2.6: Túneles resonantes y estados metaestables

Ahora pasemos a otros efectos cuánticos conceptualmente diferentes, teniendo lugar en perfiles potenciales más elaborados. Ni los modelos a trozos constantes ni de potencial suave\(U(x)\) son convenientes para su descripción cuantitativa porque ambos requieren “costura” de ondas parciales de Broglie en cada punto de inflexión clásico, lo que puede llevar a cálculos engorrosos. Sin embargo, podemos obtener una muy buena idea de la física de los efectos cuánticos que pueden tener lugar en dichos perfiles, utilizando su aproximación por conjuntos de funciones delta de Dirac.

La ayuda adicional en el estudio de tales efectos es proporcionada por las nociones de las matrices de dispersión y transferencia, muy útiles también para otros casos. Consideremos un “bache” potencial arbitrario pero de longitud finita (formalmente llamado dispersor), localizado en algún lugar entre puntos\(x_{1}\) y\(x_{2}\), sobre el fondo potencial plano, digamos\(U=0\) (Fig. 12).

Fig. 2.12. Amplitudes de onda de Broglie cerca de un solo dispersor 1D.

De la Sec. 2, sabemos que las soluciones generales de la ecuación estacionaria de Schrödinger, con cierta energía\(E\), fuera del intervalo\(\left[x_{1}, x_{2}\right]\) son conjuntos de dos ondas sinusoidales, que viajan en direcciones opuestas. Vamos a representarlos en la forma\[\psi_{j}=A_{j} e^{i k\left(x-x_{j}\right)}+B_{j} e^{-i k\left(x-x_{j}\right)}\] donde el índice\(j\) (por ahora) es igual a 1 o 2, y\((\hbar k)^{2} / 2 m=E\). Obsérvese que cada uno de los dos pares de ondas (129) tiene, en esta notación, su propio punto de referencia\(x_{j}\), porque esto es muy conveniente para lo que sigue. Como ya hemos comentado, si la onda/partícula de Broigle es incidente desde la izquierda (es decir\(B_{2}=\)\(0)\), la solución de la ecuación lineal de Schrödinger dentro del rango de dispersión\(\left(x_{1}<x<x_{2}\right)\) puede proporcionar solo expresiones lineales para los transmitidos \(\left(A_{2}\right)\)y amplitudes de\(\left(B_{1}\right)\) onda reflejada a través de la amplitud de onda incidente\(A_{1}\):\[A_{2}=S_{21} A_{1}, \quad B_{1}=S_{11} A_{1},\] dónde\(S_{11}\) y\(S_{21}\) son ciertos coeficientes (generalmente, complejos). Alternativamente, si una onda, con amplitud\(B_{2}\), incide sobre el dispersor desde la derecha (es decir, si\(A_{1}=0\)), puede inducir una onda transmitida\(\left(B_{1}\right)\) y una onda reflejada\(\left(A_{2}\right)\), con amplitudes\[B_{1}=S_{12} B_{2}, \quad A_{2}=S_{22} B_{2},\] donde los coeficientes \(S_{22}\)y generalmente\(S_{12}\) son diferentes de\(S_{11}\) y\(S_{21}\). Ahora podemos usar el principio de superposición lineal para argumentar que si las ondas\(A_{1}\) y\(B_{2}\) son simultáneamente incidentes en el dispersor (digamos, porque la onda\(B_{2}\) ha sido reflejada parcialmente de nuevo por algún otro dispersor ubicado en \(x>x_{2}\)), las amplitudes de onda dispersas resultantes\(A_{2}\) y\(B_{1}\) son solo las sumas de sus valores para ondas incidentes separadas:\[\begin{aligned} &B_{1}=S_{11} A_{1}+S_{12} B_{2}, \\ &A_{2}=S_{21} A_{1}+S_{22} B_{2} . \end{aligned}\] Estas relaciones lineales pueden representarse convenientemente usando la llamada matriz de dispersión\(\mathrm{S}\): \[\left(\begin{array}{l} B_{1} \\ A_{2} \end{array}\right)=\mathrm{S}\left(\begin{array}{l} A_{1} \\ B_{2} \end{array}\right), \quad \text { with } \mathrm{S} \equiv\left(\begin{array}{ll} S_{11} & S_{12} \\ S_{21} & S_{22} \end{array}\right) .\]Las matrices de dispersión, debidamente generalizadas, son una herramienta importante para el análisis de la dispersión de ondas en más dimensiones que una; para problemas 1D, sin embargo, otra matriz suele ser más conveniente para representar las mismas relaciones lineales (123). En efecto, resolvamos este sistema para\(A_{2}\) y\(B_{2}\). El resultado es\[\begin{aligned} &A_{2}=T_{11} A_{1}+T_{12} B_{1}, \quad \text { i.e. }\left(\begin{array}{l} A_{2} \\ B_{2} \end{array}\right)=\mathrm{T}\left(\begin{array}{l} A_{1} \\ B_{1} \end{array}\right), \\ &B_{2}=T_{21} A_{1}+T_{22} B_{1}, \end{aligned}\] donde\(\mathrm{T}\) está la matriz de transferencia, con los siguientes elementos:\[T_{11}=S_{21}-\frac{S_{11} S_{22}}{S_{12}}, \quad T_{12}=\frac{S_{22}}{S_{12}}, \quad T_{21}=-\frac{S_{11}}{S_{21}}, \quad T_{22}=\frac{1}{S_{12}} .\] Las matrices\(S\) y\(T\) tienen algunas propiedades universales, válidas para un dispersor arbitrario (pero independiente del tiempo); se pueden encontrar fácilmente a partir de la conservación de la corriente de probabilidad y la simetría de inversión temporal de la ecuación de Schrödinger. Permítanme dejar encontrar estas relaciones para el ejercicio del lector. Los resultados muestran, en particular, que la matriz de dispersión puede ser reescrita en la siguiente forma:\[\mathrm{S}=e^{i \theta}\left(\begin{array}{cc} r e^{i \varphi} & t \\ t & -r e^{-i \varphi} \end{array}\right),\] donde cuatro parámetros reales\(r, t, \theta\), y\(\varphi\) satisfacen la siguiente relación universal: de\[r^{2}+t^{2}=1,\] manera que sólo 3 de estos parámetros son independientes. Como resultado de esta simetría, también se\(T_{11}\) puede representar en una forma más simple, similar a\(T_{22}: T_{11}=\exp \{i \theta\} / t=1 / S_{12}{ }^{*}=1 / S_{21}{ }^{*}\). La última forma permite una expresión lista de la transparencia del dispersor a través de un solo coeficiente de la matriz de transferencia:\[\mathscr{T} \equiv\left|\frac{A_{2}}{A_{1}}\right|_{B_{2}=0}^{2}=\left|S_{21}\right|^{2}=\left|T_{11}\right|^{-2} .\] En nuestro contexto actual, la propiedad más importante de las matrices de transferencia 1D es que encontrar la matriz\(\mathrm{T}\) de transferencia total de un sistema que consiste en varios (digamos,\(N\)) dispersores arbitrarios secuenciales (Fig. 13), basta con multiplicar sus matrices.

