13.2: Termodinámica de Agujero Negro

Introducción:

“El tiempo y el espacio son modos en los que pensamos y no condiciones en las que vivimos”. — Einstein

“El espacio es el orden de convivencia, y el tiempo es el orden de sucesión de los fenómenos”. — Leibniz

“Para el sabio, el tiempo solo es significativo en que dentro de él los pasos del devenir pueden desarrollarse en la secuencia más clara”. — I Ching

Información de antecedentes

Una de las características del desarrollo de Hawking y Bekenstein de la termodinámica de agujero negro es que une muchas piezas de física juntas. Entre esas piezas se encuentran:

• La realización desde la Mecánica Cuántica de que podemos pensar en toda la materia-energía como ondas. Aquí aparece un documento sobre esto.
• La realización desde la física clásica de que en una región confinada, las ondas existen como ondas estacionarias. Aquí aparece un documento sobre esto.
• La realización desde la termodinámica de que la entropía puede verse como una medida del número de combinaciones o permutaciones de un conjunto que son equivalentes. Esto equivale a ver la entropía de manera más convencional como una medida del calor dividido por la temperatura de un cuerpo. Según la Segunda Ley de la Termodinámica, en un sistema cerrado la entropía nunca disminuye. Aquí aparece un documento sobre Entropía.
• La realización del Principio de Incertidumbre de Heisenberg de que podemos violar el principio de Conservación de la Energía siempre y cuando lo hagamos por un corto periodo de tiempo. Esto se discute en la siguiente sección de este documento.
• La realización desde la física clásica de que todos los objetos con una temperatura superior al cero absoluto irradian energía como radiación electromagnética. Esto se discute brevemente a continuación.
• La teoría de Feynman sobre la antimateria como materia regular retrocediendo en el tiempo. Aquí aparece un documento sobre antimateria.

Por último, la información de antecedentes sobre los agujeros negros se puede encontrar aquí.

Producción Virtual por Pares

Recordemos el principio de incertidumbre de Heisenberg. Básicamente pone un límite en cuanto podemos reducir la perturbación que introducimos en un sistema haciendo una medición en él. Hay una serie de formas del principio, y aquí usaremos solo una de ellas:

La incertidumbre en cualquier medida de la energía de un objeto multiplicada por la incertidumbre en el momento en que el objeto tenía esa energía siempre será al menos igual a una constante universal.

Nota técnica: La constante universal es la constante h de Planck dividida por 2 pi.

La reflexión de un momento sobre las implicaciones de esta forma del Principio de Incertidumbre puede convencerte de que esto significa que la energía ni siquiera tiene un valor definido sino solo un límite inferior y superior. De esta manera, el principio de conservación de la energía puede ser violado siempre y cuando la violación se produzca sólo por un breve periodo de tiempo. Ahora considere el mar infinito de electrones de energía negativa de Dirac. Uno de esos electrones puede violar la conservación de la energía saltando espontáneamente a un estado de energía positiva siempre que vuelva a caer en el agujero con la suficiente rapidez. Recordarán que interpretamos el agujero en el mar como un positrón. Así, creemos que esta producción virtual de pares está ocurriendo en todas partes del universo. El par solo puede existir por un tiempo de aproximadamente 10 ^-35 segundos, es decir, 34 ceros seguidos de un 1 a la derecha del punto decimal; esto se llama el tiempo de Planck.

De igual manera creemos que pares virtuales de protón-antiprotones, neutrón-antineutrones etc. se están formando continuamente y desapareciendo por todas partes del universo. Wheeler, entonces, caracteriza el vacío a una escala de distancias muy pequeñas como espuma cuántica.

Radiación Térmica

Aquí hay otro “pequeño” dato que pronto necesitaremos: Termodinámica dice que cualquier cuerpo con una temperatura por encima del cero absoluto irradiará su energía lejos.

Recordemos que el calor es solo la energía interna del movimiento y la vibración de las moléculas de la sustancia. Y también recordemos que cada vez que un cuerpo con carga eléctrica vibra irradia energía como radiación electromagnética. Estos dos hechos explican el proceso de radiación.

Tu cuerpo irradia a una velocidad de unos 60 Watts, lo mismo que una bombilla de 60W. La mayor parte de esa radiación se encuentra en la región infrarroja.

Cuanto mayor sea la temperatura de un cuerpo más rápido irradia energía.

Nota técnica: para un cuerpo radiante perfecto la tasa de radiación energética es una constante universal multiplicada por la cuarta potencia de la temperatura absoluta.

