6.6: Regla de oro cuánto-mecánica

Uno de los resultados de la sección pasada, la Ec. (102), puede ser utilizado para derivar uno de los resultados más importantes y no triviales de la mecánica cuántica. Para ello, consideremos el caso cuando la perturbación provoca transiciones cuánticas de un nivel de energía discreta\(E_{n}\), a un grupo de autoestados con un espectro muy denso (esencialmente continuo)\(E_{n}-\) ver Fig. 10a.

Fig. 6.10. Derivando la Regla de Oro: a) el esquema de nivel energético, y b) la función bajo la integral (108).

Si, para todos los estados\(n\) del grupo, se cumplen las siguientes condiciones\[\left|A_{n n^{\prime}}\right|^{2}<<\left(\hbar \Delta_{n n^{\prime}}\right)^{2}<<\left(\hbar \omega_{n n^{\prime}}\right)^{2},\] entonces la Ec. (102) coincide con el resultado que seguiría de la Ec. (90). Esto significa que podemos aplicar la Ec. (102), con los índices\(n\) y\(n\) 'debidamente restaurados, a cualquier nivel\(n\) de nuestro grupo apretado. En consecuencia, la probabilidad total de que nuestro sistema se transfiera del nivel inicial\(n\) 'a ese grupo es\[W_{\Sigma}(t)=\sum_{n} W_{n}(t)=\frac{4}{\hbar^{2}} \sum_{n} \frac{\left|A_{n n^{\prime}}\right|^{2}}{\Delta_{n n^{\prime}}^{2}} \sin ^{2} \frac{\Delta_{n n} t}{2} .\] Ahora viene el truco principal, absolutamente hermoso: supongamos que la suma sobre\(n\) se limita a un grupo apretado de estados muy similares cuyos elementos de matriz\(A_{n n}\) 'son prácticamente similares (verificaremos la validez de esta suposición más adelante), para que podamos\(\left|A_{n n}\right|^{2}\) sacar de la suma en la ecuación (107) y luego reemplazar la suma con la integral correspondiente:

\[W_{\Sigma}(t)=\frac{4\left|A_{n n^{\prime}}\right|^{2}}{\hbar^{2}} \int \frac{1}{\Delta_{n n^{\prime}}^{2}} \sin ^{2} \frac{\Delta_{n n^{\prime}} t}{2} d n \equiv \frac{4\left|A_{n n^{\prime}}\right|^{2} \rho_{n} t}{\hbar} \int \frac{1}{\left(\Delta_{n n^{\prime}} t\right)^{2}} \sin ^{2} \frac{\Delta_{n n^{\prime}} t}{2} d\left(-\Delta_{n n^{\prime}} t\right),\]donde\(\rho_{n}\) está la densidad de los estados\(n\) en el eje de energía:\[\rho_{n} \equiv \frac{d n}{d E_{n}} .\] Esta densidad y el elemento matriz\(A_{n n}\), tienen que ser evaluados en\(\Delta_{n n^{\prime}}=0\), es decir, en energía\(E_{n}=E_{n^{\prime}}+\hbar \omega\), y se supone que son constantes dentro del grupo estatal final. Al fijo\(E_{n}\), la función bajo integral (108) es pareja y disminuye rápidamente en\(\left|\Delta_{n n} \cdot t\right|>>1-\) ver Fig. 10b. De ahí que podamos introducir una variable de integración adimensional\(\xi \equiv \Delta_{n n} \cdot t\), y extender la integración sobre ella formalmente de\(-\infty\) a\(+\infty\). Entonces la integral en la Ec. (108) se reduce a una tabla uno,\({ }^{36}\) y rinde\[W_{\Sigma}(t)=\frac{4\left|A_{n n^{\prime}}\right|^{2} \rho_{n} t^{+\infty}}{\hbar} \int_{-\infty}^{1} \frac{1}{\xi^{2}} \sin ^{2} \frac{\xi}{2} d \xi=\frac{4\left|A_{n n^{\prime}}\right|^{2} \rho_{n} t}{\hbar} \frac{\pi}{2} \equiv \Gamma t,\] donde la constante\[\Gamma=\frac{2 \pi}{\hbar}\left|A_{n n^{\prime}}\right|^{2} \rho_{n}\] se llama tasa de transición. \({ }^{37}\)Este es uno de los resultados más famosos y útiles de la mecánica cuántica, su Regla de Oro\(^{38}\), que merece mucha discusión.