Fig. 2.13. Una secuencia de varios dispersores 1D.

En efecto, extendiendo la definición (125) a otros puntos\(x_{j}(j=1,2, \ldots, N+1)\), podemos escribir\[\left(\begin{array}{l} A_{2} \\ B_{2} \end{array}\right)=\mathrm{T}_{1}\left(\begin{array}{l} A_{1} \\ B_{1} \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{l} A_{3} \\ B_{3} \end{array}\right)=\mathrm{T}_{2}\left(\begin{array}{l} A_{2} \\ B_{2} \end{array}\right)=\mathrm{T}_{2} \mathrm{~T}_{1}\left(\begin{array}{l} A_{1} \\ B_{1} \end{array}\right) \text {, etc. }\] (donde los índices de matriz corresponden al orden de los dispersores en el\(x\) eje -eje), de manera que\[\left(\begin{array}{l} A_{N+1} \\ B_{N+1} \end{array}\right)=\mathrm{T}_{N} \mathrm{~T}_{N-1} \ldots \mathrm{T}_{1}\left(\begin{array}{l} A_{1} \\ B_{1} \end{array}\right) .\] Pero también podemos definir la matriz de transferencia total de manera similar a la Eq. (125), es decir, como \[\left(\begin{array}{l} A_{N+1} \\ B_{N+1} \end{array}\right) \equiv \mathrm{T}\left(\begin{array}{l} A_{1} \\ B_{1} \end{array}\right),\]de manera que comparando las ecuaciones. (130) y (131) obtenemos\[\mathrm{T}=\mathrm{T}_{N} \mathrm{~T}_{N-1} \ldots \mathrm{T}_{1} .\] Esta fórmula es válida incluso si las brechas de potencial plano entre los dispersores de componentes se reducen a cero, de modo que se puede aplicar a un dispersor con un perfil arbitrario\(U(x)\), fragmentando su longitud en muchos pequeños segmentos\(\Delta x=x_{j+1}-x_{j}\), y tratando cada fragmento como una barrera rectangular de la altura promedio\(\left(U_{j}\right)_{\text {ef }}=\left[U\left(x_{j+1}\right)-U\left(x_{j}\right)\right] / 2-\) ver Fig. 14. Dado que los algoritmos numéricos muy eficientes están fácilmente disponibles para la multiplicación rápida de matrices (especialmente tan pequeñas como\(2 \times 2\) en nuestro caso), este enfoque es ampliamente utilizado en la práctica para el cálculo de la transparencia de barreras potenciales con perfiles complicados \(U(x)\). (Computacionalmente, este procedimiento es mucho más eficiente que la solución numérica directa de la ecuación estacionaria de Schrödinger).

