6.4: El efecto Zeeman

Ahora, estamos listos para revisar el efecto Zeeman: la división del nivel atómico por un campo magnético externo. \({ }^{17}\)Usando la Ec. (3.26)\(q=-e\), con, para la descripción del movimiento orbital del electrón en el campo, y el Pauli Hamiltoniano (4.163), con\(\gamma=-e / m_{\mathrm{e}}\), para la interacción del espín electrónico con el campo, vemos que incluso para un hidrógeno (es decir, un solo electrón ) atomo/ion, descuidando los efectos relativistas, el hamiltoniano completo está más bien involucrado:\[\hat{H}=\frac{1}{2 m_{\mathrm{e}}}(\hat{\mathbf{p}}+e \hat{\mathbf{A}})^{2}-\frac{Z e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r}+\frac{e}{m_{\mathrm{e}}} \mathscr{B} \cdot \hat{\mathbf{S}}\]

Hay varias simplificaciones que podemos hacer. Primero, supongamos que el campo externo es espacial-uniforme en la escala atómica (lo cual es una muy buena aproximación para la mayoría de los casos), de manera que podamos tomar su potencial vectorial en un calibre axialmente simétrico - cf. Ec. (3.132):\[\mathbf{A}=\frac{1}{2} \mathscr{B} \times \mathbf{r} .\] Segundo, descuidemos los términos proporcional a\(\mathscr{B}^{2}\), que son pequeños en campos magnéticos prácticos del orden de unas pocas teslas. \({ }^{18}\)El término restante en la energía cinética efectiva, que describe la interacción con el campo magnético, es lineal en el operador de momento, de manera que podemos repetir el cálculo clásico estándar\({ }^{19}\) para reducirlo al producto de\(\mathscr{B}\) por el orbital componente del momento magnético\(m_{z}=-\)\(e L_{z} / 2 m_{\mathrm{e}}\) - además de eso ambos\(m_{z}\) y\(L_{z}\) deben ser entendidos como operadores ahora. Como resultado, el hamiltoniano (63) se reduce a la Ec. (1)\(\hat{H}^{(0)}+\hat{H}^{(1)}\),, donde\(\hat{H}^{(0)}\) está el del átomo en\(\mathscr{B}=0\), y\[\hat{H}^{(1)}=\frac{e \mathscr{R}}{2 m_{\mathrm{e}}}\left(\hat{L}_{z}+2 \hat{S}_{z}\right)\] Esta expresión inmediatamente revela la mayor complicación con el análisis del efecto Zeeman. Es decir, en comparación con las contribuciones orbitales y espinas iguales al momento angular total (5.170) del electrón, su espín produce una contribución dos veces mayor al momento magnético, de manera que el lado derecho de la Ec. (65) no es proporcional al momento angular total\(\mathbf{J}\). En consecuencia, la descripción del efecto es simple solo en dos límites.

Si el campo magnético es tan alto que sus efectos son mucho más fuertes que los efectos relativistas (finestructura) discutidos en la sección anterior, podemos tratar los dos términos en la ecuación (65) como perturbaciones independientes de diferentes grados de libertad (orbital y espín). Dado que cada una de las matrices de perturbación es diagonal en su\(z\) propia base, podemos volver a usar la Eq. (27) para escribir\[E-E^{(0)}=\frac{e \mathscr{B}}{2 m_{\mathrm{e}}}\left(\left\langle n, l, m_{l}\left|\hat{L}_{z}\right| n, l, m_{l}\right\rangle+2\left\langle m_{s}\left|\hat{S}_{z}\right| m_{s}\right\rangle\right)=\frac{e \mathscr{B}}{2 m_{\mathrm{e}}}\left(\hbar m_{l}+2 \hbar m_{s}\right)=\mu_{\mathrm{B}} \mathscr{B}\left(m_{l} \pm 1\right) .\] Este resultado describe la división de cada nivel de energía\(2 \times(2 l+1)\) -degenerado, con ciertos\(n\) y\(l\), en ( \(2 l\)+3) niveles (Fig. 5), con la distancia de nivel adyacente de\(\mu_{\mathrm{B}} \mathscr{B}\), del orden de\(10^{-4} \mathrm{eV}\) por tesla.

