13.17: Dos analogías con el teorema de Bell

Antecedentes

Hay un par de hechos que necesitaremos para nuestra discusión. Uno es de biología humana, y el otro de física.

Temas en el Desarrollo de las Personas

El contexto de nuestra analogía es el debate naturaleza versus nutrir sobre el desarrollo de las personas. Los adherentes a la posición de crianza creen que al nacer los humanos son esencialmente una pizarra en blanco, y que su entorno a medida que crecen y se desarrollan es el único factor que determina las características del individuo. Así, los asuntos de elección de profesión, mate, preferencias musicales, moralidad, etc. son determinados por la sociedad. Los creyentes en la posición de la naturaleza, por otro lado, dicen que la genética es crucial en el desarrollo, y que las características de un individuo se determinan al nacer.

Los datos son bastante claros que tanto la genética como el medio ambiente son aproximadamente igualmente importantes en el desarrollo de un individuo.

Uno de los tipos de estudios que conducen a esta conclusión involucra a gemelos idénticos que fueron separados al nacer. Tales gemelos tienen ADN casi completamente idéntico, y en ocasiones fueron criados en entornos sociales muy diferentes. Sin embargo, a menudo hay fuertes correlaciones entre el comportamiento posterior de tales gemelos: si uno es, digamos, bombero que a menudo el otro también es bombero. Otras características que los gemelos tienden a compartir, aunque se crien en entornos muy diferentes, incluyen características físicas de su elección de pareja, preferencias en la música, y más.

Posteriormente será importante señalar que las correlaciones no son del 100%. El hecho de que un gemelo sea bombero no garantiza que el otro lo sea también. De igual manera, si un gemelo realmente odia la música de Twisted Sister no garantiza que el otro gemelo también desprecie ese tipo de “música”. Sin embargo, las correlaciones son lo suficientemente fuertes como para que sea casi seguro que no surgieron por pura casualidad.

Pares de partículas giratorias en física

La mayoría de las partículas elementales, como electrones, fotones, etc., tienen un momento angular intrínseco que generalmente se llama espín. Para nuestros propósitos, podemos imaginar la partícula como una pequeña bola que está girando alrededor de algún eje. Resulta que el giro de un electrón tiene sólo dos estados, a los que llamamos arriba y abajo. Los orígenes de esta terminología no son importantes para nuestros propósitos aquí. En la figura, el electrón de la izquierda es spin-up y el electrón de la derecha es spin-down.

Es posible construir un “filtro” que seleccione solo electrones spin-up. Nuevamente los detalles de lo que hay en la caja no son importantes para nuestros fines. Lo importante aquí es que la mitad de los electrones del cañón de electrones emergerán del filtro con la misma velocidad en la misma dirección que antes de que entraran en la caja, y la mitad de los electrones no emergerán. Que es el caso de un electrón individual es aleatorio. También querrás notar que hemos pintado una flecha en el costado de la caja para indicar qué dirección es hacia arriba.

El aparato en realidad define la dirección de arriba. Si lo giramos por algún ángulo, nuevamente la mitad de los electrones incidentes emergen del filtro, y que es el caso de un electrón individual es aleatorio.

Existen algunos materiales radiactivos para los cuales cuando un átomo individual decae emite simultáneamente dos electrones en direcciones opuestas. Estos pares de electrones tienen un giro total de cero: si un electrón es spin-up, su electrón compañero es spin-down y viceversa. Tales pares de partículas se denominan pares cuánticos enredados.

La analogía

Comenzaremos asumiendo que la posición nutritiva sobre el desarrollo humano es correcta. Esta suposición significa que esperaríamos que para los gemelos idénticos separados al nacer, cualquier correlación posterior en sus elecciones de profesión, pareja, etc. se deba a similitudes en el entorno en el que se criaron los gemelos. El ambiente de cada gemelo es local para el individuo separado, y estamos asumiendo que este ambiente local causa el comportamiento posterior del individuo. En Física-hablar, llamamos a esta suposición causalidad local.

Hay dos tipos de experimentos de correlación que podemos hacer.

1. Correlaciones en la elección de profesión, o el gusto por la música, o alguna otra característica.
2. Correlaciones de la elección de profesión de un gemelo con el gusto musical del otro gemelo. Se trata de un experimento más sofisticado, y el análisis requerirá más información estadística.