Fig. 2.14. La matriz de transferencia se aproxima a una barrera potencial con un perfil arbitrario.

Para aplicar este enfoque a varios sistemas particulares, conceptualmente importantes, calculemos las matrices de transferencia para unos pocos dispersores elementales, partiendo de la barrera delta-funcional ubicada en\(x=0\) - ver Fig. 8. Tomando\(x_{1}, x_{2} \rightarrow 0\), podemos simplemente cambiar la notación de las amplitudes de onda en la Ec. (78) para obtener\[S_{11}=\frac{-i \alpha}{1+i \alpha}, \quad S_{21}=\frac{1}{1+i \alpha} .\] Un análisis absolutamente similar de la incidencia de onda desde los rendimientos de la izquierda\[S_{22}=\frac{-i \alpha}{1+i \alpha}, \quad S_{12}=\frac{1}{1+i \alpha},\] y usando las ecuaciones (126), obtenemos\[\mathrm{T}_{\alpha}=\left(\begin{array}{cc} 1-i \alpha & -i \alpha \\ i \alpha & 1+i \alpha \end{array}\right) .\] Como comprobación de cordura, la Ec. (128) aplicada a este resultado, inmediatamente nos trae de vuelta a la Eq. (79).

El siguiente ejemplo puede parecer extraño a primera vista: ¿y si no hay dispersión alguna entre los puntos\(x_{1}\) y\(x_{2}\)? Si los puntos coinciden, la respuesta es ciertamente trivial y se puede obtener, por ejemplo, a partir de la Ec. (135) tomando\(w=0\), es decir\(\alpha=0\):\[\mathrm{T}_{0}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \equiv \mathrm{I}\]

• la llamada matriz de identidad. No obstante, somos libres de elegir los puntos de referencia\(x_{1,2}\) que participan en la Ec. (120) como queramos. Por ejemplo, ¿y si\(x_{2}-x_{1}=a\)? Primero tomemos solo la onda propagadora hacia adelante:\(B_{2}=0\) (y por lo tanto\(B_{1}=0\)); luego

\[\psi_{2}=\psi_{1}=A_{1} e^{i k\left(x-x_{1}\right)} \equiv A_{1} e^{i k\left(x_{2}-x_{1}\right)} e^{i k\left(x-x_{2}\right)} .\]La comparación de esta expresión con la definición (120) para\(j=2\) muestra que\(A_{2}=A_{1} \exp \left\{i k\left(x_{2}-x_{1}\right)\right\}\)\(=A_{1} \exp \{i k a\}\), i.e\(T_{11}=\exp \{i k a\}\). Repitiendo el cálculo para la onda de retropropagación, vemos que\(T_{22}=\exp \{-i k a\}\), y como el intervalo espacial no proporciona reflexión de partículas, finalmente obtenemos\[\mathrm{T}_{a}=\left(\begin{array}{cc} e^{i k a} & 0 \\ 0 & e^{-i k a} \end{array}\right),\] independientemente de un desplazamiento común de puntos\(x_{1}\) y\(x_{2}\). Al\(a=0\), naturalmente recuperamos el caso especial (136). Ahora usemos estos simples resultados para analizar el sistema de doble barrera mostrado en la Fig. 15. Por supuesto, podríamos calcular sus propiedades como antes, anotando expresiones explícitas para las cinco ondas viajeras mostradas por flechas en la Fig. 15, luego usando las condiciones de contorno (124) y (125) en cada uno de los puntos\(x_{1,2}\) para obtener un sistema de cuatro ecuaciones lineales, y finalmente, resolverlo para cuatro relaciones de amplitud.

Fig. 2.15. El sistema de doble barrera. Las líneas discontinuas muestran (esquemáticamente) los cuasiniveles de las energías de estado metaestable.

