1.7: Dependencia del espacio

En contraste con la dependencia del tiempo simple y universal (62) de los estados estacionarios, las distribuciones espaciales de su función de onda\(\psi_{n}(\mathbf{r})\) deben calcularse a partir de la ecuación de Schrödinger estacionaria específica del problema (65). La solución de esta ecuación para diversos casos particulares es un foco principal de los dos capítulos siguientes. Por ahora, consideremos solo el ejemplo más simple, que sin embargo será la base para nuestra discusión de problemas más complejos: dejar que una partícula se encienda dentro de una caja rectangular de pared dura. Dicho confinamiento puede ser descrito por el siguiente perfil energético potencial:\({ }^{54}\)\[U(\mathbf{r})= \begin{cases}0, & \text { for } 0<x<a_{x}, \quad 0<y<a_{y}, \quad \text { and } 0<z<a_{z} \\ +\infty, & \text { otherwise }\end{cases}\] La única manera de mantener el producto\(U(\mathbf{r}) \psi_{n}\) en la Ec. (65) finito fuera de la caja, es tenerlo\(\psi=0\) en estas regiones. También, la función tiene que ser continua en todas partes, para evitar la divergencia del término cinético-energía\(\left(-\hbar^{2} / 2 m\right) \nabla^{2} \psi_{n}\). De ahí que en este caso podamos resolver la ecuación estacionaria de Schrödinger (60) justo dentro de la caja, es decir\(U=0\), con, para que tome una forma simple\[-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \nabla^{2} \psi_{n}=E_{n} \psi_{n},\] con condiciones de límite cero en todas las paredes. \({ }^{55}\)Para nuestra geometría particular, es natural expresar el operador Laplace en las coordenadas cartesianas\(\{x, y, z\}\) alineadas con los lados de la caja, con el origen en una de las esquinas de su\(a_{x} \times a_{y} \times a_{z}\) volumen rectangular, de manera que nuestro problema de límites se convierta en: \[\begin{gathered} -\frac{\hbar^{2}}{2 m}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}\right) \psi_{n}=E_{n} \psi_{n}, \text { for } 0<x<a_{x}, \quad 0<y<a_{y}, \quad \text { and } 0<z<a_{z}, \\ \text { with } \psi_{n}=0 \text { for }: x=0 \text { and } a_{x} ; \quad y=0 \text { and } a_{y} ; \quad z=0 \text { and } a_{z} . \end{gathered}\]Este problema puede resolverse fácilmente utilizando el mismo método de separación de variables que se utilizó en la Sec. 5 - ahora para separar las variables espaciales cartesianas entre sí, buscando una solución parcial de la Ec. (78) en la forma\[\psi(\mathbf{r})=X(x) Y(y) Z(z) .\] (Vamos a posponer la asignación de índices de función por un minuto.) Al enchufar esta expresión en la Ec. (78b) y dividiendo todos los términos por el producto\(X Y Z\), obtenemos\[-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{1}{X} \frac{d^{2} X}{d x^{2}}-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{1}{Y} \frac{d^{2} Y}{d y^{2}}-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{1}{Z} \frac{d^{2} Z}{d z^{2}}=E .\] Ahora vamos a repetir la argumentación estándar del método de separación de variables: ya que cada término en el lado izquierdo de esta ecuación puede ser solo una función del argumento correspondiente, la igualdad sólo es posible si cada una de ellas es una constante -en nuestro caso, con la dimensionalidad de la energía-. Al llamar a estas constantes\(E_{x}\), etc., obtenemos tres ecuaciones 1D similares\[-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{1}{X} \frac{d^{2} X}{d x^{2}}=E_{x}, \quad-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{1}{Y} \frac{d^{2} Y}{d y^{2}}=E_{y}, \quad-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{1}{Z} \frac{d^{2} Z}{d x^{2}}=E_{z},\] con la Ec. (80) convirtiéndose en la siguiente condición de coincidencia de energía:\[E_{x}+E_{y}+E_{z}=E \text {. }\] Las tres ecuaciones diferenciales ordinarias (81), y sus soluciones, son similares. Por ejemplo, para\(X(x)\), tenemos la siguiente ecuación de Helmholtz 1D\[\frac{d^{2} X}{d x^{2}}+k_{x}^{2} X=0, \quad \text { with } k_{x}^{2} \equiv \frac{2 m E_{x}}{\hbar^{2}},\] y condiciones de límite simples:\(X(0)=X\left(a_{x}\right)=0\). Permítanme esperar que el lector sepa cómo resolver este conocido problema de límites 1D, describiendo, por ejemplo, las ondas mecánicas habituales en una cuerda de guitarra. El problema permite un número infinito de funciones propias de onda estacionaria sinusoidales,\({ }^{56}\)\[X \propto \sin k_{x} x, \quad \text { with } k_{x}=\frac{\pi n_{x}}{a_{x}}, \quad \text { so that } X=\left(\frac{2}{a_{x}}\right)^{1 / 2} \sin \frac{\pi n_{x} x}{a_{x}}, \quad \text { with } n_{x}=1,2, \ldots,\] correspondientes a las siguientes energías propias:\[E_{x}=\frac{\hbar^{2}}{2 m} k_{x}^{2}=\frac{\pi^{2} \hbar^{2}}{2 m a_{x}^{2}} n_{x}^{2} \equiv E_{x 1} n_{x}^{2} .\] La Figura 8 muestra estos resultados simples, utilizando una representación algo extraña pero muy gráfica y común, en que los valores de energía propia ( frecuentemente llamados los niveles de energía) se utilizan como ejes horizontales para trazar las funciones propias - a pesar de su dimensionalidad completamente diferente.

