8.3: Nota sobre la fórmula de conexión WKB

Análisis semiclásico de una partícula atrapada en un pozo en una dimensión

La solución semiclásica aproximada de WKB a la ecuación de Schrödinger,\[ \psi(x)=\psi(x_0)\sqrt{\frac{p(x_0)}{p(x)}}\exp\left( \pm \frac{i}{\hbar} \int_{x_0}^x p(x')dx'\right) \tag{8.3.1}\]

es confiable en regiones donde la longitud de onda (para soluciones oscilantes) o la longitud de decaimiento (para soluciones exponenciales) cambia solo ligeramente a lo largo de una distancia de una longitud de onda o longitud de decaimiento respectivamente. Para una partícula atrapada en un pozo de potencial (unidimensional), clásicamente la partícula rebotaría de un lado a otro entre los dos puntos de inflexión donde su energía cinética se desvanece. En el caso cuántico, estos son precisamente los puntos donde la longitud de onda se vuelve infinita, por lo que la solución WKB falla.

Tomando el Potencial Cerca de los Puntos de Inflexión para ser Lineal...

Sin embargo, para un potencial razonablemente suave puede ser una aproximación adecuada tratar una región de punto de inflexión como una en la que el potencial está aumentando linealmente con la distancia en un rango suficiente que más allá de este punto la aproximación WKB pueda usarse en ambas direcciones. La solución de la ecuación de Schrödinger para un potencial linealmente creciente o decreciente es bien conocida, es la función Airy, la solución de la ecuación diferencial

\[ \frac{d^2y}{dx^2}+xy=0 \tag{8.3.2}\]

trazada aquí en el punto de inflexión de la izquierda:

La estrategia es evaluar esta función para grandes\(x\), tanto positivas como negativas, para que podamos unir las dos soluciones WKB, válidas en las regiones lejanas, de manera cuantitativa.

Siguiendo a Mathews y Walker (página 116) la ecuación diferencial se resuelve más simplemente tomando su transformada de Fourier. Si

\[ g(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}y(x)e^{-i\omega x}dx, \tag{8.3.3}\]

entonces\[ -\omega^2g(\omega)+i\frac{dg}{d\omega}=0, \; so \; g(\omega)=Ae^{-i(\omega^3/3)}. \tag{8.3.4}\]

Por lo tanto\[ y(x)=A\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\omega}{2\pi} \exp\left[ i\left( \omega x-\frac{\omega^3}{3}\right) \right]. \tag{8.3.5}\]

Manteniendo un perfil bajo...

Este es un resultado exacto, ¡pero una integral no trivial! Afortunadamente, solo nos interesa su valor para grandes valores de\(|x|\), y aquí es precisamente donde los métodos de alforjas se vuelven precisos: el contorno se distorsiona para ser lo más bajo posible, luego las únicas contribuciones significativas a la integral (gracias a la variación exponencial de la amplitud) son de esos lugares donde debemos pasar por encima de una silla de montar para llegar de un valle al siguiente. Para ver dónde están los alforjas, y cómo se relacionan con una integral a lo largo del eje real, trazamos debajo de mapas de contorno del valor absoluto del término en el exponencial.

Gran positivo\(x\): En el mapa de abajo, tomamos\(x=10\) (bastante pequeño), por lo que las alforjas están en\(\pm \sqrt{10}\). Si el camino de integración se mueve hacia abajo desde el eje real hacia los valles (oscuros) (por lo que el integrando se vuelve exponencialmente más pequeño) el contorno de\(-\infty\) saldrá de la parte inferior izquierda a la punta de sillín izquierda, sobre la silla de montar en el valle central superior, luego de vuelta sobre la segunda punta de sillín hacia el valle inferior derecho y en a\(+\infty\).

Un color más claro significa un terreno más alto.