Fig. 6.5. El efecto Paschen-Back.

Tenga en cuenta que todos los niveles, estos además de los superiores e inferiores, permanecen doblemente degenerados. Este límite del efecto Zeeman a veces se llama el efecto Paschen-Back - cuya simplicidad fue reconocida sólo en el\(1920 \mathrm{~s}\), debido a la necesidad en campos magnéticos muy altos para su observación.

En el límite opuesto de campos magnéticos relativamente bajos, el efecto Zeeman tiene lugar en el fondo de la división de estructura fina mucho más grande. Como se discutió en la Sec. 3, en\(\mathscr{R}=0\) cada subnivel dividido tiene una degeneración\(2 \times(2 j+1)\) -fold correspondiente a\((2 j+1)\) diferentes valores del número cuántico semientero\(m_{j}\), que van desde\(-j\) a\(+j\), y dos valores del entero\(l=j \mp 1 / 2-\) ver Fig. \(4 .^{20}\)El campo magnético levanta esta degeneración. En efecto, en la representación acoplada discutida en la Sec. 5.7, la perturbación (65) es descrita por la matriz con elementos\[\begin{aligned} H^{(1)} &=\frac{e \mathscr{B}}{2 m_{\mathrm{e}}}\left\langle j, m_{j}\left|\hat{L}_{z}+2 \hat{S}_{z}\right| j^{\prime}, m_{j^{\prime}}\right\rangle \equiv \frac{e \mathscr{B}}{2 m_{\mathrm{e}}}\left\langle j, m_{j}\left|\hat{J}_{z}+\hat{S}_{z}\right| j^{\prime}, m_{j^{\prime}}\right\rangle \\ &=\frac{e \mathscr{B}}{2 m_{\mathrm{e}}}\left(\hbar m_{j} \delta_{m_{j} m_{j^{\prime}}}+\left\langle j, m_{j}\left|\hat{S}_{z}\right| j^{\prime}, m_{j^{\prime}}\right\rangle\right) . \end{aligned}\] Para deletrear el segundo término, usemos la expansión general (5.183) para el caso particular\(s=\)\(1 / 2\), cuando (como se discutió en el final de la Sec. 5.7) tiene como máximo dos términos que no desaparecen, con los coeficientes Clebsh-Gordan (5.190):\[\begin{aligned} &\left|j=l \pm 1 / 2, m_{j}\right\rangle \\ &=\pm\left(\frac{l \pm m_{j}+1 / 2}{2 l+1}\right)^{1 / 2}\left|m_{l}=m_{j}-1 / 2, m_{s}=+1 / 2\right\rangle+\left(\frac{l \mp m_{j}+1 / 2}{2 l+1}\right)^{1 / 2}\left|m_{l}=m_{j}+1 / 2, m_{s}=-1 / 2\right\rangle . \end{aligned}\] Teniendo en cuenta que el operador\(\hat{S}_{z}\) da paréntesis distintos de cero solo para\(m_{s}=m_{s^{\prime}}\), la\(2 \times 2\) matriz de elementos\(\left\langle m_{l}=m_{j} \pm 1 / 2, m_{\mathrm{s}}=\mp 1 / 2\left|\hat{S}_{z}\right| m_{l}=m_{j} \pm 1 / 2, m_{\mathrm{s}}=\mp 1 / 2\right\rangle\) es diagonal, por lo que podemos usar la Eq. (27) para obtener\[\begin{aligned} E-E^{(0)} &=\frac{e \mathscr{R}}{2 m_{\mathrm{e}}}\left[\hbar m_{j}+\frac{\hbar}{2} \frac{\left(l \pm m_{j}+1 / 2\right)}{2 l+1}-\frac{\hbar}{2} \frac{\left(l \mp m_{j}+1 / 2\right)}{2 l+1}\right] \\ & \equiv \frac{e \mathscr{B}}{2 m_{\mathrm{e}}} \hbar m_{j}\left(1 \pm \frac{1}{2 l+1}\right) \equiv \mu_{\mathrm{B}} \mathscr{R} m_{j}\left(1 \pm \frac{1}{2 l+1}\right), \quad \text { for }-j \leq m_{j} \leq+j \end{aligned}\] donde los dos signos corresponden a los dos valores posibles de\(l=j \mp 1 / 2-\) ver Fig. 6.