En primer lugar, reproduzcamos el razonamiento ya utilizado en la Sec. \(2.5\)para demostrar que el significado de la tasa\(\Gamma\) es mucho más profundo de lo que parece implicar la ecuación (110). En efecto, debido a la conservación de la probabilidad total,\(W_{n}+W_{\Sigma}=1\), podemos reescribir esa ecuación como\[\left.\dot{W}_{n^{\prime}}\right|_{t=0}=-\Gamma\] Evidentemente, este resultado no puede ser cierto para todos los tiempos, de lo contrario la probabilidad\(W_{n}\), se volvería negativa. La razón de esta aparente contradicción es que la Ec. (110) se obtuvo en el supuesto de que inicialmente, el sistema estaba completamente a nivel\(n^{\prime}: W_{n}(0)=1\). Ahora bien, si en el momento inicial el valor de\(W_{n}\), es diferente, el resultado (110) tiene que ser multiplicado por ese número, debido a la relación lineal (88) entre\(d a_{n} / d t\) y\(a_{n}\). De ahí que en lugar de la Ec. (112) obtenemos una ecuación diferencial similar a la Ec. (2.159), la\[\left.\dot{W}_{n^{\prime}}\right|_{t \geq 0}=-\Gamma W_{n^{\prime}},\] cual, para un tiempo independiente\(\Gamma\), tiene la solución evidente,\[W_{n^{\prime}}(t)=W_{n^{\prime}}(0) e^{-\Gamma t},\] describiendo la decadencia exponencial de la ocupación del estado inicial, con la constante de tiempo\(\tau=1 / \Gamma\).

Invito al lector a revisar de nuevo este fascinante resultado: por la suma de oscilaciones periódicas (102) a lo largo de muchos niveles\(n\), tenemos una decadencia exponencial (114) de la probabilidad. Este truco se hace posible porque el rango efectivo\(\Delta E_{n}\) de las energías estatales que\(E_{n}\) dan contribuciones sustanciales a la integral (108), se reduce con el tiempo:\(\Delta E_{n} \sim \hbar / t .{ }^{39}\) Sin embargo, ya que la mayor parte de la decadencia (114) tiene lugar dentro del intervalo de tiempo del orden de\(\tau \equiv 1 / \Gamma\), el alcance de las energías finales participantes puede estimarse como\[\Delta E_{n} \sim \frac{\hbar}{\tau} \equiv \hbar \Gamma .\] Esta estimación es muy instrumental para la formulación de condiciones de validez de la Regla de Oro. Primero, hemos asumido que los elementos de la matriz de la perturbación y la densidad de estados son independientes de la energía dentro del intervalo (115). Esto da el siguiente requisito\[\Delta E_{n} \sim \hbar \Gamma<<E_{n}-E_{n^{\prime}} \sim \hbar \omega,\] Segundo, para la transferencia de la suma (107) a la integral (108), necesitamos que el número de estados dentro de ese intervalo de energía\(\Delta N_{n}=\rho_{n} \Delta E_{n}\),, sea mucho mayor que 1. Fusionando la Eq. (116) con la Ec. (92) para todos los niveles de energía que\(n^{\prime \prime} \neq n, n^{\prime}\) no participan en la transición resonante, podemos resumir todas las condiciones de la validez de la Regla de Oro como\[\rho_{n}^{-1}<<\hbar \Gamma<\hbar\left|\omega \pm \omega_{n^{\prime} n^{\prime \prime}}\right|\] (El lector puede preguntar si he descuidado la condición expresada por la primera de las Ecuaciones (106). No obstante, para\(\Delta_{n n} \sim \Delta E_{n} / \hbar \sim \Gamma\), esta condición es justa\(\left|A_{n n}\right|^{2}<<(\hbar \Gamma)^{2}\), para que conectarlo a la Eq. (111),\[\Gamma<<\frac{2 \pi}{\hbar}(\hbar \Gamma)^{2} \rho_{n},\] y cancelando uno\(\Gamma\) y uno\(\hbar\), vemos que coincide con la primera relación en la Ec. (117) anterior.)

Echemos un vistazo a si estas condiciones pueden cumplirse en la práctica, al menos en algunos casos. Por ejemplo, consideremos la ionización óptica de un átomo, con el electrón liberado confinado en un volumen del orden de\(1 \mathrm{~cm}^{3} \equiv 10^{-6} \mathrm{~m}^{3}\). De acuerdo con la Ec. (1.90), con\(E\) del orden de la energía de ionización atómica\(E_{n}-E_{n}=\hbar \omega \sim 1 \mathrm{eV}\), la densidad de los estados de electrones en ese volumen es del orden de\(10^{21} 1 / \mathrm{eV}\), mientras que el lado derecho de la Ec. (117) es del orden de\(E_{n} \sim 1 \mathrm{eV}\). Así, las condiciones (117) proporcionan un rango de aproximadamente 20 -órdenes de magnitud para valores aceptables de\(\hbar \Gamma\). Esta ilustración debería dar al lector una muestra de por qué la Regla de Oro es aplicable a tantas situaciones.

