13.4: Doble hendidura

El Feynman Doble Slit

Aquí discutimos una de las dos grandes paradojas que utilizamos para introducir la Mecánica Cuántica. Es el experimento de doble rendija para balas, ondas de agua y electrones. Si bien muchas personas han experimentado con los sistemas para ser discutidos y escritos sobre ellos, el tratamiento de Richard Feynman es tan claro que los físicos a menudo lo llaman la doble hendidura “Feynman”. Al final, se dan 2 referencias para que puedas leer el “maestro” sobre este tema.

Si estás leyendo este documento en línea, hay un par de enlaces a animaciones Flash. Para verlas se requiere el reproductor Flash, que es gratuito y está disponible en http://www.macromedia.com/.

Definiciones operacionales para “Partículas” y “Ondas”

Una “definición operativa” es sólo un procedimiento experimental repetible bien definido cuyo resultado define una palabra o palabras. Por ejemplo, uno puede tener discusiones de amplio alcance sobre el significado de la palabra inteligencia. Una definición operativa de inteligencia que ponga de lado estas discusiones podría ser:

Administro la prueba de IQ Stanford-Binet a una persona y califico el resultado. La inteligencia de la persona es el puntaje en la prueba.

Aquí construimos definiciones operativas para las palabras “partículas” y “ondas”.

Primero discutimos “partículas” y tomaremos como nuestro prototipo balas de una ametralladora. Tenemos la ametralladora, una pieza de armor-placa en la que se han cortado dos pequeñas hendiduras, etiquetadas"1" y “2", un detector y un tope sólido de placa de blindaje. El detector es bastante sencillo: es una lata en la que hemos colocado algo de arena. Vamos a soltar al artillero por, digamos, un estallido de 1 minuto, para luego ver cuántas balas llegan a la lata. Vacíamos la lata, y luego la movemos a una posición diferente sobre el tope trasero, soltamos al artillero para otra explosión de 1 minuto, y veremos cuántas balas han llegado a la nueva posición. Al repetir el procedimiento, podemos determinar la distribución de las balas que llegan a diferentes posiciones sobre el tope trasero.

Resulta que el el ametrallador está borracho, por lo que está rociando las balas al azar en todas las direcciones.

El aparato se muestra a la derecha. Haremos tres “experimentos” diferentes con este aparato.
Primero cerramos la hendidura inferior y medimos la distribución de las balas que llegan al tope trasero desde la hendidura superior. Para algunos tamaños de bala y anchuras de hendidura, aunque muchas balas pasarán directamente a través de la hendidura, una fracción significativa rebotará en la placa de blindaje. Por lo que la distribución de las balas se ve como lo muestra la curva a la derecha.
A continuación cerramos la hendidura superior, y medimos la distribución de las balas que llegan al tope trasero desde la hendidura inferior. La forma, mostrada como la curva a la derecha, es la misma que la anterior, pero se ha desplazado hacia abajo.
Por último, dejamos ambas hendiduras abiertas y medimos la distribución de balas que llegan al tope de respaldo desde ambas hendiduras. El resultado es la curva sólida que se muestra a la derecha. También se muestran como líneas discontinuas los resultados que acabamos de obtener para balas de la hendidura superior y balas de la hendidura inferior.

El resultado es justo lo que probablemente hayas predicho: el número de balas que llegan de ambas rendijas es solo la suma de las balas de la hendidura superior y las balas de la hendidura inferior.

Será útil más adelante para que te des cuenta de que dado que la trayectoria de una sola bala es aleatoria, las distribuciones que estábamos midiendo anteriormente están esencialmente midiendo la probabilidad de que una bala dada llegue a una posición particular en el tope trasero.

Ahora volvemos nuestra atención a las olas. Mi profesor de física de secundaria tenía un dispositivo llamado “tanque de ondulación” que es solo un tanque hecho de plexiglás que podría llenarse de agua. Diversos dispositivos golpearían la superficie del agua, haciendo que las olas de agua se extendieran desde el dispositivo. Se pueden insertar ranuras y otros objetos en la trayectoria de las olas. Todo el aparato estaba montado en un retroproyector, por lo que podría ser utilizado como demostración de clase. A mi maestro le encantaba absolutamente su tanque de ondas, así que la clase de física era básicamente un juego acuático No sé muy bien por qué estaba tan enamorado del dispositivo o qué esperaba que aprendiéramos de él, pero hasta el día de hoy cuando pienso en una ola prototipo pienso en olas de agua en un tanque de ondulación. Entonces vamos a repetir los experimentos de doble rendija que acabamos de hacer en un tanque de ondulación.