Sin embargo, el enfoque de matriz de transferencia simplifica los cálculos, porque podemos usar inmediatamente las ecuaciones (132), (135) y (138) para escribir\[\mathrm{T}=\mathrm{T}_{\alpha} \mathrm{T}_{a} \mathrm{~T}_{\alpha}=\left(\begin{array}{cc} 1-i \alpha & -i \alpha \\ i \alpha & 1+i \alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} e^{i k a} & 0 \\ 0 & e^{-i k a} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1-i \alpha & -i \alpha \\ i \alpha & 1+i \alpha \end{array}\right) .\] Permítanme esperar que el lector recuerde la regla “fila por columna” de la multiplicación de matrices cuadradas\(;{ }^{27}\) usándola para las dos últimas matrices, nosotros puede reducir la Eq. (139) a\[\mathrm{T}=\left(\begin{array}{cc} 1-i \alpha & -i \alpha \\ i \alpha & 1+i \alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} (1-i \alpha) e^{i k a} & -i \alpha e^{i k a} \\ i \alpha e^{-i k a} & (1+i \alpha) e^{-i k a} \end{array}\right) .\] Ahora no hay necesidad de calcular todos los elementos del producto completo\(\mathrm{T}\), ya que, según la Eq. (128), para el cálculo de la transparencia de la barrera solo\(T\) necesitamos uno su elemento,\(T_{11}\):\[\mathscr{T}=\frac{1}{\left|T_{11}\right|^{2}}=\frac{1}{\left|\alpha^{2} e^{-i k a}+(1-i \alpha)^{2} e^{i k a}\right|^{2}} .\] Este resultado es algo similar a lo que sigue de la Ec. (71) para\(E>U_{0}\): la transparencia es una función\(\pi\) -periódica del producto\(k a\), alcanzando su máximo\((\mathscr{T}=1)\) en algún punto de cada periodo - ver Fig. 16a. Sin embargo, la ecuación (141) es diferente en que para\(\alpha>>1\), los picos de resonancia de la transparencia son muy estrechos, alcanzando sus máximos en\(k a \approx k_{n} a \equiv n \pi\), con\(n=1,2, \ldots\)

La física de este efecto de tunelización resonante\({ }^{28}\) es la llamada interferencia constructiva, absolutamente similar a la de las ondas electromagnéticas (por ejemplo, la luz) en un resonador Fabry-Perot formado por dos espejos semitransparentes paralelos. \({ }^{29}\)A saber, la onda incidente de Broglie puede atravesar las dos barreras o emprender, en su camino, varias reflexiones secuenciales a partir de estas paredes semitransparentes. En\(k=k_{n}\), es decir\(2 k a=2 k_{n} a=2 \pi n\), at, las diferencias de fase entre todas estas ondas parciales son múltiplos de\(2 \pi\), de manera que se suman en fase - “constructivamente”. Obsérvese que la misma interferencia constructiva de numerosas reflexiones de las paredes puede utilizarse para interpretar las funciones propias de onda estacionaria (1.84), de manera que la tunelización resonante en también\(\alpha \gg>1\) puede considerarse como resultado de la inducción de resonancia de la onda incidente de dicha onda estacionaria, con una amplitud muy grande, en el espacio entre las barreras, con la amplitud de la onda transmitida incrementada proporcionalmente.

Fig. 2.16. Túneles resonantes a través de un pozo potencial con paredes delta-funcionales: (a) la transparencia del sistema en función de\(k a\), y (b) calcular el FWHM de la resonancia en\(\alpha>>1\).

Como resultado de esta resonancia, la transparencia máxima del sistema es\(\operatorname{perfect}\left(\mathscr{T}_{\max }=1\right)\) uniforme, es decir\(\alpha \rightarrow \infty\), en el caso de una transparencia muy baja de cada una de las dos barreras componentes. En efecto, el denominador en la ecuación (141) puede interpretarse como la longitud cuadrada de la diferencia entre dos vectores 2D, uno de longitud\(\alpha^{2}\) y otro de longitud\(\left|(1-i \alpha)^{2}\right|=1+\alpha^{2}\), con el ángulo\(\theta=2 k a+\) const entre ellos - ver Fig. 16b. En la resonancia, los vectores están alineados, y su diferencia es menor (igual a 1) de manera que eso\(\mathscr{T}_{\max }=1\). (Este resultado es exacto solo si las dos barreras son exactamente iguales).