Por último, también es muy importante el cuadro físico de la decadencia del estado inicial (que también será la clave de nuestra discusión sobre los sistemas “abiertos” cuánto-mecánicos en el próximo capítulo). De acuerdo con la Ec. (114), la excitación externa transfiere el sistema al espectro continuo de niveles\(n\), y nunca vuelve al nivel inicial\(n\) '. Sin embargo, se derivó de la mecánica cuántica de los sistemas hamiltonianos, cuyas ecuaciones son invariantes con respecto a la inversión del tiempo. Esta paradoja es resultado de nuestra generalización (113) del resultado exacto (112) Este truco, rompiendo la simetría temporal eversal, es absolutamente adecuado para la física en estudio. En efecto, se puede obtener alguna sensación intestinal del sentido físico de esta irreversibilidad a partir de la siguiente observación. Como ilustra la Ec. (1.86), la distancia entre los niveles de energía orbitales adyacentes tiende a cero solo si el tamaño del sistema va al infinito. Esto significa que nuestra suposición del espectro energético continuo de los estados finiales requiere\(n\) esencialmente que estos estados se extiendan ampliamente en el espacio, ya sea siendo ondas libres o esencialmente libres de Broglie. Así, la Regla de Oro corresponde a la suposición (físicamente justificada) de que en un sistema infinitamente grande, las ondas viajeras de Broglie excitadas por una fuente local y que se propagan hacia afuera de ella, nunca volverían, e incluso si lo hicieran, cambios de fase impredecibles introducidos por menores incontrolables las perturbaciones en su camino nunca les permitirían resumir de la manera coherente necesaria para que el sistema vuelva al estado inicial\(n\) '. (Esta es esencialmente la misma situación que se discutió, para un sistema mecánico de ondas 1D particular, en la Sec. 2.5.) \(4^{40}\)

Para tener una idea de la Regla de Oro en el trabajo, apliquémosla al siguiente problema sencillo que es un modelo de juguete del efecto fotoeléctrico, discutido brevemente en la Sec. 1.1 (ii). Una partícula 1D es inicialmente atrapada en el estado fundamental de un pozo de potencial estrecho, descrito por la Ec. (2.158):\[U(x)=-W \delta(x), \quad \text { with } w>0 .\] Calculemos la velocidad\(\Gamma\) de la “ionización” de la partícula (es decir, su excitación en un grupo de estados extendidos y deslocalizados) por una débil fuerza sinusoidal clásica de amplitud\(F_{0}\) y frecuencia\(\omega\), de repente se encendieron en algún instante, digamos\(t=0\).

Como recordatorio, el estado localizado inicial (en nuestra notación actual,\(n\) ') de tal partícula ya se encontró en la Sec. 2.6:\[\psi_{n^{\prime}}(x)=\kappa^{1 / 2} \exp \{-\kappa|x|\}, \quad \text { with } \kappa \equiv \frac{m w}{\hbar^{2}}, \quad E_{n^{\prime}} \equiv-\frac{\hbar^{2} \kappa^{2}}{2 m}=-\frac{m w^{2}}{2 \hbar^{2}} .\] Los estados finales, extendidos\(n\), con un espectro continuo, para este problema existen sólo en las energías\(E_{n}>0\), de modo que el tasa de excitación es diferente de cero solo para frecuencias\[\omega>\omega_{\min } \equiv \frac{\left|E_{n^{\prime}}\right|}{\hbar}=\frac{m w^{2}}{2 \hbar^{3}} .\] La fuerza sinusoidal débil puede ser descrita por la siguiente perturbación hamiltoniana, de\[\hat{H}^{(1)}=-F(t) \hat{x}=-F_{0} \hat{x} \cos \omega t \equiv-\frac{F_{0}}{2} \hat{x}\left(e^{i \omega t}+e^{-i \omega t}\right), \quad \text { for } t>0,\] manera que de acuerdo con la Ec. (86), que sirve como definición del operador de amplitud, en este caso\[\hat{A}=\hat{A}^{\dagger}=-\frac{F_{0}}{2} \hat{x} .\] Los elementos de la matriz \(A_{n n}\), que participan en la Ec. (111) pueden calcularse fácilmente en la representación de coordenadas:

