13.14: Experimento Stern-Gerlach

Esta página resume el experimento clásico de Stern-Gerlach sobre “espín” y extiende el tratamiento a una discusión de experimentos de correlación. Como suele ser el caso, construyo la máxima complejidad a medida que examino los detalles experimentales, y luego los escondo en una 'caja'. Esta vez la caja resultará literal.

Aquí nos concentramos en los electrones, que tienen sólo dos estados de giro. También mencionamos fotones, que también tienen dos estados espín. El enfoque se basa en gran medida en uno de Feynman que utilizó para objetos con tres estados de giro: véase R.P. Feynman, R.B. Leighton y M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol III, Capítulo 5 para esta discusión.

Objetos giratorios cargados clásicos

Comenzamos considerando una bola cargada macroscópica que se lanza entre los polos de un imán. Si la pelota no está girando, una “bola de nudillos” a un fanático del béisbol, no se desviará. Sin embargo, si está girando se desviará como se muestra:

Ignoramos:

• La forma rara de las piezas del polo magnético.
• El hecho de que habrá deflexiones horizontales. Éstas se pueden cancelar poniendo un campo eléctrico perpendicular al plano de la trayectoria del balón.

Para el caso que se muestra arriba, la figura de la derecha muestra el giro de la carga. Llamaremos a esta orientación “spin up” ya que es desviada por los imanes. La cantidad total de deflexión es una función de

• La cantidad total y distribución de la carga eléctrica en el balón.
• La orientación y la velocidad de giro. A medida que aumenta la velocidad de giro, también lo hace la deflexión. A medida que el eje del giro se vuelve más vertical, esa cantidad de deflexión también aumenta.

Por el contrario, un electrón de “spin down” tendría su giro orientado como se muestra a continuación:

Tal objeto es desviado hacia abajo por los imanes.

Todo lo anterior es solo electricidad y magnetismo clásicos del siglo XIX.

El giro del electrón

Si el haz del cañón de electrones se dirige a los imanes, como se muestra a la derecha, el haz se divide en dos partes. La mitad de los electrones en el haz son desviados hacia arriba, la otra mitad fueron desviados hacia abajo. La cantidad de desviación hacia arriba o hacia abajo es exactamente la misma magnitud. Si un electrón individual se desvía hacia arriba o hacia abajo parece ser aleatorio. Stern y Gerlach hicieron una versión de este experimento en 1922.

Esto es muy misterioso. Parece que el “giro” de los electrones viene en sólo dos estados. Si asumimos, correctamente, que la velocidad de giro, carga total y distribución de carga de todos los electrones es la misma, entonces evidentemente la magnitud del ángulo que hace el eje de giro con la horizontal es la misma para todos los electrones. Para algunos electrones, el eje de giro es lo que estamos llamando “spin up”, para otros “spin down”.

Debes tener cuidado con el término “giro”. Si uno usa el “radio clásico del electrón” y el momento angular total conocido del electrón, ¡es fácil calcular que un punto en el ecuador del electrón se mueve a aproximadamente 137 veces la velocidad de la luz! Así, aunque seguiremos usando la palabra “giro”, es realmente una taquigrafía de “momento angular intrínseco”.

Construyendo un filtro de giro

Como se prometió al principio, ahora hacemos que la situación sea un poco más compleja. Considere el arreglo que se muestra a la derecha:

Tenga en cuenta que la polaridad del imán medio más largo se invierte de los otros dos. También hemos trazado el camino de un objeto “spin up”. Cuando el objeto emerge de los imanes va en la misma dirección que antes de que entrara en ellos con la misma velocidad.

Una animación Flash de este caso se puede ver haciendo clic aquí.

El camino de un objeto “spin down” es:

Para un haz de electrones, la mitad seguirá el camino superior mientras que la otra mitad seguirá el camino inferior:

Por último, imaginamos poner un pequeño bloque de plomo en el camino de los electrones “spin down”.

Aquí, la mitad del haz incidente, los electrones spin-down, serán detenidos dentro del aparato, mientras que todos los electrones spin-up emergerán en la misma dirección que antes de que entraran en los imanes y a la misma velocidad. Así se trata de un “filtro” que selecciona electrones spin-up.