Fig. 1.8. Las funciones propias más bajas (líneas continuas) y los valores propios (líneas discontinuas) de la ecuación (83) para un pozo potencial de longitud\(a_{x}\). Las líneas negras continuas muestran el perfil energético potencial efectivo para\(1 \mathrm{D}\) este problema propio.

Debido a la similitud de todas las ecuaciones (81),\(Y(y)\) y\(Z(z)\) son funciones absolutamente similares de sus argumentos, y también pueden ser numeradas por enteros (digamos,\(n_{y}\) y\(n_{z}\)) independientes de\(n_{x}\), de modo que el espectro de valores de la energía total (82) es\[E_{n_{x}, n_{y}, n_{z}}=\frac{\pi^{2} \hbar^{2}}{2 m}\left(\frac{n_{x}^{2}}{a_{x}^{2}}+\frac{n_{y}^{2}}{a_{y}^{2}}+\frac{n_{z}^{2}}{a_{z}^{2}}\right)\] Así, en este problema 3D, el papel del índice\(n\) en la ecuación general (69) lo juega un conjunto de tres enteros independientes\(\left\{n_{x}, n_{y}, n_{z}\right\}\). En la mecánica cuántica, tales enteros juegan un papel clave y por lo tanto tienen un nombre especial, los números cuánticos. Utilizándolos, esa solución general, para nuestro problema simple actual puede representarse como la suma\[\Psi(\mathbf{r}, t)=\sum_{n_{x}, n_{y}, n_{z}=1}^{\infty} c_{n_{x}, n_{y}, n_{z}} \sin \frac{\pi n_{x} x}{a_{x}} \sin \frac{\pi n_{y} y}{a_{y}} \sin \frac{\pi n_{z} z}{a_{z}} \exp \left\{-i \frac{E_{n_{x}, n_{y}, n_{z}}}{\hbar} t\right\},\] con los coeficientes frontales que pueden calcularse fácilmente a partir de la función de onda inicial\(\Psi(\mathbf{r}, 0)\), usando la Ec. (68) - nuevamente con el reemplazo\(n \rightarrow\left\{n_{x}, n_{y}, n_{z}\right\}\).