Los estudios de las correlaciones del comportamiento gemelo, entonces, muestran que el supuesto de causalidad local es incorrecto.

También podemos hacer experimentos de correlación para los pares cuánticos de electrones enredados que discutimos anteriormente. La fuente de los pares de electrones entrelazados espín-cero totales se encuentra en el centro de la figura, y los dos electrones de cada decaimiento van en direcciones opuestas.

Tenga en cuenta que los dos filtros tienen orientaciones opuestas.

Resulta que la mitad de los electrones que viajan a la derecha pasan por su filtro y la mitad no, y que es el caso de un electrón individual es aleatorio. De igual manera, la mitad de los electrones que viajan hacia la izquierda pasan por su filtro y la mitad no, y que es el caso de un electrón individual es aleatorio. Sin embargo, cuando examinamos las correlaciones, si el electrón de la derecha pasa a través de su filtro, su electrón compañero de la izquierda también pasa a través de su filtro. Si el electrón de la derecha no pasa por su filtro su electrón de la izquierda acompañante no pasa a través de su filtro. Esto es consecuencia del hecho de que los dos electrones tienen un giro total de cero, por lo que si uno es spin up el otro es spin-down siempre que la dirección de “arriba” sea la misma para ambas mediciones. Aquí la dirección de “arriba” es opuesta para los dos filtros.

Para los gemelos idénticos, las correlaciones en la misma característica como la profesión mostraron que la causalidad local no es cierta en el debate naturaleza vs. nutrir. Sin embargo, esta correlación en espines electrónicos no viola la causalidad local. Esta circunstancia es más análoga a la siguiente:

Vimos cuidadosamente una moneda por la mitad a lo largo de su plano, así que una pieza tiene la “cabeza” y la otra tiene las “colas”. Ponemos cada pieza en un sobre y alejamos los dos sobres el uno del otro. Si abrimos un sobre y vemos unas cabezas, se nos garantiza que la otra pieza contiene una cola.

Sin embargo, cuando colocamos los filtros de electrones en orientaciones distintas a las opuestas vemos correlaciones extrañas. A la derecha tenemos el filtro de la derecha orientado a cero grados, y el filtro de la izquierda inclinado 45 grados.

De hecho, el conflicto con la causalidad local para las correlaciones de espín electrónico enredadas solo aparece cuando configuramos los filtros de la mano derecha e izquierda en diferentes ángulos. Esto es análogo a las mediciones de correlación gemela donde tratamos de correlacionar la profesión de uno con el gusto musical del otro. Las pruebas reales implican orientar los filtros a cero grados, 45 grados y 90 grados.

Exploramos con más detalle cómo surge este conflicto en la siguiente sección.

La Segunda Analogía: Más Cajas

Se encuentra disponible una animación Flash que duplica gran parte de la discusión de esta sección. Requiere Flash 6, y tiene un tamaño de archivo de 78k. Puede acceder a él haciendo clic aquí. Aparecerá en una ventana separada.

Imaginamos una caja, tal como se muestra a la derecha. A pesar de que nadie ha hecho cada una de esas cajas, no hay razón para que no se pueda construir. Tiene una luz roja y verde en la parte superior, y un interruptor que se puede configurar en tres posiciones: 1, 2 y 3. El aparato es autónomo, y tiene baterías en su interior para accionar las luces y cualquier mecanismo que esté dentro.

La caja es un detector, y una de las luces se encenderá cuando una partícula entre en ella desde la izquierda.

Tenemos dos de estos detectores, y los colocamos a ambos lados de algún dispositivo que emite pares de partículas en direcciones opuestas.

Tenemos bazilones de pares de estas partículas que pasan por los detectores, y configuramos las posiciones del interruptor al azar para cada par. Si las cajas miden espín electrónico, entonces los interruptores podrían corresponder a orientar los filtros de espín a cero, 45 y 90 grados, y los pares de partículas podrían ser pares de electrones enredados. Pronto intentaremos construir otro modelo más clásico de lo que se está midiendo, y nos meteremos en problemas con él.