Primero mostramos el aparato. Lo que está golpeando la superficie del agua es el pequeño círculo negro en medio de todos los círculos concéntricos. Los círculos concéntricos son las olas de agua que se extienden lejos de la fuente. Al igual que antes tenemos dos ranuras y un tope trasero. Justo frente al tope trasero se encuentra nuestro “detector”, que es solo un corcho que flota en la superficie del agua. Se mide cuánto se mueve el corcho hacia arriba y hacia abajo y determinamos la cantidad de energía de las olas que llega a esa posición en el tope trasero. Mover el corcho a otras posiciones nos permitirá determinar la distribución de la energía de las olas en el tope trasero.
Ahora cerramos la hendidura inferior, y medimos la distribución de la energía de las olas llegando al tope justo desde la hendidura superior. Para algunas combinaciones de ancho de hendidura y longitud de onda, habrá una dispersión significativa de la onda después de que pase a través de la hendidura. Si alguna vez has observado olas entrando a través de una rendija relativamente pequeña en un malecón, es posible que hayas observado esto. La distribución se muestra por la curva a la derecha. Tenga en cuenta que es muy similar a la distribución de balas desde una sola hendidura.
Ahora cerramos la hendidura superior y medimos la distribución de la energía de las olas que llega desde la hendidura inferior, como se muestra a la derecha.
Finalmente, dejamos ambas rendijas abiertas y medimos la distribución. El resultado se muestra a la derecha. Al igual que hicimos para las balas, las líneas discontinuas muestran los resultados que acabamos de obtener para la distribución solo de las rendijas superior e inferior, mientras que la línea sólida es el resultado para ambas hendiduras abiertas. Esto no se parece en nada al resultado de balas. Hay lugares donde la energía total de las olas es mucho mayor que la suma de las dos hendiduras, y otros lugares donde la energía es casi nula. Tal distribución se llama patrón de interferencia.

Esto completa la “definición operativa” que necesitamos para definir ondas y partículas. En el experimento de dos hendiduras, una partícula no muestra un patrón de interferencia y la probabilidad de que una partícula llegue a una ubicación en el tope trasero con ambas rendijas abiertas es solo la suma de la probabilidad de que llegue a través de la hendidura superior más la probabilidad de que llegue por la inferior hendidura. Una onda muestra un patrón de interferencia.

Si piensas en la conservación de energía, puedes preocuparte un poco por el patrón de interferencia de las ondas. No hay problema. La energía total en el patrón de interferencia es igual a la energía que llega de la hendidura superior más la energía que llega de la hendidura inferior: el patrón de interferencia reorganiza la energía pero conserva la cantidad total de energía.

Podemos explicar el patrón de interferencia para las ondas. Cuando las dos olas de las dos hendiduras llegan a alguna posición en el tope trasero, salvo justo en el medio habrán recorrido diferentes distancias desde las hendiduras. Esto significa que su “ondulación” puede no estar sincronizada.

La figura de la derecha muestra dos ondas totalmente “desfasadas” entre sí. Su suma es siempre cero. Esto es básicamente lo que está sucediendo en los mínimos en el patrón de interferencia.
La figura de la derecha muestra las dos olas en fase. La onda total es la suma de las dos. Esto es lo que está ocurriendo al máximo en el patrón de interferencia.

El experimento de dos rendijas para la luz

En la antigua Grecia había una polémica sobre la naturaleza de la luz. Euclides, Ptolomeo y otros pensaban que la “luz” era una especie de rayo que viaja del ojo al objeto observado. Los atomistas y Aristóteles asumieron lo contrario. Casi 800 años después de Ptolomeo, alrededor del 965 d. C., en Basora en lo que hoy es Irak, Abu Ali al-Hasan Ibn al-Haytham (Alházen) resolvió la controversia con un argumento inteligente. Dijo que si miras al Sol durante mucho tiempo te quemarás los ojos: esto solo es posible si la luz viene del Sol a nuestros ojos, no al revés.