Fig. 6.6. El anómalo efecto Zeeman en un átomo/ion similar al hidrógeno.

Vemos que el campo magnético divide cada subnivel de la estructura fina, con un dado\(l\), en\(2 j+\) 1 niveles equidistantes, dependiendo la distancia entre los niveles\(l\). A finales\(1890 \mathrm{~s}\), cuando se observó por primera vez el efecto Zeeman, no había ninguna noción de giro, por lo que a este desconcertante resultado se le llamó el anómalo efecto Zeeman. (En esta terminología, el efecto Zeeman normal es el que no tiene división de espín, es decir, sin los segundos términos entre paréntesis de las Eq. (66), (67) y (69); fue observado por primera vez en 1898 por Preston Thomas en átomos con cero espín neto.)

El estricto análisis cuántico-mecánico del anómalo efecto Zeeman para arbitrarios\(s\) (lo cual es importante para aplicaciones a átomos de múltiples electrones) no es conceptualmente complejo, sino que requiere expresiones explícitas para los correspondientes coeficientes Clebsch-Gordan, que son bastante voluminosos. Permítanme citar el resultado inesperadamente simple de este análisis:\[\Delta E=\mu_{\mathrm{B}} \mathscr{M} m_{j} g,\] dónde\(g\) está el llamado factor Lande: ²¹\[g=1+\frac{j(j+1)+s(s+1)-l(l+1)}{2 j(j+1)}\]

Para\(s=1 / 2\) (y por lo tanto\(j=l \pm 1 / 2\)), este factor se reduce a los paréntesis en las últimas formas de la Ec. (69).

Es notable que las ecuaciones (70) puedan derivarse fácilmente utilizando argumentos clásicos muy plausibles, similares a los utilizados en la Sec. \(5.7\)- ver Fig. \(5.13\)y su discusión. Como se discutió en la Sec. 5.6, en ausencia de espín, la cuantificación de lo observable\(L_{z}\) es una extensión del cuadro clásico de la precesión inducida por par del vector\(\mathbf{L}\) sobre la dirección del campo magnético, de manera que la energía de interacción, proporcional a \(\mathscr{R} L_{z}=\mathscr{B} \cdot \mathbf{L}\), permanece constante\(-\) ver Fig. \(7 \mathrm{a}\). Por otro lado, en la interacción espín-órbita sin un campo magnético externo, la función hamiltoniana del sistema incluye el producto S.L, de manera que en el estado estacionario tiene que ser constante, junto con\(J^{2}, L^{2}\), y\(S^{2} .\) por lo tanto, la imagen clásica de este sistema es una precesión conjunta de los vectores\(\mathbf{S}\) y\(\mathbf{L}\) alrededor de la dirección del vector\(\mathbf{J}=\)\(\mathbf{L}+\mathbf{S}\), de tal manera que la energía de interacción espín-órbita, proporcional al producto\(\mathbf{L} \cdot \mathbf{S}\), permanece constante (Fig. \(7 \mathrm{~b}\)). En este contexto, el anómalo efecto Zeeman en un campo magnético relativamente débil\(\mathscr{B}\)\(=\mathscr{R} \mathbf{n}_{z}\) corresponde a una precesión mucho más lenta del vector\(\mathbf{J}\) alrededor del\(z\) eje -eje, “arrastrando” con él los vectores\(\mathbf{L}\) y\(\mathbf{S}\), girando rápidamente a su alrededor.

Fig. 6.7. Imágenes clásicas de (a) la cuantificación del momento angular orbital en un campo magnético, y (b) la división del nivel de estructura fina.