Este problema más simple es una buena ilustración de los resultados típicos que da la mecánica de onda para el movimiento espacialmente confinado, incluyendo el espectro de energía discreta, y (en este caso, evidentemente) las funciones propias ortogonales. Quizás lo más importante es que su solución muestra que el valor más bajo de la energía cinética de la partícula (86), alcanzado en el llamado estado fundamental (en nuestro caso, el estado con\(n_{x}=n_{y}=\)\(n_{z}=1\)) está por encima de cero para cualquier tamaño finito de la caja de confinamiento. Un ejemplo del caso opuesto de un espectro continuo para el movimiento no confinado de una partícula libre lo dan las ondas planas (29). Con la cuenta de las relaciones\(E=\hbar \omega\) y\(\mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}\), dicha función de onda puede verse como el producto del factor dependiente del tiempo (62) por la función propia,\[\psi_{\mathbf{k}}=a_{\mathbf{k}} \exp \{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}\},\] que es la solución de la ecuación estacionaria de Schrödinger (78a) si es válida en todo el espacio. \({ }^{57}\)El lector no debe preocuparse demasiado por el hecho de que la solución fundamental (86) en el espacio libre es una onda viajera (que tiene, en particular, un valor distinto de cero de la corriente de probabilidad\(\mathbf{j}\)), mientras que las que están dentro de una caja cuántica son ondas estacionarias, con \(\mathbf{j}=0\), aunque el espacio libre pueda considerarse legítimamente como el límite último de una caja cuántica con volumen\(V=a_{x} \times a_{y} \times a_{z} \rightarrow \infty\). De hecho, debido a la linealidad de la mecánica de olas, dos soluciones de onda viajera (88) con valores iguales y opuestos del momento (y por lo tanto con la misma energía) pueden combinarse fácilmente para dar una solución de onda estacionaria,\({ }^{58}\) por ejemplo,\(\exp \{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}\}+\exp \{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}\}=2 \cos (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r})\), con la corriente neta \(\mathbf{j}=0\). Así, dependiendo de la conveniencia para un problema en particular, podemos representar su solución general como una suma de las funciones propias de onda viajera o onda estacionaria. Dado que en el espacio libre ilimitado, no hay condiciones de límite que satisfacer, los componentes cartesianos del vector de onda\(\mathbf{k}\) en la ecuación (88) pueden tomar cualquier valor real. (Por eso es más conveniente etiquetar estas funciones de onda, y las energías propias correspondientes,\[E_{\mathbf{k}}=\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m} \geq 0\] con su vector de onda en\(\mathbf{k}\) lugar de un índice entero.) Sin embargo, un aspecto de los sistemas de espectro continuo requiere un poco más de precaución con las matemáticas: la suma (69) debe ser reemplazado por la integración sobre un índice o índices continuos - en nuestro caso actual, los tres componentes cartesianos del vector\(\mathbf{k}\). La regla principal de dicho reemplazo puede extraerse fácilmente de la ecuación (84): de acuerdo con esta relación, para las soluciones de onda estacionaria, los valores propios de\(k_{x}\) son equidistantes, es decir, separados por intervalos iguales\(\Delta k_{x}=\pi / a_{x}\), con relaciones similares para otros dos componentes cartesianos de vector\(\mathbf{k}\). De ahí el número de diferentes valores propios del vector de onda estacionaria\(\mathbf{k}\) (con\(k_{x}, k_{y}, k_{z} \geq 0\)), dentro de un volumen\(d^{3} k \gg 1 / V\) del\(\mathbf{k}\) espacio es\(d N=\)\(d^{3} k /\left(\Delta k_{x} \Delta k_{x} \Delta k_{x}\right)=\left(V / \pi^{3}\right) d^{3} k\). Frecuentemente, es más conveniente trabajar con olas viajeras (88); en este caso debemos tener en cuenta que, como se acaba de discutir, hay dos números de onda viajera diferentes (digamos,\(+k_{x}\) y\(-k_{x}\)) correspondientes a cada vector de onda estacionaria \(k_{x}>0\). De ahí que el mismo número de estados físicamente diferentes corresponda a un\(\mathbf{k}\) espacio\(2^{3}=8\) -fold más grande o, equivalentemente, a un número 8 veces menor de estados por unidad de volumen\(d^{3} k\):\[d N=\frac{V}{(2 \pi)^{3}} d^{3} k\] For\(d N \gg>1\), esta expresión es independiente de las condiciones límite, y se representa frecuentemente como la siguiente regla de suma\[\lim _{k^{3} V \rightarrow \infty} \sum_{\mathbf{k}} f(\mathbf{k})=\int f(\mathbf{k}) d N=\frac{V}{(2 \pi)^{3}} \int f(\mathbf{k}) d^{3} k,\] donde\(f(\mathbf{k})\) es una función arbitraria de\(\mathbf{k}\). Obsérvese que si el mismo vector de onda\(\mathbf{k}\) corresponde a varios estados cuánticos internos (como spin - ver Capítulo 4), el lado derecho de la Ec. (91) requiere su multiplicación por el factor de degeneración correspondiente de los estados orbitales. \({ }^{59}\)

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\({ }^{54}\)Otro nombre común para tales potenciales, especialmente de menor dimensionalidad, es el pozo potencial, en nuestro caso actual “rectangular”: con un “fondo” plano y “paredes” verticales, infinitamente altas. Tenga en cuenta que a veces, muy desafortunadamente, tales perfiles potenciales se llaman “pozos cuánticos”. (Este término parece implicar que el confinamiento de la partícula en tal pozo es un fenómeno específico para la mecánica cuántica. Sin embargo, como veremos repetidamente en este curso, lo contrario es cierto: los efectos cuánticos hacen todo lo que pueden para superar el confinamiento de la partícula en un pozo potencial, dejándola penetrar en parte en las regiones “clásicamente prohibidas” más allá de las paredes del pozo).

\({ }^{55}\)Reescrito como\(\nabla^{2} f+k^{2} f=0\), la Ec. (78a) es solo la ecuación de Helmholtz, que describe ondas de cualquier naturaleza (con el vector de onda\(\mathbf{k}\)) en un medio uniforme, isotrópico, lineal; véase, por ejemplo, EM Secs. 7.5-7.9 y 8.5.

\({ }^{56}\)El coeficiente frontal en la última expresión para\(X\) asegura la condición de normalidad (orto) (66).

\({ }^{57}\)En algunos sistemas (por ejemplo, una partícula que interactúa con un pozo potencial de una profundidad finita), un espectro de energía discreta dentro de un cierto intervalo de energía puede coexistir con un espectro continuo en un intervalo complementario. Sin embargo, la filosofía conceptual de las funciones propias y los valores propios sigue siendo la misma incluso en este caso.

\({ }^{58}\)Esta es, por supuesto, la propiedad general de las olas de cualquier naturaleza física, que se propagan en un medio lineal - véase, por ejemplo, CM Sec. \(6.5\)y/o EM Sec. \(7.3\).

\({ }^{59}\)Dicho factor es similar al factor frontal 2 en la Ec. (1) para el número de modos de onda electromagnética, en ese caso describiendo dos polarizaciones diferentes de las ondas con el mismo vector de onda.