1.4: Ecuación de continuidad

Los postulados de la mecánica de las olas sobreviven a un chequeo más de cordura: satisfacen el requisito natural de que la partícula no aparezca o desaparezca en el transcurso de la evolución cuántica. \({ }^{33}\)En efecto, usemos la ecuación (22b) para calcular la tasa de cambio de la probabilidad de\(W\) encontrar una partícula dentro de un cierto volumen\(V\):\[\frac{d W}{d t}=\frac{d}{d t} \int_{V} \Psi \Psi^{*} d^{3} r\] Suponiendo por simplicidad que los límites del volumen\(V\) no se mueven, es suficiente para llevar a cabo la diferenciación parcial del producto\(\Psi \Psi *\) dentro de la integral. Usando la ecuación de Schrödinger (25), junto con su complejo conjugado,\[-i \hbar \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t}=(\hat{H} \Psi)^{*}\] obtenemos fácilmente\[\frac{d W}{d t}=\int_{V} \frac{\partial}{\partial t}\left(\Psi \Psi^{*}\right) d^{3} r \equiv \int_{V}\left(\Psi^{*} \frac{\partial \Psi}{\partial t}+\Psi \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t}\right) d^{3} r=\frac{1}{i \hbar} \int_{V}\left[\Psi^{*}(\hat{H} \Psi)-\Psi(\hat{H} \Psi)^{*}\right] d^{3} r\]
Dejar que la partícula se mueva en un campo de fuerzas externas (no necesariamente constantes en el tiempo), de modo que su función hamiltoniana clásica\(H\) sea la suma de la partícula de energía cinética\(T=p^{2} / 2 m\) y su energía potencial\(U(\mathbf{r}, t) .{ }^{34}\) De acuerdo con el principio de correspondencia, y la Ec. (27), el operador hamiltoniano puede ser representado como la suma\(^{35}\),\[\hat{H}=\hat{T}+\hat{U}=\frac{\hat{p}^{2}}{2 m}+U(\mathbf{r}, t)=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \nabla^{2}+U(\mathbf{r}, t) .\] En esta etapa, debemos notar que este operador, al actuar sobre una función real, devuelve una función real. \({ }^{36}\)De ahí que el resultado de su acción sobre una función compleja arbitraria\(\Psi=a+i b\) (donde\(a\) y\(b\) son reales) es\[\hat{H} \Psi=\hat{H}(a+i b)=\hat{H} a+i \hat{H} b,\] donde\(\hat{H} a\) y también\(\hat{H} b\) son reales, mientras que\[(\hat{H} \Psi)^{*}=(\hat{H} a+i \hat{H} b)^{*}=\hat{H} a-i \hat{H} b=\hat{H}(a-i b)=\hat{H} \Psi^{*} .\] Esto significa que la Eq. (40) puede reescribirse como\[\frac{d W}{d t}=\frac{1}{i \hbar} \int_{V}\left[\Psi^{*} \hat{H} \Psi-\Psi \hat{H} \Psi^{*}\right] d^{3} r=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{1}{i \hbar} \int_{V}\left[\Psi^{*} \nabla^{2} \Psi-\Psi \nabla^{2} \Psi^{*}\right] d^{3} r .\] Ahora usemos reglas generales de cálculo vectorial\({ }^{37}\) para escribir la siguiente identidad:\[\nabla \cdot\left(\Psi^{*} \nabla \Psi-\Psi \nabla \Psi^{*}\right)=\Psi^{*} \nabla^{2} \Psi-\Psi \nabla^{2} \Psi^{*},\] Una comparación de las ecuaciones (44) y (45) muestra que podemos escribir\[\frac{d W}{d t}=-\int_{V}(\nabla \cdot \mathbf{j}) d^{3} r,\] donde\(\mathbf{j}\) se define el vector como\[\mathbf{j} \equiv \frac{i \hbar}{2 m}\left(\Psi \nabla \Psi^{*}-\text { c.c. }\right) \equiv \frac{\hbar}{m} \operatorname{Im}\left(\Psi^{*} \nabla \Psi\right),\] donde c.c. significa el conjugado complejo de la expresión anterior, en este caso\(\left(\Psi \nabla \Psi^{*}\right)^{*}\), es decir\(\Psi^{*} \nabla \Psi\). Ahora usando el conocido teorema de divergencia, la\({ }^{38}\) ecuación (46) puede reescribirse como la ecuación de continuidad\[\frac{d W}{d t}+I=0, \quad \text { with } I \equiv \int_{S} j_{n} d^{2} r,\] donde\(j_{n}\) está el componente del vector\(\mathbf{j}\), a lo largo de la normal dirigida hacia afuera a la superficie cerrada\(S\) que limita el volumen\(V\), es decir, el producto escalar\(\mathbf{j} \cdot \mathbf{n}\), donde\(\mathbf{n}\) está el vector unitario a lo largo de esta normal.