El mismo diagrama vectorial puede ser utilizado para calcular el llamado FWHM, un acrónimo común para el Ancho Completo [de la curva de resonancia en su] Medio Máximo. Por definición, esta es la diferencia\(\Delta k=k_{+}\)\(-k\). entre tales dos valores de\(k\), en las pendientes opuestas de la misma resonancia, en que\(\mathscr{T}=\mathscr{T}_{\max } / 2-\operatorname{see}\) las flechas en la Fig. 16a. Que los vectores de la Fig. 16b, dibujados para\(\alpha \gg>1\), estén desalineados por un ángulo pequeño\(\theta\)\(\sim 1 / \alpha^{2}<<1\), de manera que la longitud del vector de diferencia sea mucho menor que la longitud de cada vector. Para duplicar su longitud al cuadrado, y\(\mathscr{T}\) por lo tanto para reducir en un factor de dos en comparación con su valor máximo 1, el arco entre los vectores, igual a\(\alpha^{2} \theta\), también debe llegar a ser igual a\(\pm 1\), es decir,\(\alpha^{2}\left(2 k_{\pm} a+\right.\) const \()\)\(=\pm 1\). Restando estas dos igualdades entre sí, obtenemos\[\Delta k \equiv k_{+}-k_{-}=\frac{1}{a \alpha^{2}}<<k_{\pm} .\] Ahora usemos el sistema simple que se muestra en la Fig. 15 para discutir un tema de gran significación conceptual. Para eso, considere qué pasaría si en algún momento inicial (digamos,\(t=0\)) hayamos colocado una partícula cuántica 1D dentro del pozo de doble barrera con\(\alpha \gg>1\), y la hayamos dejado ahí sola, sin ninguna onda incidente. Para simplificar el análisis, supongamos que el estado inicial de la partícula coincide con uno de los estados estacionarios del pozo de pared infinita del mismo tamaño - ver Eq. (1.84):\[\Psi(x, 0)=\psi_{n}(x)=\left(\frac{2}{a}\right)^{1 / 2} \sin \left[k_{n}\left(x-x_{1}\right)\right], \quad \text { where } k_{n}=\frac{\pi n}{a}, \quad n=1,2, \ldots .\] At\(\alpha \rightarrow \infty\), esto es solo un estado propio del sistema, y de nuestro análisis en la Sec. \(1.5\)conocemos la evolución temporal de su función\[\Psi(x, t)=\psi_{n}(x) \exp \left\{-i \omega_{n} t\right\}=\left(\frac{2}{a}\right)^{1 / 2} \sin \left[k_{n}\left(x-x_{1}\right)\right] \exp \left\{-i \omega_{n} t\right\}, \quad \text { with } \omega_{n}=\frac{E_{n}}{\hbar}=\frac{\hbar k_{n}^{2}}{2 m},\] onda:decirnos que la partícula permanece en el pozo en todo momento con probabilidad constante\(W(t)=W(0)=1\).

No obstante, si el parámetro\(\alpha\) es grande pero finito, la onda de Broglie se “escapa” lentamente del pozo, por lo que\(W(t)\) disminuiría lentamente. Tal estado se llama metaestable. Derivamos la ley de su evolución temporal, asumiendo que a la fuga lenta, con un tiempo característico\(\tau \gg 1 / \omega_{n}\), no afecta la distribución instantánea de onda dentro del pozo, además de la reducción gradual y lenta de\(W .^{30}\) Entonces podemos generalizar la Eq. (144) como\[\Psi(x, t)=\left(\frac{2 W}{a}\right)^{1 / 2} \sin \left[k_{n}\left(x-x_{1}\right)\right] \exp \left\{-i \omega_{n} t\right\} \equiv A \exp \left\{i\left(k_{n} x-\omega_{n} t\right)\right\}+B\left\{-i\left(k_{n} x+\omega_{n} t\right)\right\},\] haciendo la probabilidad de encontrar la partícula en el pozo igual a\(W \leq 1\). Como muestra la última forma de la ecuación (145), esta función es la suma de dos ondas viajeras, con magnitudes iguales de sus amplitudes y corrientes de probabilidad iguales pero opuestas (5):\[|A|=|B|=\left(\frac{W}{2 a}\right)^{1 / 2}, \quad I_{A}=\frac{\hbar}{m}|A|^{2} k_{n}=\frac{\hbar}{m} \frac{W}{2 a} \frac{\pi n}{a}, \quad I_{B}=-I_{A} .\] Pero ya sabemos por la ecuación (79) que en\(\alpha \gg>1\), la transparencia del muro delta-funcional \(\mathscr{T}\)es igual\(1 / \alpha^{2}\), de manera que la onda portadora de corriente\(I_{A}\), incidente en la pared derecha desde el interior, induce una onda de salida fuera del pozo (Fig. 17) con la siguiente corriente de probabilidad:

Fig. 2.17. Desintegración del estado metaestable en el modelo simple de un pozo de potencial 1D formado por dos paredes de baja transparencia, esquemáticamente.

Fig. 2.17. Desintegración del estado metaestable en el modelo simple de un pozo potencial 1D formado por dos paredes de baja transparencia, esquemáticamente.

