13.10: Mecánica cuántica- Guía de una persona pobre

La función de onda

La observación del mundo nos permite saber que algo muy extraño está pasando. El Experimento de Doble Abertura es el experimento prototípico de la Física Cuántica. Guiados por este experimento y otros similares, se ha desarrollado una teoría matemática, llamada Teoría Cuántica, para dar resultados que concuerdan con nuestras observaciones; la “rareza” que encontramos en la Naturaleza se refleja en la forma en que se construye la Teoría Cuántica. Va un poco así.

El estado de un sistema físico se describe mediante una “función de onda”, generalmente denotada por el símbolo.. En casos particulares, sabremos más o menos exactamente qué función es esta - por ejemplo, un seno o un coseno, una expresión cuadrática, etc. Esta función de onda puede depender del tiempo, coordenadas espaciales, etc. La Teoría Cuántica nos dice que para hacer cálculos sobre mediciones reales que podrían hacerse en el sistema, debemos tomar el cuadrado de la función de onda. El valor así obtenido nos dará la probabilidad de obtener, a través de la medición en el sistema, un valor particular de la cantidad que nos interesa. Esperaríamos que una teoría de la Física Clásica nos diera un valor exacto de la cantidad que nos interesaba; aquí, sin embargo, lo mejor que podemos hacer es calcular una probabilidad de obtener el valor. La función de onda también se llama Amplitud de Probabilidad, por esta razón.

Por ejemplo, si, sobre la base de nuestro conocimiento de las condiciones en las que una partícula podría encontrarse (en una caja, con un campo magnético, por ejemplo) sabíamos anotar la función de onda de la partícula; y digamos que esta función de onda dependía de su posición (llamarlo x) y del tiempo medido desde alguna hora de inicio (llamar a eso t). En ese caso, escribiríamos su función de onda como (x, t). x podría tomar cualquier valor de posición que pudiera alcanzar la partícula. Si entonces, quisiéramos saber la oportunidad, o probabilidad, de encontrar la partícula a un valor particular de x, digamos x = 45 cm, en un momento determinado de, digamos 7 segundos, la Teoría Cuántica nos dice que la respuesta es (45,7) ². Obsérvese que esto es muy diferente a la Física Clásica; ahí, podríamos saber que la “ecuación de movimiento” de la partícula era, por ejemplo x = 6 t; entonces la respuesta a nuestra pregunta sería que la posición de la partícula en el tiempo 7 segundos, sería exactamente x = 42 cm.

Ahora veamos la extraña manera en que la Teoría Cuántica hace sus cálculos sobre el mundo. Supongamos que tenemos un experimento sobre un proceso físico que puede ocurrir de más de una manera, y conocemos la Amplitud de Probabilidad (o función de onda) para cada vía. Para calcular qué resultados esperaríamos en un experimento que no distinga de qué manera ocurre realmente, primero tenemos que agregar las Amplitudes de Probabilidad; luego cuadramos el resultado de esta adición para obtener la respuesta para comparar con la medición. Si, por otro lado, el experimento sí distingue qué camino sucede realmente, cuadramos las Amplitudes de Probabilidad antes de sumarlas. Para ver cómo funciona esto, veamos el Experimento de Doble Abertura para electrones.

El experimento de doble rendija de nuevo

Supongamos que 1 es la Amplitud de Probabilidad para el electrón que pasa por una hendidura, y 2 es la Amplitud de Probabilidad para su paso por la otra hendidura; luego la Amplitud de Probabilidad para calcular los resultados de un experimento que no determina a través de que hendidura va el electrón (llamarlo Experimento I) se escribe como I = 1 + 2. [Esto se llama una “superposición (lineal) de estados probables"]. Ahora bien, si queremos hacer un cálculo teórico de los resultados de un experimento real que podríamos llevar a cabo (por ejemplo, la distribución de los electrones en la pantalla detectora), tenemos que tomar el cuadrado de esta Amplitud de Probabilidad total, es decir I ² = {1 + 2} ². Multiplicando, este resultado se puede escribir como I ² = 1 ² + 2 ² + 2 1 2 . (En esta formulación no del todo correcta, ₁ puede ser igual a - ₂).