Las igualdades (47) y (48) muestran que si la función ondulada en la superficie se desvanece, la probabilidad total\(W\) de encontrar la partícula dentro del volumen no cambia, proporcionando la comprobación de cordura pretendida. En el caso general, la Ec. (48) dice que\(d W / d t\) es igual al flujo\(I\) del vector\(\mathbf{j}\) a través de la superficie, con el signo menos. Es claro que este vector puede interpretarse como la densidad de corriente de probabilidad y\(I\), como la corriente de probabilidad total a través de la superficie\(S\). Esta interpretación puede ser apoyada además por la reescritura de la ecuación (47) para la función de onda representada en la forma polar\(\Psi=a e^{i \varphi}\), con real\(a\) y\(\varphi\):\[\mathbf{j}=a^{2} \frac{\hbar}{m} \nabla \varphi\] Tenga en cuenta que para una función de onda real, o incluso para una función de onda con una función arbitraria pero fase constante de espacio\(\varphi\), la densidad de corriente de probabilidad se desvanece. Por el contrario, para la onda viajera (29), con una densidad de probabilidad constante\(w=a^{2}\), la ecuación (49) produce un resultado distinto de cero (y físicamente muy transparente):\[\mathbf{j}=w \frac{\hbar}{m} \mathbf{k}=w \frac{\mathbf{p}}{m}=w \mathbf{v},\] dónde\(\mathbf{v}=\mathbf{p} / m\) está la velocidad de la partícula. Si se multiplica por la masa de la partícula\(m\), la densidad de probabilidad\(w\) se convierte en la densidad de masa (promedio)\(\rho\), y la densidad de corriente de probabilidad, en la densidad de flujo másico\(\rho \mathbf{v}\). De igual manera, si se multiplica por la carga eléctrica total\(q\) de la partícula, con el\(w\) giro en la densidad de carga\(\sigma, \mathbf{j}\) se convierte en la densidad de corriente eléctrica. Como sabe el lector (ojalá: -), ambas corrientes satisfacen ecuaciones clásicas de continuidad similares a la Ec. (48). \({ }^{39}\)

Finalmente, reformulemos la ecuación de continuidad, reescribiendo la ecuación (46) como\[\int_{V}\left(\frac{\partial w}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{j}\right) d^{3} r=0 \text {. }\] Ahora podemos argumentar que esta igualdad puede ser cierta para cualquier elección del volumen\(V\) solo si la expresión bajo la integral se desvanece en todas partes, es decir, si\[\frac{\partial w}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{j}=0\] Esta forma diferencial de la continuidad ecuación puede ser más conveniente que su forma integral (48)

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\({ }^{32}\)El lector no debe sorprenderse por el uso de la noción de “conocimiento” (o “información”) en este contexto. De hecho, debido al carácter estadístico de los resultados del experimento, la mecánica cuántica (o al menos su relación con el experimento) está íntimamente relacionada con la teoría de la información. En contraste con gran parte de la física clásica, que puede discutirse sin ninguna referencia a la información, en la mecánica cuántica, como en la física estadística clásica, tal abstracción sólo es posible en algunos casos muy especiales (y no los más interesantes).

\({ }^{33}\)Obsérvese que este requisito puede ser violado en la teoría cuántica relativista - ver Capítulo 9.

\({ }^{34}\)Como recordatorio, dicha descripción es válida no sólo para las fuerzas conservadoras (en ese caso\(U\) tiene que ser independiente del tiempo), sino también para cualquier fuerza\(\mathbf{F}(\mathbf{r}, t)\) que pueda expresarse a través del gradiente de\(U(\mathbf{r}, t)-\) ver, e.g., CM Capítulos 2 y 10. (Un buen ejemplo cuando tal descripción es imposible lo da el componente magnético de la fuerza Lorentz - véase, por ejemplo, EM Sec. 9.7, y también Sec. \(3.1\)abajo.)

\({ }^{35}\)Históricamente, este fue el paso principal hecho (en 1926) por E. Schrödinger sobre el fondo de la idea de L. de Broglie. La interpretación probabilística de la función de onda fue planteada, casi simultáneamente, por M. Born.

\({ }^{36}\)En el Capítulo 4, discutiremos una familia más general de operadores hermitianos, que cuentan con esta propiedad.

\({ }^{37}\)Véase, por ejemplo, MA Ec. (11.4a), combinada con la definición del operador del\(\nabla^{2} \equiv \nabla \cdot \nabla\).

\({ }^{38}\)Véase, por ejemplo, MA Ec. (12.2).

\({ }^{39}\)Ver, e.g., respectivamente, CM 8.3 y EM Sec. 4.1.