Esta imagen física nos permite conjeturar que lo importante para la tasa de precesión lenta son solo los vectores\(\mathbf{L}\) y\(\mathbf{S}\) promediados durante el periodo de su precesión mucho más rápida alrededor del vector\(\mathbf{J}-\) en otras palabras, solo sus componentes \(\mathbf{L}_{J}\)y\(\mathbf{S}_{J}\) a lo largo del vector\(\mathbf{J}\). Clásicamente, estos componentes pueden calcularse como\[\mathbf{L}_{J}=\frac{\mathbf{L} \cdot \mathbf{J}}{J^{2}} \mathbf{J}, \quad \text { and } \mathbf{S}_{J}=\frac{\mathbf{S} \cdot \mathbf{J}}{J^{2}} \mathbf{J} .\] Los productos escalares que participan en estas expresiones pueden expresarse fácilmente a través de las longitudes cuadradas de los vectores, usando las siguientes fórmulas geométricas:\[S^{2}=(\mathbf{J}-\mathbf{L})^{2} \equiv J^{2}+L^{2}-2 \mathbf{L} \cdot \mathbf{J}, \quad L^{2}=(\mathbf{J}-\mathbf{S})^{2} \equiv J^{2}+S^{2}-2 \mathbf{J} \cdot \mathbf{S} .\] Como resultado, obtenemos el siguiente promedio de tiempo:\[\begin{aligned} \overline{L_{z}+2 S_{z}} &=\left(\mathbf{L}_{J}+2 \mathbf{S}_{J}\right)_{z}=\left(\frac{\mathbf{L} \cdot \mathbf{J}}{J^{2}} \mathbf{J}+2 \frac{\mathbf{S} \cdot \mathbf{J}}{J^{2}} \mathbf{J}\right)_{z}=\frac{J_{z}}{J^{2}}(\mathbf{L} \cdot \mathbf{J}+2 \mathbf{S} \cdot \mathbf{J}) \\ &=J_{z} \frac{\left(J^{2}+L^{2}-S^{2}\right)+2\left(J^{2}+S^{2}-L^{2}\right)}{2 J^{2}} \equiv J_{z}\left(1+\frac{J^{2}+S^{2}-L^{2}}{2 J^{2}}\right) . \end{aligned}\] El último movimiento es para contrabandear algunas mecánicas cuánticas usando, en lugar de las longitudes vectoriales al cuadrado y el\(z\) -componente de\(J_{z}\), sus valores propios dados por las ecuaciones (5.169), (5.175) y (5.177). Como resultado, llegamos de inmediato a las ecuaciones exactas (70). Esta coincidencia anima a pensar en la mecánica cuántica de los momentos angulares en los términos clásicos de la precesión inducida por par, lo que resulta muy fructífero en algunos problemas más complejos de la física atómica y molecular.

El límite de campo alto y los límites de campo bajo del efecto Zeeman, descritos respectivamente por las ecuaciones (66) y (69), están separados por un rango de campo medio, en el que la división de Zeeman es del orden de la división de estructura fina analizada en\(\mathrm{Sec}\). 3. No hay tiempo en este curso para un análisis cuantitativo de este cruce. \({ }^{22}\)

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\({ }^{17}\)Fue descubierto experimentalmente en 1896 por Pieter Zeeman quien, asombrosamente, fue despedido de la Universidad de Leiden por uso no autorizado de equipo de laboratorio para esta obra, ¡solo para recibir un Premio Nobel por ello en unos años!

\({ }^{18}\)A pesar de su pequeñez, el término cuadrático es necesario para una descripción de la contribución negativa del movimiento orbital a la susceptibilidad magnética\(\chi_{\mathrm{m}}\) (el llamado diamagnetismo orbital, ver EM Sec. 5.5), cuyo análisis, utilizando la Ec. (63), se deja para el lector ejercicio.

\({ }^{19}\)Véase, por ejemplo, EM Sec. 5.4, en particular las ecuaciones (5.95) y (5.100).

\({ }^{20}\)En los átomos casi similares a hidrógeno, pero más complejos (como los de los metales alcalinos), la degeneración en\(l\) puede ser levantada por la interacción electrón-electrón Coulomb incluso en ausencia de campo magnético externo.

\({ }^{21}\)Esta fórmula se usa frecuentemente con letras mayúsculas\(J, S\), y\(L\), que denotan los números cuánticos del átomo como un todo.

\({ }^{22}\)Para una discusión más completa de los efectos Stark, Zeeman y de estructura fina en átomos, puedo recomendar, por ejemplo, ya sea la monografía de G. Woolgate citada anteriormente, o la de I. Sobelman, Theory of Atomic Spectra, Alpha Science,\(2006 .\)