Escribiendo la integral como

\[ \int_{-\infty}^{\infty}e^{f(\omega)}d\omega \tag{8.3.6}\]

(dejando caer constantes generales irrelevantes) luego

\[ f(\omega)=i\left( \omega x-\frac{\omega^3}{3}\right),\; f'(\omega)=i(x-\omega^2) \; and\; f"(\omega)=-2i\omega. \tag{8.3.7}\]

(Mathews y Walker quitan el parámetro\(x\) “grande”\(f\), lo hemos dejado adentro, esto no afecta el resultado final). Cerca de la alforja positiva

\[ f(\omega)=f(\sqrt{x})+\frac{1}{2}f''(\sqrt{x})(\omega-\sqrt{x})^2=i\frac{2}{3}x^{3/2}-i\sqrt{x}(\omega-\sqrt{x})^2 \tag{8.3.8}\]

dejando caer términos de orden superior. Dado que\(f′′\) es puro imaginario en la punta de silla, el camino apropiado para un exponente real en la integral gaussiana está en\(\pi /4\) el eje x-. Así que en el camino integral

\[ dz=e^{\pm i\pi /4} ds \tag{8.3.9}\]

donde\(ds\) es un parámetro real que mide la longitud de la trayectoria incremental, y el signo en el exponente es positivo para la punta de silla de la izquierda. Los aportes de los dos sillines dan a las soluciones asintóticas (grandes positivas\(x\)) como:

\[ y(x)\sim \frac{2\sqrt{\pi}}{x^{1/4}}\cos\left( \frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{\pi}{4}\right). \tag{8.3.10}\]

Gran negativo\(x\): En este caso, la geografía de la silla de montar es bastante diferente, aunque la geografía lejana es la misma, estando dominada por el\(\omega^3\) término.

Al igual que antes, la ruta de integración del eje real se puede mover hacia abajo desde el eje real hacia los valles en la parte inferior izquierda e inferior derecha. (Las contribuciones adicionales de vincular el nuevo camino con el eje real en el infinito son cero.) Se desprende del mapa de arriba que llegar del valle de la izquierda al de la derecha significa simplemente pasar por encima de la punta de silla en el eje imaginario negativo. Observe desde el sombreado más oscuro que la otra punta de silla se encuentra en mayor elevación.

La integración a través del sillín es paralela al eje real, y da\[ y(x)\sim \frac{\sqrt{\pi}}{(-x)^{1/4}}\exp\left[ -\frac{2}{3}(-x)^{3/2}\right]. \tag{8.3.11}\]

Esta, entonces, es la solución ondulada en descomposición de la ecuación Airy que estamos buscando, y es claro que va sin problemas de esta forma exponencial a la coseno\[ y(x)\sim \frac{2\sqrt{\pi}}{x^{1/4}}\cos\left( \frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{\pi}{4}\right). \tag{8.3.10}\]

como\(x\) se toma a lo largo del eje real de grandes valores negativos a grandes valores positivos.

Método rápido de Landau

Por cierto, Landau da una manera rápida de ver cómo se conectan estas fórmulas. Se trata de soluciones asintóticas a la ecuación Airy original, válidas siempre y cuando\(x\) esté bien alejada del origen. Pero podemos ir de uno a otro, evitando el origen, si consideramos\(x\) como una variable compleja y nos movemos hacia el plano complejo—Landau toma un semicírculo en el medio plano superior, comienza con la solución exponencialmente en descomposición ahora escrita

\[ y(\rho e^{i\phi})\sim \frac{\sqrt{\pi}}{(-\rho e^{i\phi})^{1/4}}\exp\left[ -\frac{2}{3}\rho^{3/2}\left( \cos\frac{3}{2}\phi+i\sin\frac{3}{2}\phi \right) \right] \tag{8.3.12}\]

\(\phi\)variando la fase de 0 a\(\pi\). El factor exponencial al principio aumenta en módulo, luego se convierte en puro imaginario, exactamente igual a uno de los dos términos en la forma coseno para positivo\(x\).

Si uno toma la fórmula coseno y la continúa en el plano medio complejo superior, un término crece exponencialmente, el otro va a cero. Supongamos que uno comienza en algún valor grande de\(x\) y se mueve en un círculo alrededor de\(x=0\) nuevo al eje real ahora negativo. Esto le dará\[ y(x)\sim \frac{\sqrt{\pi}}{(x)^{1/4}}\exp i\left( \frac{2}{3}(x)^{3/2}-\sqrt{\pi}{4}\right). \tag{8.3.13}\]

Esto es en realidad lo mismo que la expresión que ya derivamos: las\(\pi /4\) cancelas contra el signo menos dentro de la cuarta raíz, la\(i\) contra el signo menos elevado a la\(3/2\) potencia.