Si la radiación es principalmente como luz infrarroja o visible o rayos X etc. depende de la temperatura del cuerpo. Por ejemplo, si calentamos una barra de acero empieza a brillar “al rojo vivo”. Al aumentar la temperatura se desplaza el espectro de radiación y se ilumina “blanco caliente”. Sube más la temperatura y la radiación se vuelve azul.

Termodinámica Agujero Negro

Consideramos aquí una de las contribuciones de Stephen Hawking a la Física. Un referente es su famoso libro Una breve historia del tiempo. Lamentablemente, un ex tutor en JPU200Y tenía toda la razón cuando propuso la siguiente pregunta de opción múltiple para una prueba:

Stephen Hawking es:
A. un pésimo escritor.

Perdido en el blitz mediático que rodea a Hawking es que, trabajando independientemente, Bekenstein también llegó a muchas de las formas de realización que describimos aquí.

Imaginamos un agujero negro como la singularidad en el centro rodeada por un horizonte de eventos esférico .Sabemos que cuando un agujero negro es creado por una estrella de neutrones colapsada los neutrones son aplastados fuera de existencia; con esto quiero decir que toda su nicidad de neutrones es aniquilada. Sin embargo, su masa-energía total permanece.

Otra forma de afirmar esto es que fuera del horizonte de eventos todas las propiedades de la materia que la formó se han ido a excepción de la masa-energía total, rotación y carga eléctrica: esto a veces se llama el teorema de Agujero Negro No Tiene Pelo.

La masa-energía total se manifiesta como la curvatura del espacio-tiempo alrededor de la singularidad.

Hemos visto que toda la materia tiene un aspecto de onda, y la Mecánica Cuántica describe el comportamiento de estas ondas. Entonces, pensaremos en representar la masa-energía dentro del horizonte de eventos como ondas.

Ahora bien, ¿qué tipo de olas son posibles dentro del agujero negro? La respuesta son ondas estacionarias, ondas que “encajan” dentro del agujero negro con un nodo en el horizonte de eventos. Los posibles estados de onda son muy similares a las ondas estacionarias en una cabeza de tambor circular que vimos antes; no son exactamente lo mismo porque las olas existen en tres dimensiones en lugar de solo las dos del tambor, pero están muy cerca de lo mismo.

Tenga en cuenta que acabo de decir “tres dimensiones”. Esto es correcto; estamos usando mecánica cuántica no relativista.

La energía representada por un estado de onda particular está relacionada con la frecuencia y amplitud de su oscilación. Como vimos para las ondas estacionarias en un parche de tambor, los “armónicos” más altos tienen una frecuencia más alta y por lo tanto estas ondas mecánicas cuánticas contienen más energía.

Supongamos que la masa-energía total dentro del horizonte de eventos es fija. Entonces, tenemos varias ondas estacionarias, cada una con cierta cantidad de energía, y la suma de la energía de todas estas ondas es igual a la masa-energía total del agujero negro. Hay una gran cantidad de formas en que la masa-energía total puede distribuirse entre las ondas estacionarias. Podríamos tenerlo solo en unas pocas ondas de alta energía o en un mayor número de ondas de baja energía.

Resulta que todos los posibles estados de onda estacionaria son igualmente probables. Así, podemos calcular la probabilidad de que una combinación particular de ondas contenga la masa-energía total del agujero negro de la misma manera que calculamos la probabilidad de obtener varias combinaciones para dados. Al igual que para los dados, el estado con más combinaciones totales será el estado más probable.

Pero hemos visto que la entropía es sólo una medida de la probabilidad. Así podemos calcular la entropía de un agujero negro.

También hemos visto que la entropía mide el calor dividido por la temperatura absoluta. El “calor” aquí es solo la masa-energía total del agujero negro, y si sabemos eso y conocemos la entropía, podemos calcular una temperatura para el agujero negro.

Entonces, como se dio cuenta Hawking, podemos aplicar toda la Termodinámica a un agujero negro.

En una sección anterior vimos que cualquier cuerpo con una temperatura por encima del cero absoluto irradiará energía. Y acabamos de ver que un agujero negro tiene una temperatura distinta de cero. Así la termodinámica dice que irradiará energía y se evaporará. Podemos calcular la tasa de radiación para una temperatura dada a partir de la termodinámica clásica.