Registramos qué luces parpadean para cada par y cuáles son las posiciones del interruptor. Hay dos casos:

1. Si ambos interruptores en las cajas se establecen en las mismas posiciones, ya sea 1 o 2 o 3, la misma luz parpadea en ambas cajas. O ambas luces rojas parpadean o ambas luces verdes parpadean. La mitad del tiempo ambas luces rojas parpadean, la otra mitad del tiempo ambas luces verdes parpadean.
2. Si los interruptores están establecidos en diferentes posiciones, ambos detectores parpadean del mismo color una cuarta parte del tiempo, ya sea rojo o ambos verdes. La mitad del tiempo cuando ambos colores destellan ambos son rojos, la otra mitad del tiempo ambos son verdes. Tres cuartas partes del tiempo los detectores parpadean de diferentes colores, ya sea rojo a la izquierda y verde a la derecha o verde a la izquierda y rojo a la derecha; en este caso cada una de las dos posibilidades ocurre la mitad del tiempo.

Explicando el Caso 1

Imagina que cuando el interruptor está en la posición 1 mide la velocidad del objeto, cuando está en la posición 2 mide el tamaño, y en la posición 3 mide la forma del objeto.

Posición del interruptor	Medidas	Luz Verde	Luz roja
1	Velocidad	Parpadea cuando la partícula va rápido	Parpadea cuando la partícula va lenta
2	Tamaño	Parpadea cuando la partícula es grande	Parpadea cuando la partícula es pequeña
3	Forma	Parpadea cuando la partícula es una esfera	Parpadea cuando la partícula no es una esfera

Entonces los resultados experimentales son fáciles de explicar:

• Los pares de partículas siempre tienen las mismas velocidades, el mismo tamaño y la misma forma.
• La mitad del tiempo ambas partículas se mueven rápido, la mitad del tiempo ambas se mueven despacio.
• La mitad del tiempo ambas partículas son grandes, la mitad de las veces ambas son pequeñas.
• La mitad del tiempo ambas partículas son esferas, la mitad de las veces no lo son.
• Hay ocho estados diferentes en los que pueden estar los pares de partículas, cada uno con la misma frecuencia:
  1. Grandes esferas rápidas.
  2. Grandes esferas lentas.
  3. Pequeñas esferas rápidas.
  4. Pequeñas esferas lentas.
  5. Grandes no esferas rápidas
  6. Grandes no-esferas lentas
  7. Pequeñas no-esferas rápidas.
  8. Poco lento no-esferas.

¿Qué pasa con el Caso 2?

Hay seis configuraciones de los interruptores que son diferentes.

Para el caso de las grandes esferas rápidas, aquí están los posibles ajustes del interruptor y los resultados:

Interruptor Izquierdo	Luz Izquierda	Interruptor derecho	Luz Derecha
1	Verde	2	Verde
2	Verde	1	Verde
2	Verde	3	Verde
3	Verde	2	Verde
1	Verde	3	Verde
3	Verde	1	Verde

Entonces para este caso todos los ajustes del interruptor terminan con las dos luces verdes parpadeando. Para pequeñas no-esferas lentas, de manera similar, ambas luces rojas parpadearán para las seis posiciones del interruptor. Esperamos que una cuarta parte de los bazillion pares de partículas sean esferas grandes rápidas o pequeñas no-esferas lentas. Hasta ahora tan bueno: el resultado experimental es que las luces parpadean del mismo color una cuarta parte del tiempo.

Pero imagínese el caso de pares de grandes no-esferas rápidas. Aquí están los posibles ajustes del interruptor y los resultados:

Interruptor Izquierdo	Luz Izquierda	Interruptor derecho	Luz Derecha
1	Verde	2	Verde
2	Verde	1	Verde
2	Verde	3	Rojo
3	Rojo	2	Verde
1	Verde	3	Rojo
3	Rojo	1	Verde

Sólo dos de los seis ajustes posibles tienen ambas luces parpadeando del mismo color, verde en este caso. Pero los ajustes del switch se hacen al azar, por lo que esperamos que cada uno de los seis resultados posibles en la tabla anterior se produzca con la misma frecuencia. Entonces ambas luces parpadean del mismo color un tercio del tiempo.

El mismo argumento se puede hacer para los otros cinco pares que no son grandes esferas rápidas o pequeñas no-esferas lentas: ambas luces parpadearán del mismo color un tercio del tiempo.