Ahora, de nuevo como se prometió, simplificamos tomando los tres imanes y el tope del haz y lo metemos en una caja. En la figura también hemos incluido un cañón de electrones que dispara un haz de electrones a la caja. Entonces emergerá la mitad del haz incidente de electrones. Será importante notar que hemos pintado una flecha en la parte frontal de la caja para indicar qué dirección es “arriba”. Aún no se puede ver, pero también hay una flecha apuntando en la misma dirección en la parte posterior de la caja.

Uso del filtro de giro

Tenga en cuenta que la mitad del haz incidente de electrones en el filtro emerge de la caja, mientras que la otra mitad no. Esto es independiente de la orientación del filtro; en todas las orientaciones que se muestran a continuación emergen la mitad de los electrones incidentes, mientras que la otra mitad no.

Evidentemente, la dirección de “arriba” se define por la orientación del filtro que realiza la medición. Esto a veces se llama cuantificación espacial, término que no me gusta.

Ahora ponemos un segundo filtro detrás del primero con la misma orientación. El segundo filtro no tiene ningún efecto. La mitad de los electrones del cañón de electrones emergen de la primera caja, y todos esos electrones pasan a través del segundo filtro. Entonces, una vez que “up” es definido por el primer filtro, es lo mismo que el “up” definido por el segundo.
Ahora ponemos el segundo filtro detrás del primero y al revés relativo al primero. Como siempre, la mitad del haz de electrones del cañón de electrones emerge del primer filtro, y ninguno de esos electrones emerge del segundo filtro. Entonces, evidentemente una vez que el primer filtro define “arriba” esa definición es la definición del segundo filtro de “abajo”.
Aquí hay otra orientación para el segundo filtro, esta vez orientada a 90° con relación al primero. Para repetir una vez más, la mitad del haz de electrones del cañón de electrones emerge del primer filtro. Resulta que la mitad de esos electrones pasan por el segundo filtro. Entonces, si tenemos dos definiciones de “arriba” a partir de dos filtros en ángulo recto entre sí, la mitad de los electrones satisfará ambas definiciones.

Si giramos lentamente la orientación del segundo filtro con respecto al primero de cero grados a 180 grados, la fracción de los electrones que pasaron por el primer filtro que pasan por el segundo filtro va continuamente de 100% a 0%.

Nota técnica: si el ángulo relativo es A, el porcentaje es 100 cos ² (A/2).

Todo lo anterior puede recordarle a los filtros polaroides para la luz. La mitad de un haz de luz de, digamos, una lámpara incandescente pasará a través de dicho filtro. Si se coloca un segundo filtro detrás del primero con la misma orientación, toda la luz del primer filtro pasa por el segundo (al menos en el caso de filtros polaroides perfectos). Aquí aparece un breve resumen de la polarización de la luz.

Si la orientación relativa de los dos filtros polaroides para la luz es de 90°, entonces no emerge luz del segundo filtro. Esto corresponde al caso anterior para los filtros de electrones cuando la orientación relativa es de 180°.

Si la orientación relativa de los dos filtros polaroides para la luz es de 45°, la mitad de la luz del primer filtro emergerá del segundo. Esto corresponde al caso anterior para los filtros de electrones cuando la orientación relativa es de 90°.

Se concluye que la única diferencia entre los filtros de electrones y de luz es un factor de 2 en las orientaciones relativas. Así, a menudo llamamos a los filtros de electrones “polarizadores”.

Aquí hay un ejemplo final de combinación de filtros de electrones. La mitad del haz del cañón de electrones emerge del primer polarizador; la mitad de esos electrones emergen del segundo filtro. ¡Y la mitad de esos electrones pasarán por el tercer filtro al revés! Tenga en cuenta que si el segundo filtro no estuviera presente, ningún electrón emergerá del filtro al revés. Entonces vemos que el filtro medio realmente cambia la definición de “arriba” para los electrones. Esta es otra manifestación más del Principio de Incertidumbre de Heisenberg.

Se ha preparado una animación Flash de hasta 3 de estos filtros Stern-Gerlach. Requiere Flash 7, y tiene un tamaño de archivo de 130k. Aparecerá en una ventana separada. Para acceder a la animación, haga clic aquí.