¿Cómo es esto posible? Nada puede cruzar el horizonte de eventos, entonces, ¿cómo puede irradiar el agujero negro? La respuesta es a través de la producción virtual de pares. Considere un par virtual de electrón-positrón producido justo fuera del horizonte de eventos. Una vez que se crea el par, la intensa curvatura del espacio-tiempo del agujero negro puede poner energía en el par. Así, el par puede volverse no virtual; el electrón no vuelve a caer en el agujero. Hay muchos posibles parajes para la pareja. Considera uno de ellos: el positrón cae en el agujero negro y el electrón escapa. Según la opinión de Feynman podemos describir esto de la siguiente manera: El electrón cruza el horizonte de eventos viajando hacia atrás en el tiempo, se dispersa y luego irradia lejos del agujero negro viajando hacia adelante en el tiempo. Usando el campo de la física que calcula la producción virtual de pares etc., llamado Electrodinámica Cuántica, podemos calcular la velocidad a la que estos electrones etc. estarán irradiando lejos del agujero negro. El resultado es el mismo que la tasa de radiación que calculamos usando termodinámica clásica.

El hecho de que podamos obtener la tasa de radiación de dos maneras independientes, desde la termodinámica clásica o desde la Electrodinámica Cuántica, fortalece nuestra creencia de que los agujeros negros irradian su energía y se evaporan.

Nota técnica: si medimos la masa-energía M de un agujero negro en unidades donde la masa de nuestro Sol es una, entonces la temperatura absoluta del agujero negro es de 6 × 10 ^-8/M Kelvin y su vida útil, en segundos, es: 10 ⁷¹ M ³.

Agujeros Negros e Información

Arriba mencionamos el teorema de Black Hole Has No Hair, que establece que no importa lo que caiga en un agujero negro, las únicas propiedades que quedan son la masa total, la carga y el momento angular del objeto. Así, si, digamos, una enciclopedia cae en un agujero negro se pierde toda la información de la enciclopedia.

Podemos exponer esta circunstancia de otra manera utilizando la terminología de la Mecánica Cuántica. Antes de que caiga en un agujero negro la enciclopedia tiene en principio una sola función de onda bien definida. Esto se llama estado puro. Después de caer en el agujero, sin embargo, hemos visto que la descripción de su masa-energía se convierte en una combinación de los posibles estados de onda estacionaria que pueden existir con nodos en el horizonte de eventos. A esto se le llama estado mixto.

Sin embargo, la Mecánica Cuántica no proporciona ningún mecanismo por el cual un estado puro pueda convertirse en uno mixto. Esto suele llamarse el “Problema de Información” con agujeros negros.

Hawking, Kip Thorne y otros creen que cuando se resuelva este problema, resultará que la información realmente se ha perdido irremediablemente. Sin embargo, John Preskill y otros creen firmemente que un mecanismo para que la información sea liberada por el agujero negro que se evapora debe y se encontrará en una teoría correcta de la gravedad cuántica.

Así, en febrero de 1997 Preskill ofreció una apuesta a Hawking y Thorne que:

“Cuando un estado cuántico puro inicial sufre colapso gravitacional para formar un agujero negro, el estado final al final de la evaporación del agujero negro siempre será un estado cuántico puro”.

Hawking y Thorne aceptaron la apuesta. La apuesta es:

“El (los) perdedor (es) recompensará al (los) ganador (es) con una enciclopedia de la elección del ganador, de la cual se podrá recuperar información a voluntad”.

Termodinámica del Universo

Considera el universo. Tiene un tamaño de unos 15 mil millones de años luz más o menos. También tiene una cantidad total de masa-energía. Si representamos esta masa-energía como ondas estacionarias mecánicas cuánticas, tal como lo hicimos para los agujeros negros, podemos calcular la entropía total del universo.

Resulta que la entropía de un agujero negro o del universo es proporcional a su tamaño cuadrado.

Así, para una cantidad dada de masa-energía total, cuanto mayor sea el objeto, mayor será la entropía.

Pero el universo se está expandiendo, por lo que su tamaño va en aumento. Así la entropía total del universo también va en aumento.

Esto nos lleva a la idea de que la Segunda Ley de la Termodinámica puede ser una consecuencia del universo en expansión. Así la cosmología explica este principio del siglo XIX.

Dicho de otra manera, recordemos que nos hemos dado cuenta de que la dirección del tiempo, “la flecha del tiempo”, puede provenir ya sea del hecho de que el universo se está expandiendo o de la Segunda Ley de la Termodinámica. Ahora hemos encontrado una relación entre estos dos indicadores de la dirección del tiempo.

Es divertido especular sobre lo que sucederá con la Segunda Ley de la Termodinámica si el universo está cerrado, para que en algún momento la expansión se detenga y se revierta.

