1.3: Discusión de Postulados

Los postulados de la mecánica de onda enumerados en la sección anterior (ojalá, familiares para el lector por sus estudios de pregrado) pueden parecer muy simples. Sin embargo, la física de estos axiomas es muy profunda, lo que lleva a algunas conclusiones contrarias a la intuición, y su discusión en profundidad requiere soluciones de varios problemas clave de la mecánica de las olas. Es por ello que en esta sección daré sólo una discusión inicial, ciertamente superficial, de los postulados, y volveré repetidamente a los fundamentos conceptuales de la mecánica cuántica a lo largo del curso, especialmente en el Capítulo 10.

En primer lugar, la incertidumbre fundamental de los observables, que se encuentra en el núcleo del primer postulado, es muy ajena a las ideas básicas de la mecánica clásica, e históricamente ha hecho que la mecánica cuántica sea tan difícil de tragar para muchos físicos estelares, en particular entre ellos Albert Einstein, a pesar de su trabajo de 1905, que esencialmente lanzó todo el campo! Sin embargo, este hecho ha sido confirmado por numerosos experimentos, y (lo que es más importante) no ha habido un solo experimento confirmado que contradiga este postulado, por lo que la mecánica cuántica se promovió hace mucho tiempo de una hipótesis teórica al rango de una teoría científica confiable.

Una observación más en este contexto es que la ecuación (25) en sí misma es determinista, es decir, permite conceptualmente un cálculo exacto de la distribución de la función de onda en el espacio en cualquier instante\(t\), siempre que su distribución inicial, y el hamiltoniano de la partícula, se conozcan exactamente. Obsérvese que en la mecánica estadística clásica, la distribución de densidad de probabilidad también\(w(\mathbf{r}, t)\) puede calcularse a partir de ecuaciones diferenciales deterministas, por ejemplo, la ecuación de Liouville. \({ }^{31}\)La descripción cuántico-mecánica difiere de esa situación en dos aspectos importantes. Primero, en las perfectas condiciones señaladas anteriormente (la mejor preparación y mediciones del estado inicial posible), la ecuación de Liouville se reduce a la ley\(2^{\text {nd }}\) Newton de la mecánica clásica, es decir, la incertidumbre estadística de sus resultados desaparece. En la mecánica cuántica esto no es cierto: la incertidumbre cuántica, como la descrita por la ecuación (35), persiste incluso en este límite. Segundo, la función de onda\(\Psi(\mathbf{r}, t)\) da más información que solo\(w(\mathbf{r}, t)\), porque además del módulo de\(\Psi\), involucrado en la Ec. (22), esta función compleja también tiene la fase\(\varphi \equiv \arg \Psi\), que puede afectar a algunos observables, describiendo, en particular, interferencia de las ondas de Broglie.

A continuación, es muy importante entender que la relación entre la mecánica cuántica y el experimento, dada por el segundo postulado, implica necesariamente otra noción clave: la del conjunto estadístico correspondiente, en este caso, un conjunto de muchos experimentos realizados al parecer (macroscópicamente) condiciones similares, incluyendo las condiciones iniciales, que sin embargo pueden conducir a diferentes resultados de medición (resultados). De hecho, la probabilidad de un determinado\(\left(n^{\text {th }}\right)\) resultado de un experimento solo puede definirse para un determinado conjunto estadístico, ya que el límite\[W_{n} \equiv \lim _{M \rightarrow \infty} \frac{M_{n}}{M}, \quad \text { with } M \equiv \sum_{n=1}^{N} M_{n},\] donde\(M\) está el número total de experimentos,\(M_{n}\) es el número de resultados del\(n^{\text {th }}\) tipo, y\(N\) es el número de resultados diferentes.

Tenga en cuenta que una elección particular de conjunto estadístico puede afectar las probabilidades de manera\(W_{n}\) muy significativa. Por ejemplo, si sacamos naipes al azar de un paquete estándar de 52 cartas diferentes de 4 trajes, la probabilidad\(W_{n}\) de obtener una determinada carta (por ejemplo, la reina de espadas) es\(1 / 52\). No obstante, si las cartas de cierto palo (digamos, corazones) hubieran sido sacadas de la manada de antemano, la probabilidad de conseguir la reina de espadas es mayor,\(1 / 39\). Es importante que también obtengamos el último número para la probabilidad aunque hubiéramos usado el paquete completo de 52 cartas, pero por alguna razón descartamos los resultados de todos los experimentos dándonos cualquier rango de corazones. De ahí que la definición de conjunto (o su redefinición a mitad del juego) pueda cambiar las probabilidades de resultado.

En la mecánica de olas, con su relación fundamental (22) entre\(w\) y\(\Psi\), esto significa que no solo las probabilidades de resultado, sino la función ondulada misma también pueden depender del conjunto estadístico que estemos usando, es decir, no solo de la preparación del sistema y del configuración experimental, sino también sobre el subconjunto de resultados tomados en cuenta. La atribución a veces contabilizada de la función de onda a un solo experimento, tanto antes como después de la medición, puede conducir a interpretaciones muy poco físicas de los resultados, incluida la evolución de alguna función de onda que no está descrita por la ecuación de Schrödinger (la llamada reducción de paquetes de ondas), acción subluminal sobre la distancia, etc. Más adelante en el curso, veremos que teniendo en cuenta la naturaleza fundamentalmente estadística de la mecánica cuántica, y en particular la

Nótese, sin embargo, nuevamente que la mecánica cuántica estándar, como se discute en los Capítulos 1-6 de este curso, se limita a conjuntos estadísticos con la menor incertidumbre posible de los sistemas considerados, es decir, con el mejor conocimiento posible de su estado. \({ }^{32}\)Esta condición requiere, primero, la preparación inicial menos incierta del sistema, y segundo, su aislamiento total del resto del mundo, o al menos de su parte desordenada (el “ambiente”), en el transcurso de su evolución en el tiempo. Sólo tales conjuntos pueden ser descritos por ciertas funciones de onda. Una discusión detallada de conjuntos más generales, que son necesarios si no se cumplen estas condiciones, se dará en los Capítulos 7,8, y 10.

Finalmente, respecto a la Ec. (23): se puede obtener una mejor sensación de esta definición por su comparación con la definición general del valor de expectativa (es decir, el promedio estadístico) en la teoría de la probabilidad. Es decir, dejar que cada uno de los\(N\) posibles resultados en un conjunto de\(M\) experimentos dé un cierto valor\(A_{n}\) de observable\(A\); luego\[\langle A\rangle \equiv \lim _{M \rightarrow \infty} \frac{1}{M} \sum_{n=1}^{N} A_{n} M_{n}=\sum_{n=1}^{N} A_{n} W_{n} .\] Teniendo en cuenta la Ec. (22), que relaciona\(W\) y\(\Psi\), las estructuras de la Ec. (23) y la forma final de la Ec. (37) son similares. Su relación exacta se discutirá más a fondo en la Sec. 4.1.

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\({ }^{31}\)Véase, por ejemplo, SM Sec. 6.1. la dependencia de las funciones de onda en la definición (o redefinición) de los conjuntos estadísticos, resuelve fácilmente algunas, aunque no todas, paradojas de las mediciones cuánticas.