Mediciones de correlación

Imaginamos una sustancia radiactiva que emite un par de electrones en cada desintegración. Estos dos electrones van en direcciones opuestas, y se emiten casi simultáneamente. Cuando otro núcleo de la muestra se descompone, otro par de electrones se emiten casi simultáneamente y en direcciones opuestas. Entonces podemos tener una muestra emitiendo estos pares de electrones. A la derecha mostramos dicha muestra, encerrada en un dispositivo de color cobre, y filtros de electrones que miden el giro de cada miembro del par:

Para la sustancia radiactiva que estaremos considerando aquí, la mitad de los electrones que inciden en el filtro de la derecha emergen y la mitad no. De igual manera, la mitad de los electrones que inciden en el filtro de la izquierda emergen y la mitad no.

Pero si miramos la correlación entre estos electrones, encontramos que si, digamos, el electrón de la derecha sí pasa por el filtro, entonces su compañero de la mano izquierda no pasa sus filtros. De igual manera, si el electrón de la derecha no pasa por el filtro, entonces su compañero de mano izquierda siempre emerge de su filtro.

Decimos que cada desintegración radiactiva tiene un espín total de cero: si un electrón es spin up su compañero es spin down. Por supuesto, esto se proporciona que ambos filtros tengan la misma definición de up.

A la derecha se encuentra un caso donde los dos filtros tienen definiciones opuestas de up. Nuevamente, la mitad de los electrones de la derecha pasan a través de su filtro y la mitad de los electrones de la izquierda pasan a través de su filtro. Pero esta vez si un electrón particular de la mano derecha pasa su filtro, entonces su electrón compañero de la mano izquierda siempre pasa por su filtro. De igual manera, si el electrón de la derecha no pasa su filtro, su electrón compañero tampoco pasa a través de su filtro.
Ahora consideramos otro ejemplo más. Los dos filtros definen “arriba” para estar en direcciones perpendiculares entre sí. Si sigues siguiendo este negocio con filtros de electrones, no te sorprenderá saber que: La mitad de los electrones de la derecha emergen de su filtro. La mitad de los electrones de la izquierda emergen de su filtro. Si un electrón particular de la mano derecha pasa su filtro, la mitad de las veces su electrón compañero de la mano izquierda emergerá de su filtro, la mitad de las veces no lo hará.
Este tipo de mediciones se denominan experimentos de correlación. Mostramos una orientación relativa arbitraria de los dos filtros.

Resumimos todo lo anterior diciendo que cuando los dos filtros tienen la misma orientación, la correlación es cero: si el electrón de la derecha pasa su compañero no. Cuando los dos filtros tienen orientaciones opuestas, la correlación es del 100%: si pasa el electrón de la derecha, también lo hace su compañero, mientras que si el electrón de la derecha no pasa, tampoco su compañero. Cuando los dos filtros tienen orientaciones perpendiculares, la correlación es del 50%. Resulta que la correlación va suavemente de cero a 100% ya que la orientación relativa va de 0° a 180°. Para el estudiante matemático, la fórmula real es que la correlación es sin (a /2) al cuadrado, donde a es el ángulo relativo entre los filtros.

Hay sustancias radiactivas que emiten pares de fotones similares a los pares de electrones que hemos sido considerados hasta ahora. Algunas de esas sustancias tienen correlaciones similares a la fuente de electrones que hemos estado considerando, excepto que existe una diferencia de un factor de dos en las orientaciones relativas de los polarizadores. Si los polarizadores de luz tienen la misma orientación, la correlación es cero; esto es lo mismo que para los electrones.

Si los polarizadores de luz tienen una orientación relativa de 90°, la correlación es del 100%: si el fotón de la derecha pasa a través de su polarizador, el fotón compañero pasará por sus polarizadores, mientras que si el fotón de la derecha no pasa, tampoco lo hace su compañero. Esto corresponde al caso de los electrones donde la orientación relativa de los filtros fue de 180°.

De igual manera, si todavía estás siguiendo todo esto, la correlación cuando la orientación relativa de los polarizadores de luz es de 45° es 50%, solo la correlación para electrones con orientaciones relativas de filtro de 90°.

Como veremos estos experimentos de correlación, tanto para electrones como para fotones, se han realizado y resultan darnos información importante sobre la forma en que se arma el mundo. Este es el empuje del teorema de Bell, también conocido a veces como la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen (EPR).