Absolutamente similar,\[I_{\mathrm{L}}=\frac{1}{\alpha^{2}} I_{B}=-I_{\mathrm{R}} .\] Ahora podemos combinar la versión 1D (6) de la ley de conservación de probabilidad para el interior del pozo:\[\frac{d W}{d t}+I_{\mathrm{R}}-I_{\mathrm{L}}=0,\] con Eqs. (147) - (148) para escribir\[\frac{d W}{d t}=-\frac{1}{\alpha^{2}} \frac{\pi n \hbar}{m a^{2}} W .\] Esta es solo la ecuación diferencial estándar,\[\frac{d W}{d t}=-\frac{1}{\tau} W,\] de la decadencia exponencial,\(W(t)=W(0) \exp \{-t / \tau\}\), donde la constante\(\tau\), en nuestro caso igual a\[\tau=\frac{m a^{2}}{\pi n \hbar} \alpha^{2},\] se llama vida del estado metaestable. Usando la Eq. (2.33b) para la velocidad de grupo de las ondas de Broglie, para nuestro vector de onda particular dando\(v_{\mathrm{gr}}=\hbar k_{n} / m=\pi n \hbar / m a\), la ecuación (152) puede ser reescrita en una forma más general,\[\tau=\frac{t_{\mathrm{a}}}{\mathscr{T}},\] donde el tiempo de intento\(t_{\mathrm{a}}\) es igual a\(a / v_{\mathrm{gr}}\), y (en nuestro caso particular) \(\mathcal{T}=1 / \alpha^{2}\), en la que es válida para una amplia clase de sistemas metaestables similares. \({ }^{31}\)La igualdad puede ser interpretada de la siguiente manera semi-clásica. La partícula viaja de un lado a otro entre las barreras potenciales de confinamiento, con el intervalo de tiempo\(t_{\mathrm{a}}\) entre los momentos secuenciales de incidencia, cada vez que intenta filtrarse a través de la pared, con la probabilidad de éxito igual a\(\mathscr{T}\), por lo que la reducción de \(W\)por cada incidencia es\(\Delta W=-W \mathscr{T}\), en el límite\(\alpha \gg\) 1 (es decir\(\mathscr{T}<<1\)) inmediatamente conduciendo a la ecuación de decaimiento\((151)\) con la vida\((153)\) útil.Otra mirada útil a la Ec. (152) puede ser tomada por volviendo al problema de la tunelización resonante en el mismo sistema, y expresando el ancho de resonancia (142) en términos de la energía de la partícula incidente:\[\Delta E=\Delta\left(\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m}\right) \approx \frac{\hbar^{2} k_{n}}{m} \Delta k=\frac{\hbar^{2} k_{n}}{m} \frac{1}{a \alpha^{2}}=\frac{\pi n \hbar^{2}}{m a^{2} \alpha^{2}} .\] Comparando las ecuaciones (152) y (154), obtenemos una fórmula notablemente simple e independiente de parámetros\(^{32}\)\[\Delta E \cdot \tau=\hbar\] Esta energía-tiempo La relación de incertidumbre es ciertamente más general que nuestro modelo simple; por ejemplo, es válida para la vida útil y el ancho de túnel de resonancia de cualquier estado metaestable en el perfil potencial de cualquier forma. Esto parece muy natural, ya que debido a la identificación energética con frecuencia\(E=\hbar \omega\), típica de la mecánica cuántica, la ecuación (155) puede reescribirse como\(\Delta \omega \cdot \tau=1\) y parece seguir directamente de la transformada de Fourier en el tiempo, así como la relación de incertidumbre de Heisenberg (1.35) ) se desprende de la transformada de Fourier en el espacio. En algunos casos, estas dos relaciones son realmente intercambiables; por ejemplo, la ecuación (24) para el ancho del paquete de onda gaussiana puede reescribirse como\(\delta E \cdot \Delta t=\)\(\hbar\), donde\(\delta E=\hbar(d \omega / d k) \delta k=\hbar v_{\mathrm{gr}} \delta k\) está la dispersión r.m.s. de energías de componentes monocromáticos del paquete, mientras que \(\Delta t \equiv \delta x / v_{\mathrm{gr}}\)es la escala de tiempo del paso del paquete a través de un punto de observación fijo\(x\).