Aún más salvaje es la idea de que si la expansión del universo determina la dirección de la flecha del tiempo, entonces si el universo comienza a contraerse la dirección del tiempo también se revertirá.

Seres Sentientes

Hawking y Bekenstein hicieron gran parte del trabajo anterior sobre la termodinámica de los agujeros negros y el universo. En esta sección consideramos una especulación de la que debo asumir la culpa.

Referencia: D. Harrison, “La entropía y el número de seres sintientes en el universo”, especulaciones en ciencia y tecnología 5 (1982) 43.

Primero, debemos pensar un poco en la información.

La búsqueda de vida extraterrestre se ha concentrado en escanear el universo en busca de ondas de radio y tratar de ver si los patrones de la radiación podrían contener evidencia de inteligencia. Cuando primero se descubrieron los púlsares, las fuentes de radio que envían blips a intervalos muy regulares, algunas personas se emocionaron mucho y pensaron que quizás la búsqueda había arrojado un resultado positivo; ahora creemos que los púlsares son la radiación de estrellas de neutrones que giran rápidamente.

Si recibimos una transmisión de radio que es simplemente estática, hay muy poca información en ella. El contenido de información de una señal depende de que esa señal esté ordenada, no aleatoria. Así, si los seres extraterrestres nos están enviando información en ondas de radio la señal se ordenará de alguna manera.

Así, la información debe tener baja entropía. Tal vez recuerdes que antes mencionamos la negentropía, que es la negativa de la entropía: mide la cantidad de orden en un sistema. Las personas que trabajan en la teoría de la información suelen pensar en la negentropía.

Estamos, ojalá, adquiriendo información sobre el mundo, sobre nosotros mismos, nuestros amigos todo el tiempo. Así estamos creando negentropía en nuestro sistema mental.

Ahora, la Segunda Ley de la Termodinámica dice que la entropía va en aumento. Esta es una especie de ley extraña para un físico: dice que la entropía nunca se conserva. Esto se opone a los tipos de leyes a las que estamos acostumbrados, que hablan de condiciones bajo las cuales se conservan las cosas.

También recordarás que la Mecánica Cuántica parece decir que no hay observadores en el universo, solo participadores. Así el universo es en cierto sentido traído a la existencia comunicando a los participantes adquiriendo información al respecto (y viceversa).

¿Y si la Segunda Ley de la Termodinámica no es del todo completa como se afirma? Mi especulación es que podría extenderse para leer:

La tasa de producción de entropía física por parte del universo es igual a la tasa de producción de negentropía por los seres sintientes en el universo.

Ahora tenemos una ley de conservación.

Sin embargo, la entropía física total del universo va en aumento, y podemos calcular la tasa de ese incremento. Si pudiéramos calcular la velocidad a la que una criatura típica parecida a un ser humano adquiere información a lo largo de su vida, entonces una simple división nos permitirá calcular el número de tales seres sintientes que hay en el universo.

Para adivinar a la velocidad a la que producimos negentropía tomamos nuestro sistema de memoria para que sea esencialmente digital, con cada una de las 10 ¹⁴ sinapsis de nuestro cerebro en un estado encendido o apagado. Las combinaciones de estados de sinapsis son exactamente las mismas que las combinaciones de estados de mármol blanco-mármol negro que insistí en que pensáramos cuando discutimos la entropía en una clase anterior. Entonces, igual que siempre, contamos el número de combinaciones para calcular la entropía, cuyo negativo es la negentropía.

Asumimos que la evolución es eficiente, por lo que el almacén de memoria está lleno después de 100 años.

El resultado de dividir esta tasa de producción de negentropía en la velocidad a la que la entropía física está siendo producida por nuestro universo en expansión es un número del orden de 10 ¹⁰² seres humanos sintientes en el universo. Para poner en contexto este número, hay del orden de 10 ⁸⁰ protones más neutrones en el universo.

Entonces, tal vez esta sea una especulación fallida. Otras alternativas incluyen:

• Neutrones, protones, etc. son sintientes.
• El sistema de memoria humana contiene mucho más potencial que hemos permitido.
• No hemos incluido la producción de negentropía debido a la comunicación que ocurre entre seres sintientes.
• Nosotros, junto con Hawking y Bekenstein, hemos calculado la tasa de producción de entropía física en el universo utilizando termodinámica de equilibrio. Un universo autoorganizado con producción de negentropía a través de estructuras disipativas hace que nuestro cálculo de la tasa de producción de entropía física sea incorrecto.