Supongamos que tenemos una configuración que tiene ranuras de igual tamaño, ubicadas a la misma distancia de la fuente de electrones, entonces la probabilidad de que el electrón pase por la rendija número 1 es igual a la probabilidad de que pase por la ranura número 2. Expresamos este hecho escribiendo 1 ² = 2 ² = 0.5 (o 50%).

Entonces: O bien 1 = + 2 y el resultado es 1 (o 100%);
O 1 = ^- 2, y el resultado es 0 (o 0%).

Para el Experimento de Doble Abertura, esto es obviamente (??) un cálculo del patrón de interferencia, con sus máximos (1, en algunas unidades arbitrarias) y mínimos (0) que observamos. Sin embargo, si nuestro experimento tiene algún medio para detectar, incluso en principio, qué agujero atraviesa el electrón (Experimento II), el resultado de este experimento debe escribirse como II ² = 1 ² + 2 ². Esto es claramente (??) el caso en el que no se observen interferencias.

Así, la Teoría Cuántica ha logrado llegar a una receta para dar cálculos que coincidan con las observaciones que hacemos sobre este extraño mundo en el que vivimos.

¿Qué podemos decir de la función de onda (Amplitud de Probabilidad) del electrón después de que haya pasado por el sistema de hendidura, pero justo antes de mirarlo para decidir por qué hendidura pasó? En este caso, la Naturaleza nos dice que debemos escribir su función de onda como. = 1 + 2, como se explicó anteriormente. Pero si hacemos una medición para determinar por qué hendidura pasó el electrón, sabemos que debemos obtener el resultado 1 (si pasó por la rendija número 1) O 2 (si pasó por la hendidura número 2). Entonces decimos que la función de onda se ha derrumbado hasta su valor final.

¿Qué es un electrón?

Según Schrödinger, el electrón puede ser representado por una función de onda, que contiene toda la información que podemos conocer sobre la partícula. Si un electrón se parece a algo con lo que estamos familiarizados (¡y no lo hace!!) , se acerca más a un pequeño “paquete” de ondas confinadas a una región del espacio x. Esta función de onda obedece a una ecuación de onda escrita primero por Schrödinger. El cuadrado de la función de onda da la probabilidad de encontrarla en un lugar (y tiempo) dados.

(NOTA MATÁTICA: Para representar tal función, necesitamos una superposición de muchas formas de onda, con una “dispersión” de longitudes de onda. Dado que p = h/ esto implica un diferencial correspondiente en el impulso; esto puede calcularse para ser p = h/ x - como podríamos haber esperado del Principio de Incertidumbre de Heisenberg).

El gato de Schrödinger (¿o la luna está ahí cuando nadie mira?)

Por analogía, en el caso del gato de Schrödinger, el estado del gato antes de abrir la caja es:
gato = vivo + muerto. Si hemos diseñado el experimento para que haya igual probabilidad de encontrar al gato vivo o muerto, debemos tener vivo ² = muerto ². Cuando abrimos la caja, ya que el gato debe estar vivo O muerto, la función de onda total, gato debe estar O = vivo O = muerto; no sabemos cuál antes de abrir la caja. No obstante, parece que justo antes de abrir la caja, el gato NO está vivo NI muerto, ¡sino una superposición de los dos estados! ¡Solo intenta decírselo a tu abuela!

Las Implicaciones de la Cuántica

La Física Cuántica nos obliga a concluir que:
a. no hay certezas, solo probabilidades - y el futuro es impredecible.
b.Las propiedades físicas no tienen realidad objetiva independiente del acto de observación O el acto de medición puede, en principio, actuar instantáneamente a través de enormes distancias (es decir, existen interacciones no locales). (Teorema de Bell y los experimentos de Aspect et al. )