Sin embargo, la ecuación (155) es mucho menos general que la relación de incertidumbre de Heisenberg (1.35). En efecto, en la mecánica cuántica no relativista que estamos estudiando ahora, las coordenadas cartesianas de una partícula, los componentes cartesianos de su impulso, y la energía\(E\) son observables regulares, representados por operadores. Por el contrario, el tiempo se trata como un argumento\(c\) -number, y no es representado por un operador, por lo que la Ec. (155) no puede derivarse en supuestos generales como la Ec. (1.35). Por lo tanto, la relación de incertidumbre tiempo-energía debe usarse con precaución. Desafortunadamente, no todos son tan cuidadosos. Se puede encontrar, por ejemplo, afirmaciones erróneas de que debido a esta relación, la energía disipada por cualquier sistema que realice un cálculo elemental (de un solo bit) durante un intervalo de tiempo\(\Delta t\) tiene que ser mayor que\(\hbar / \Delta t .{ }^{33}\) Otra afirmación incorrecta es que la energía de un sistema no puede ser medido, durante un intervalo de tiempo\(\Delta t\), con una precisión mejor que\(\hbar / \Delta t .{ }^{34}\)

Ahora que tenemos una descripción matemática cuantitativa de la decadencia del estado metaestable (válida, nuevamente, solo si\(\alpha \gg>1\), es decir, si\(\tau \gg t_{\mathrm{a}}\)), podemos usarla para la discusión de dos importantes cuestiones conceptuales de la mecánica cuántica. En primer lugar, este es uno de los ejemplos más simples de sistemas que pueden considerarse, desde dos puntos de vista diferentes, como hamiltonianos (y por lo tanto reversibles en el tiempo), o abiertos (y por tanto irreversibles). En efecto, desde el punto de vista anterior, nuestro sistema particular es ciertamente descrito por un hamiltoniano independiente del tiempo del tipo (1.41), con la energía potencial\[U(x)=w\left[\delta\left(x-x_{1}\right)+\delta\left(x-x_{2}\right)\right]\]

• ver Fig. 15 otra vez. En este punto de vista, la probabilidad total de encontrar la partícula en algún lugar del eje\(x\) sigue siendo igual a 1, y la energía del sistema completo, calculada a partir de la Ec. (1.23),

\[\langle E\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty} \Psi^{*}(x, t) \hat{H} \Psi(x, t) d^{3} x,\]se mantiene constante y completamente definido\((\delta E=0)\). Por otro lado, dado que los paquetes de onda “emitidos” nunca volverían al pozo potencial,\({ }^{35}\) tiene sentido mirar solo a la región del pozo. Para tal sistema truncado y abierto (para el cual el espacio más allá del intervalo\(\left[x_{1}, x_{2}\right]\) sirve como su entorno), la probabilidad\(W\) de encontrar la partícula dentro de este intervalo, y por lo tanto su energía\(\langle E\rangle=W E_{n}\), decaimiento exponencial por Ec. (151) - la decadencia ecuación típica para sistemas irreversibles. Volveremos a la discusión de la dinámica de tales sistemas cuánticos abiertos en el Capítulo\(7 .\)

En segundo lugar, el mismo modelo permite una discusión preliminar de un aspecto importante de las mediciones cuánticas. Como muestran la Ec. (151) y la Fig. 17\(t \gg \tau\), en, el pozo se vuelve prácticamente vacío\((W \approx 0)\), y toda la probabilidad se localiza en dos paquetes de ondas claramente separados con iguales amplitudes, moviéndose uno del otro con la velocidad\(v_{\mathrm{gr}}\), cada uno “llevando la partícula lejos” con una probabilidad de\(50 \%\). Ahora supongamos que un experimento ha detectado la partícula en el lado izquierdo del pozo. Aunque los formalismos adecuados para el análisis cuantitativo del proceso de detección no serán discutidos hasta el Capítulo 7, debido a la amplia separación\(\Delta x=2 v_{\mathrm{gr}} t>>2 v_{\mathrm{gr}} \tau\) de los paquetes, podemos asumir con seguridad que dicha detección puede realizarse sin ningún efecto físico real sobre el paquete de ondas homólogas. \({ }^{36}\)Pero si sabemos que la partícula se ha encontrado en el lado izquierdo, no hay posibilidad de encontrarla en el lado derecho. Si atribuimos la función de onda completa a todas las etapas de este experimento en particular, esta situación podría ser bastante confusa. En efecto, eso significaría que la función de onda en la ubicación correcta del paquete debería convertirse instantáneamente en cero -la llamada reducción de paquetes de onda (o “colapso”) - un proceso hipotético e irreversible que no puede ser descrito por la ecuación de Schrödinger para este sistema, incluso incluyendo los detectores de partículas.

