1,u_2,u_3)=(r,\varphi,z)\), y\((h_1,h_2,h_3)=(1,r,1)\).

Por lo tanto, por ejemplo,\[ \nabla^2\psi=\dfrac{1}{r} \dfrac{\partial}{\partial r}(r\dfrac{\partial\psi}{\partial r})+\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial^2\psi}{\partial\varphi^2}+\dfrac{\partial^2\psi}{\partial z^2}. \tag{4.3.9}\]

Coordenadas polares esféricas

\[ \begin{matrix} x=r\sin\theta\cos\varphi \\ y=r\sin\theta\sin\varphi \\ z=r\cos\theta \\ ds^2=dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\varphi^2 \end{matrix}\tag{4.3.10}\]

Entonces\((u_1,u_2,u_3)=(r,\theta,\varphi)\) y\((h_1,h_2,h_3)=(1,r,r\sin\theta)\).

Aquí\[ \nabla^2\psi=\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}(r^2\dfrac{\partial\psi}{\partial r})+\dfrac{1}{r^2sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial \theta}(\sin\theta\dfrac{\partial\psi}{\partial \theta})+\dfrac{1}{r^2\sin^2\theta}\dfrac{\partial^2\psi}{\partial\varphi^2}. \tag{4.3.11}\]