13.7: Partícula en una caja bidimensional

Aprendimos al resolver la ecuación de Schrödinger para una partícula en una caja unidimensional que existe un conjunto de soluciones, los estados estacionarios, para los cuales la dependencia del tiempo es solo un factor de fase rotativo general, y estas soluciones corresponden a valores definidos de la energía. Una forma alternativa de encontrar ese conjunto de soluciones es la separación de variables. La estrategia básica es asumir que la solución a la ecuación de onda puede ser factorizada en un producto de dos funciones, una dependiendo únicamente del tiempo, la otra de la variable espacial,

\[\Psi(x,t) = \psi(x)\varphi(t)\]

Si esta solución se sustituye en la ecuación de Schrödinger, y el resultado se divide por\(\Psi(x,t)\), encontramos

\[ i \hbar \dfrac{\dfrac{\partial \phi(t)}{\partial t}}{\phi(t)} = \dfrac{- \dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2} + V(x)\psi(x)}{\psi(x)}\]

Al escribir la ecuación en esta forma, es claro que el lado izquierdo es solo una función de\(t\), no de\(x\), y el lado derecho es solo una función de\(x\)! Esto sólo puede tener sentido si de hecho ambas partes son la misma constante. Si denotamos esta constante por\(E\), podemos escribir dos ecuaciones:

\[ i \hbar \dfrac{\partial \phi(t)}{\partial t} = E \phi(t)\]

\[- \dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2} + V(x)\psi(x) = E \psi(x)\]

La solución a la primera ecuación solo da la dependencia del tiempo de fase,

\[\varphi(t) = A e^{-iEt/k}\]

y el segundo es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo como antes. Las soluciones a esta ecuación están determinadas por las condiciones límite sobre\(ψ\), en general existe una secuencia de dichos autoestados etiquetados por un número cuántico n = 0,1,2,3,..., con los valores correspondientes\(E_0\),\(E_1\),..., que se ponen en el correspondiente\(\varphi(t)\).

Una caja bidimensional

Consideremos ahora la ecuación de Schrödinger para un electrón confinado a una caja bidimensional,\(0 < x < a\) y\(0 < y < b\). Es decir, dentro de este rectángulo la función de onda electrónica se comporta como una partícula libre (\(V(x,y) = 0\)), pero las paredes son impenetrables por lo que la ondulación\(\Psi(x,y,t)=0\) en las paredes. ¿Cómo esperamos que se vea la función de onda?

Primero note que el truco de separación de variables dado anteriormente para una dimensión funciona igual de bien aquí, escribiendo

\[ \Psi(x,y,t) = \psi(x,y) \varphi(t)\]

da

\[ i \hbar \dfrac{\partial \phi(t)}{\partial t} = E \phi(t)\]

\[- \dfrac{\hbar^2}{2m} \left (\dfrac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2} + \dfrac{\partial ^2 \psi(x)}{\partial y^2} \right) = E \psi(x)\]

Lo sorprendente en este punto es que podemos volver a hacer el truco de separación de variables —podemos escribir

\[\psi(x,y) = f(x)g(t)\]

y sustituir en la ecuación anterior para encontrar

\[- \dfrac{\hbar^2}{2m} \left (\dfrac{\dfrac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2}}{f(x)} + \dfrac{\dfrac{\partial ^2 g(x)}{\partial y^2}}{g(y)} \right) = E \]

Nuevamente, tenemos una ecuación en la que solo un término es dependiente de x, por lo que debe ser una constante (que tomamos como negativa para conveniencia futura),

\[\dfrac{\dfrac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2}}{f(x)} = -C\]

por lo

\[\dfrac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2} = -C f(x)\]

Esta es exactamente la misma ecuación que tratamos en el caso unidimensional, así que sabemos

\[ f(x) = A \sin \dfrac{n\pi x}{a}\]

con\(n\) un entero, y la constante\(C\) es igual a\(n^2π^2/a^2\). De ahí que los niveles de energía en este pozo rectangular estén dados por

\[ E_n = \dfrac{\hbar^2}{2m} \left( \dfrac{n_x^2\pi^2}{a^2} +\dfrac{n_y^2\pi^2}{b^2} \right)\]

con\(n_x\) y\(n_y\) son los dos números cuánticos necesarios para etiquetar cada estado.

Las primeras distribuciones de probabilidad agradables para una partícula en un cuadro 2D se pueden ver a continuación.

wiki.page("Visualizations_and_Simulations/CalcPlot3D/Probability_Wave_Function")

Figura\(\PageIndex{1}\): Visualización de la probabilidad de una partícula en una caja 2D. Los números cuánticos (\(n_x\)y\(n_y\)) se pueden variar en la parte superior izquierda.

Degeneración

Se dice que dos funciones de onda distintas son degeneradas si corresponden a la misma energía. Si los lados a, b del rectángulo son tales que a/b es irracional (el caso general), no habrá degeneraciones. El caso más degenerado es el cuadrado, a = b, para lo cual claramente\(E_{m,n} = E_{n,m}\). Las degeneraciones en la física cuántica suelen asociarse con simetrías de esta manera.

Figura\(\PageIndex{2}\): Contornos de la\(n_y=3\) función\(n_x=2\) y onda (izquierda)\(n_x=3\) y y\(n_y=2\) función ondulada (derecha).

Damos aquí ejemplos de ondulaciones (3,2) y (2,3) para un rectángulo. Estos son mapas de contorno para la solución independiente del tiempo, siendo el blanco el punto más alto. Estas dos ondulaciones no corresponden a la misma energía, aunque serían, por supuesto, por un cuadrado.

Colaboradores y Atribuciones

• Michael Fowler (Beams Professor, Department of Physics, University of Virginia)