En 1672 estalló otra controversia sobre la naturaleza de la luz: Newton argumentó que la luz era una especie de partícula, por lo que la luz del sol llega a la tierra porque estas partículas podían viajar a través del vacío. Hooke y Huygens argumentaron que la luz era una especie de onda. En 1801 Thomas Young puso la materia a prueba experimental haciendo un experimento de doble rendija para la luz. El resultado fue un patrón de interferencia. Así, Newton se equivocó: la luz es una onda. La figura muestra un resultado real del experimento de doble rendija para la luz.

Por supuesto, no hemos dicho nada sobre lo que es “ondear” o en qué medio está ondeando. Pero, en términos de nuestra definición operativa es claro que la luz es una ola de algo.

Pistones Electron

Un cañón de electrones, como en un tubo de imagen de televisión, genera un haz de electrones. En esta sección discutimos cómo funciona. Estos detalles no son importantes para nuestro propósito principal aquí, por lo que puede saltar a la siguiente sección haciendo clic aquí.

Un diagrama de un cañón de electrones aparece a la derecha. Hay dos placas metálicas verticales; la placa derecha tiene un pequeño agujero cortado en ella. Una fuente de voltaje, indicada por V, mantiene una tensión a través de las placas, con la placa izquierda negativa y la placa derecha positiva. Cuando se calienta una placa metálica, un proceso llamado emisión termiónica literalmente hierve electrones de la superficie del metal. Normalmente los electrones solo lo hacen a una fracción de milímetro de distancia; esto se debe a que cuando el electrón se desprendió de la superficie del metal, dejó esa parte de la placa con una carga eléctrica neta positiva que tira del electrón de regreso a la placa.

En la figura, estamos calentando la placa de la izquierda por lo que los electrones termiónicos serán hervidos de la superficie. Pero debido a que la diferencia de voltaje se mantiene a través de la placa, los electrones que se desprenden entre las dos placas no vuelven a caer dentro de la placa, sino que son atraídos hacia la placa positiva de la derecha. La mayoría de los electrones chocan contra la placa positiva, como se muestra. No obstante, el electrón en el medio se habría estrellado contra la placa excepto que hemos cortado un agujero en esa parte de la misma. Entonces obtenemos un haz de electrones de este “cañón de electrones”.

En los cañones de electrones reales, como en la parte posterior de un tubo de imagen de TV, la placa negativa no se calienta con una fogata como en nuestra figura. En cambio, un pequeño filamento de alambre tiene una corriente que pasa a través de él. El filamento se calienta, se ilumina de color rojo y calienta la placa negativa. Es posible que hayas visto ese resplandor rojo en la parte trasera de un tubo de imagen de TV.

Controlamos la velocidad de los electrones en el haz con el voltaje, y el número de electrones por el calor que hacemos la placa cargada negativamente.

Un pequeño punto más. Debido a que el agujero en la placa derecha no es de tamaño cero, los electrones pueden emerger en direcciones ligeramente alejadas de la perfectamente horizontal. Así, el haz de electrones tenderá a “rociar” algo.

A partir de ahora pondremos el cañón de electrones en una caja negra, y representaremos el haz de electrones que viene de él como se muestra a la derecha.

El experimento de dos rendijas para electrones

En la sección anterior discutimos cómo producir un haz de electrones a partir de un cañón de electrones. Aquí colocamos el cañón de electrones dentro de un tubo de vidrio al que se le ha evacuado todo el aire. La pantalla de vidrio de la mano derecha tiene su interior recubierto con un fósforo que producirá una pequeña ráfaga de luz cuando un electrón la golpea. En un tubo de imágenes de TV, por ejemplo, los campos dirigen el haz de electrones a la ubicación deseada, las intensidades de los electrones varían dependiendo de dónde estemos dirigiendo el haz, y nuestras mentes y/o ojos interpretan los destellos como la imagen que estamos viendo en la televisión.

Propiedad	Valor
Masa	9.11 × 10 ^-31 kg
Carga eléctrica	1.60 × 10 ^-19 Coulombs
Momento angular de giro	5.28 × 10 ^-35 Julios-segundos

Ahora, “todo el mundo sabe” que los electrones son partículas. Tienen una masa bien definida, carga eléctrica, etc. Algunas de esas propiedades están listadas a la derecha. Las olas no tienen masas bien definidas etc.

Cuando un electrón sale del cañón de electrones, una fracción de segundo después aparece un destello de luz en la pantalla indicando dónde aterrizó. Una ola se comporta de manera diferente: cuando una ola sale de la fuente, se extiende distribuyendo su energía en un patrón como se discutió al inicio de este documento.