Sin embargo, si (como ya se discutió en la Sec. 1.3) atribuimos la función de onda a cierto conjunto estadístico de experimentos similares, no hay necesidad de involucrar tal noción artificial. La imagen de dos paquetes que hemos calculado (Fig. 17) describe el conjunto completo de experimentos con todos los sistemas preparados en el estado inicial (143), es decir, no depende de los resultados de detección de partículas. Por otro lado, la imagen de “paquete reducido” (sin paquete de onda a la derecha del pozo) describe solo un subconjunto de tales experimentos, en el que las partículas han sido detectadas en el lado izquierdo. Como se discutió en los ejemplos clásicos en la Sec. 1.3, para dicho conjunto redefinido la distribución de probabilidad es bastante diferente. Entonces, la “reducción de paquetes de onda” es solo el resultado de una decisión puramente contable del observador. \({ }^{37}\)Volveré a esta importante discusión en la Sec. \(10.1\)- sobre la base de la próxima discusión de sistemas abiertos en los Capítulos 7 y 8.

---

\({ }^{27}\)En forma analítica:\((\mathrm{AB})_{j j^{\prime}}=\sum_{j^{\prime \prime}=1}^{N} A_{i j^{\prime \prime}} B_{j^{\prime \prime \prime}}\), dónde\(N\) está el rango de la matriz (en nuestro caso actual,\(N=2\)).

\({ }^{28}\)En la literatura más antigua, a veces se le llama el efecto Townsend (o “Ramsauer-Townsend”). Sin embargo, es más común usar ese término solo para un efecto similar en la dispersión 3D, que se discutirá en el Capítulo\(3 .\)

\({ }^{29}\)Véase, por ejemplo, EM Sec. \(7.9\).

\({ }^{30}\)Esta suposición prácticamente evidente encuentra su justificación formal en la teoría de la perturbación que se discutirá en el Capítulo 6.

\({ }^{31}\)Esencialmente el único requisito es tener el tiempo de intento\(\Delta t_{\mathrm{A}}\) para ser mucho más largo que el tiempo efectivo (el tiempo instantáneo, ver Sec. \(5.3\)abajo) de hacer un túnel a través de la barrera. En la aproximación delta-funcional para la barrera, este último tiempo es igual a cero, por lo que este requisito siempre se cumple.

\({ }^{32}\)Nótese que la decadencia del estado metaestable (2.151) puede obtenerse formalmente a partir de la ecuación básica de Schrödinger (1.61) agregando una parte imaginaria\((-\Delta E / 2)\), igual a, a su propia energía\(E_{n}\). Efectivamente, en este caso la Ec. (1.62) se convierte en\(a_{n}(t)=\) const\(\times \exp \left\{-i\left(E_{n}-i \Delta E / 2\right\} t / \hbar\right\} \equiv\) const\(\times \exp \left\{-i E_{n} t / \hbar\right\} \times \exp \{-\Delta E t / 2 \hbar\}=\) const const\(\times \exp \left\{-i E_{n} t / \hbar\right\} \times \exp \{-\)\(t / 2 \tau\}\), así que eso\(W(t) \propto\left|a_{n}(t)\right|^{2} \propto \exp \{-t / \tau\}\). Tal formalismo, que oculta el origen físico de la decadencia del estado, puede ser conveniente para algunos cálculos, pero engañoso en otros casos, y no lo voy a utilizar en este curso.

\({ }^{33}\)En este tema, me atrevo a referir al lector a mi propia obra antigua K. Likharev, Int. J. Theor. Phys. 21,311 (1982), que aportó una prueba constructiva (para un sistema particular) de que en el cálculo reversible, cuya idea había sido planteada en 1973 por C. Bennett (ver, e.g., SM Sec. 2.3), la disipación de energía puede ser inferior a este aparente “límite cuántico”.

\({ }^{34}\)Véase, por ejemplo, una discusión de este tema en la monografía de V. Braginsky y F. Khalili, Quantum Measurement, Cambridge U. Press, 1992.

\({ }^{35}\)Para sistemas 2D y 3D más realistas, esta afirmación es cierta incluso si el sistema en su conjunto está confinado dentro de algún volumen cerrado, mucho mayor que el pozo potencial que alberga los estados metaestables. En efecto, si las paredes

\({ }^{36}\)Este argumento es especialmente convincente si el tiempo de detección de la partícula es mucho más corto que el tiempo\(t_{c}=2 v_{\mathrm{gr}} t / c\), donde\(c\) está la velocidad de la luz en vacío, es decir, la velocidad máxima de cualquier transferencia de información.

\({ }^{37}\)“El colapso de la función ondadespués de la medición no representa más que la actualización de las expectativas de ese científico”. N. D. Mermin, Phys. Hoy, 72, 53 (ene. de 2013).