Imagina que tomamos datos para 24 bazillion pares de partículas. Esperamos que cada uno de los ocho estados posibles de velocidad, tamaño y forma ocurran con la misma frecuencia, por lo que nuestra muestra tendrá 3 pares de bazillion de cada tipo. Luego esperamos los siguientes resultados cuando los conmutadores están establecidos en diferentes posiciones:

Los interruptores están en diferentes posiciones

Tipo	Número	Número de pares para los que las 2 luces parpadean del mismo color	Color	Fracción
grandes esferas rápidas	3 bazillion	3 bazillion	ambos verdes	1
esferas grandes lentas	3 bazillion	1 bazillion	ambos verdes	1/3
pequeñas esferas rápidas	3 bazillion	1 bazillion	ambos verdes	1/3
pequeñas esferas lentas	3 bazillion	1 bazillion	ambos rojos	1/3
no esferas grandes rápidas	3 bazillion	1 bazillion	ambos verdes	1/3
no-esferas grandes lentas	3 bazillion	1 bazillion	ambos rojos	1/3
pequeñas no esferas rápidas	3 bazillion	1 bazillion	ambos rojos	1/3
poco lento no-esferas	3 bazillion	3 bazillion	ambos rojos	1
Total	24 bazillion	12 bazillion	la mitad ambos rojos, la mitad ambos verdes	1/2

Entonces, cuando resumimos los datos de todos los pares de partículas que medimos, no esperaríamos tener diferentes colores parpadeando en los dos detectores una cuarta parte del tiempo, sino la mitad del tiempo. Pero el resultado experimental es de una cuarta parte, no la mitad.

Este ejemplo ha estado pensando en objetos clásicos, lo que equivale a asumir la causalidad local. Así vemos que estas mediciones de correlación violan la causalidad local, exactamente de la misma manera que las mediciones de espín electrónico de pares de electrones enredados violan la causalidad local.

Toda esta sección es una ligera simplificación del análisis de Mermin, que figura en las referencias. Cierro con la conclusión de ese precioso papel:

No voy a describir cómo la teoría física contemporánea da cuenta del comportamiento del dispositivo excepto para señalar que aunque, a su manera, la explicación es muy simple, está lejos de ser obvia, y, algunos podrían argumentar, apenas una explicación en absoluto. En cambio, solo vuelvo a enfatizar que vivimos en un mundo donde se puede construir tal dispositivo; la naturaleza es más extraña y más maravillosa de lo que alguna vez habíamos pensado o podríamos haber imaginado [sic] posible. Reflexiona un poco más sobre el dispositivo si eso parece una conclusión demasiado extrema.

Estudio adicional

Aquí hay algunos documentos sobre el giro de partículas, el teorema de Bell y el debate Naturaleza vs. Nurture que son accesibles para el laico.

Spin

• Un tratamiento no matemático, a cargo del autor de este documento, está disponible en la web en:
  http://www.upscale.utoronto.ca/PVB/Harrison/SternGerlach/SternGerlach.html (html)
  http://www.upscale.utoronto.ca/PVB/Harrison/SternGerlach/SternGerlach.pdf (pdf)
• Una discusión maravillosa que hace un poco de las matemáticas es Richard P. Feynman, Robert B. Leighton y Matthew Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. III, Capítulos 5 - 6, ISBN: 0201500647.

Teorema de Bell

• Un ejemplo brillante, que no es matemático pero sutil, es N.D. Mermin, American Journal of Physics 49, 940 (1981). Muchas instituciones, entre ellas la Universidad de Toronto, cuentan con suscripciones a esta revista por lo que se puede acceder a ellas desde cualquier computadora cuyo número IP corresponda a la institución suscriptora. El American Journal of Physics está disponible en línea en: scitation.aip.org/ajp/
• Una prueba inteligente, utilizando simples diagramas de Venn, es B. d'Espagnat, Scientific American 241, 158 (noviembre de 1979).
• Una analogía de “bola caótica” es C.H. Thompson y H. Holstein, Foundations of Physics Letters 9, 357 (1996), http://www.arxiv.org/format/quant-ph/9611037.
• Un tratamiento mayoritariamente no matemático, del autor de este documento, está disponible en la web en:
  http://www.upscale.utoronto.ca/PVB/Harrison/BellsTheorem/BellsTheorem.html (html)
  http://www.upscale.utoronto.ca/PVB/Harrison/BellsTheorem/BellsTheorem.pdf (pdf)

Naturaleza versus crianza

• Judith Rich Harris, La suposición de la crianza (Prensa libre,1999), ISBN: 0684857073
• Steven Pinker, La pizarra en blanco (Viking, 2002), ISBN: 0670031518