Excepto, cuando colocamos dos hendiduras en el camino de los electrones, como se muestra, ¡en la pantalla vemos un patrón de interferencia! De hecho, lo que vemos en la pantalla se ve idéntico al patrón de interferencia de doble hendidura para la luz que vimos antes.

Si esto te parece muy misterioso, no estás solo. Entender lo que está pasando aquí es en cierto sentido equivalente a entender la Mecánica Cuántica. No entiendo la Mecánica Cuántica. Feynman admitió que nunca entendió la Mecánica Cuántica. Puede ser cierto que nadie puede entender la Mecánica Cuántica en el sentido habitual de la palabra “entender”.

Ahora ampliaremos nuestra comprensión de nuestra falta de comprensión. Una posibilidad sobre los orígenes del patrón de interferencia es que los electrones que atraviesan la hendidura superior interactúan de alguna manera con los electrones que pasan por la hendidura inferior. Tenga en cuenta que no tenemos idea de lo que podría ser tal mecanismo, pero estamos un poco desesperados por entender lo que está pasando aquí. Podemos explorar esta idea desacelerando la velocidad de los electrones del cañón para que solo un electrón a la vez esté en el sistema. Lo que hacemos es disparar un electrón, ver dónde ocurre el destello de luz en la pantalla de fósforo, esperar un rato a que todo se asiente, luego disparar otro electrón, observando dónde aterriza en la pantalla.

Después de haber disparado una gran cantidad de electrones, descubriremos que la distribución de electrones sigue siendo el patrón de interferencia.

He preparado una pequeña animación Flash que simula este resultado. Puedes acceder a la animación haciendo clic en el botón rojo a la derecha. El tamaño del archivo es de 6.4k. Puedes obtener el Flash Player gratis en http://www.macromedia.com/; nuestra animación es para la versión 5 o posterior del reproductor.

Quizás desee saber que en la animación, la posición del electrón se genera aleatoriamente utilizando una técnica de Montecarlo. Así, si “rebobinas” la animación para iniciarla de nuevo, es casi seguro que la acumulación del histograma no será idéntica a la anterior “prueba”.

Concluimos que cualquier cosa que esté ocurriendo para causar el patrón de interferencia no involucra dos o más electrones interactuando entre sí. Y sin embargo, con un electrón a la vez en el sistema, con ambas rendijas abiertas hay lugares en la pantalla donde los electrones no van, aunque con una sola rendija abierta algunos electrones sí terminan en esa posición.

Ahora, para obtener un patrón de interferencia tomamos una onda, la dividimos en dos partes, enviamos cada parte a través de una de las hendiduras, y luego recombinamos las ondas. ¿Significa esto que un solo electrón de alguna manera está atravesando ambas rendijas a la vez? Esto también es susceptible de prueba experimental.

El resultado de hacer la prueba resulta ser independiente de los detalles de cómo se realiza el experimento, así que imaginaremos un arreglo muy sencillo: colocamos una bombilla detrás de las hendiduras y miramos para ver qué está pasando. Tenga en cuenta que en un experimento real, la bombilla tendría que ser más pequeña que en la figura y metida más apretadamente detrás de las rendijas para que los electrones no colisionen con ella.

Veremos un pequeño destello de luz cuando un electrón pase por las rendijas.

Lo que vemos es que cada electrón está actuando completamente “normal”: la mitad de los electrones están pasando por la hendidura superior, la mitad van por la hendidura inferior, y que va a ser el caso de un electrón dado parece ser aleatorio. Aquí se puede ver una pequeña animación gif (24k) de lo que podríamos ver en este experimento.

Pero mientras tanto, tenemos a un colega viendo los destellos de luz en la pantalla recubierta de fósforo que dice “¡Oye, el patrón de interferencia acaba de desaparecer!” Y de hecho la distribución de electrones en la pantalla ahora es exactamente la misma que la distribución de balas de ametralladora que vimos arriba. La figura a la derecha es lo que nuestro compañero ve en la pantalla.

Evidentemente, cuando miramos lo que sucede en las rendijas provocamos un cambio cualitativo e irreversible en el comportamiento de los electrones. Esto suele llamarse el “Principio de Incertidumbre de Heisenberg”.

Todo el mundo siempre ha sabido que hacer cualquier medición en cualquier sistema provoca una perturbación en el sistema. El paradigma clásico ha sido que al menos en principio la perturbación puede minimizarse hasta el punto de que sea insignificante.

¿Es posible minimizar la perturbación causada por la bombilla? Podemos bajar la intensidad de la luz que está emitiendo. Sin embargo, si lo intentamos, justo en el punto en que la luz se está volviendo tan débil que nos faltan algunos de los electrones, ¡el patrón de interferencia comienza a regresar! De hecho, si la intensidad de la luz es, digamos, tal que nos falta la mitad de los electrones, tenemos la mitad de un patrón de interferencia y la mitad de una distribución de partículas. Entonces este intento de minimizar la perturbación no funcionó: todavía no sabemos qué está pasando en las rendijas cuando vemos el patrón de interferencia.

Hay otra manera de minimizar la perturbación. La luz contiene energía, y resulta que si aumentamos la longitud de onda de la luz, hacia el infrarrojo, la energía de cada parte de la luz baja. Quizás si disminuimos la energía en la luz no la estaremos dispersando de los electrones tan violentamente. Entonces, comenzamos a aumentar la longitud de onda de la luz emitida por la bombilla. Seguimos viendo todos los electrones, y al principio siempre vemos que la mitad de ellos están pasando por la hendidura superior y la mitad van por la hendidura inferior.

Sin embargo, nuestra capacidad para resolver dos posiciones en el espacio mirando depende de la longitud de onda de la luz con la que estamos viendo. Y justo en el punto en que la longitud de onda de la luz de la bombilla se vuelve tan grande que aunque podemos ver los electrones no podemos decir por qué hendidura pasaron, el patrón de interferencia vuelve.

Un estudiante alguna vez comentó que deberíamos hacer un experimento “mejor”. El Principio de Incertidumbre de Heisenberg dice que un experimento tan mejor no existe. Einstein en particular dedicó mucho tiempo tratando de idear una medida tan mejor; todos sus intentos fracasaron.

La conclusión de todo esto es que no existe ningún experimento que pueda decirnos qué están haciendo los electrones en las rendijas que no destruye también el patrón de interferencia. Esto parece implicar que no hay respuesta a la pregunta de qué está pasando en las rendijas cuando vemos el patrón de interferencia. El camino del electrón desde el cañón de electrones a la pantalla no es cognoscible cuando vemos el patrón de interferencia. Como dijo Heisenberg, “El camino [del electrón] viene a existir sólo cuando lo observamos”.

Estaremos discutiendo interpretaciones de lo que todo esto puede significar con gran detalle más adelante. Por ahora voy a mencionar brevemente una interpretación “estándar” si es incompleta. Si pensamos que la probabilidad de dónde está el electrón en el espacio es una onda, entonces cuando no miramos la onda de probabilidad tiene dos piezas en las hendiduras, lo que representa el hecho de que hay un 50% de probabilidad de que el electrón pasara por la hendidura superior y un 50% de probabilidad de que pasara por la hendidura inferior. Estas dos ondas de probabilidad de las dos hendiduras, entonces, se recombinan en la pantalla y provocan el patrón de interferencia.

Cuando miramos, “colapsamos el estado” en un 100% de probabilidad pasó por una hendidura y un 0% de probabilidad pasó por la otra. Y en esta circunstancia las dos ondas de probabilidad para las dos hendiduras no pueden entonces recombinarse en la pantalla para provocar un patrón de interferencia: para cada electrón solo hay una onda de probabilidad distinta de cero.

Finalmente, entonces, tenemos dos modelos contradictorios pero complementarios del experimento de dos rendijas para electrones. En un modelo el electrón es una partícula que de alguna manera exhibe un patrón de interferencia. En el otro modelo, el electrón es una onda que de alguna manera se manifiesta como una partícula cada vez que la miramos.

Se puede acceder a una animación Flash de estos dos modelos, ambos incompletos, haciendo clic en el botón rojo a la derecha. El tamaño del archivo es de 23k y aparecerá en una ventana separada.

Referencias

• Richard Feynman, El carácter de la ley física (MIT, 1965), Capítulo 6
• Richard P. Feynman, Robert B. Leighton y Matthew Sands, Las conferencias de Feynman sobre física (Addison-Wesley, 1963), Vol III, Capítulo 1