\[A_{n n^{\prime}}=\int_{-\infty}^{+\infty} \psi_{n}^{*}(x) \hat{A}(x) \psi_{n^{\prime}}(x) d x=-\frac{F_{0}}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \psi_{n}^{*}(x) x \psi_{n^{\prime}}(x) d x .\]Dado que, según la Ec. (120), la inicial\(\psi_{n}\) 'es una función simétrica de\(x\), las contribuciones que no se desvanecen a esta integral están dadas solo por funciones antisimétricas\(\psi_{n}(x)\), proporcionales a\(\sin k_{n} x\), con el número de onda \(k_{n}\)relacionados con la energía final por la igualdad bien familiar (1.89):\[\frac{\hbar^{2} k_{n}^{2}}{2 m}=E_{n} .\] Como sabemos por la Sec. \(2.6\)(véase en particular la Ec. (2.167) y su discusión), tales funciones antisimétricas, con\(\psi_{n}(0)=0\), no se ven afectadas por el potencial delta-funcional centrado en cero (119), de manera que su densidad\(\rho_{n}\) es la misma que en el espacio completamente libre, y nosotros podría usar la Eq. (1.100). Sin embargo, dado que esa relación se derivó para las olas viajeras, es más prudente repetir su derivación para las ondas estacionarias, confinándolas a un segmento artificial\([-l / 2,+l / 2]-\) largo en el sentido\[k_{n} l, \kappa l>>1 \text {, }\] por lo que no afecta el estado localizado inicial y el proceso de excitación. Entonces el requisito de confinamiento cede\(\psi_{n}(\pm l / 2)=0\) inmediatamente la condición\(k_{n} l / 2=n \pi\), por lo que la Ec. (1.100) es efectivamente válida, pero sólo para valores positivos de\(k_{n}\), porque\(\sin k_{n} x\) con\(k_{n} \rightarrow-k_{n}\) no describe un independiente estado propio de onda estacionaria. De ahí que la densidad del estado final\[\rho_{n} \equiv \frac{d n}{d E_{n}} \equiv \frac{d n}{d k_{n}} / \frac{d E_{n}}{d k_{n}}=\frac{l}{2 \pi} / \frac{\hbar^{2} k_{n}}{m} \equiv \frac{l m}{2 \pi \hbar^{2} k_{n}} .\] sea Puede parecer preocupante que la densidad de estados dependa de la longitud del segmento artificial\(l\), pero el mismo\(l\) también participa en el factor de normalización de las funciones de onda finales,\({ }^{41}\)\[\psi_{n}=\left(\frac{2}{l}\right)^{1 / 2} \sin k_{n} x \text {, }\] y de ahí en el elemento matriz (124):\[A_{n n^{\prime}}=-\frac{F_{0}}{2}\left(\frac{2 \kappa}{l}\right)^{1 / 2} \int_{-l}^{+l} \sin k_{n} x e^{-\kappa|x|} x d x .=-\frac{F_{0}}{2 i}\left(\frac{2 \kappa}{l}\right)^{1 / 2}\left(\int_{0}^{l} e^{\left(i k_{n}-\kappa\right) x} x d x-\int_{0}^{l} e^{-\left(i k_{n}+\kappa\right) x} x d x\right) .\] Estas dos integrales pueden ser fácilmente elaboradas por partes. Teniendo en cuenta que debido a la condición (126), sus límites superiores pueden extenderse a\(\infty\), el resultado es\[A_{n n^{\prime}}=-\left(\frac{2 \kappa}{l}\right)^{1 / 2} F_{0} \frac{2 k_{n} \kappa}{\left(k_{n}^{2}+\kappa^{2}\right)^{2}} .\] Tenga en cuenta que el elemento matriz es una función suave de\(k_{n}\) (y por lo tanto de\(E_{n}\)), por lo que una condición importante del Dorado Regla, la constancia virtual de\(A_{n n}\) 'en el intervalo\(\Delta E_{n} \sim \hbar \Gamma<<E_{n}\), se satisface. Entonces, la ecuación general (111) se reduce, para nuestro problema, a la siguiente expresión:

\[\Gamma=\frac{2 \pi}{\hbar}\left[\left(\frac{2 \kappa}{l}\right)^{1 / 2} F_{0} \frac{2 k_{n} \kappa}{\left(k_{n}^{2}+\kappa^{2}\right)^{2}}\right]^{2} \frac{l m}{2 \pi \hbar^{2} k_{n}} \equiv \frac{8 F_{0}^{2} m k_{n} \kappa^{3}}{\hbar^{3}\left(k_{n}^{2}+\kappa^{2}\right)^{4}},\]que es independiente de lo introducido\(l\) artificialmente, justificando así su uso.

Tenga en cuenta que debido a las definiciones anteriores de\(k_{n}\) y\(\kappa\), la expresión entre paréntesis en el denominador de la última expresión no depende del “peso” del pozo potencial\(w\), y es función únicamente de la frecuencia de excitación \(\omega\)(y la masa de la partícula):\[\frac{\hbar^{2}\left(k_{n}^{2}+\kappa^{2}\right)}{2 m}=E_{n}-E_{n^{\prime}}=\hbar \omega \text {. }\] Como resultado, la ecuación (131) puede ser refundida simplemente como\[\hbar \Gamma=\frac{F_{0}^{2} w^{3} k_{n}}{2(\hbar \omega)^{4}} .\] Lo que se oculta aquí es que\(k_{n}\), definido por la ecuación (125) con\(E_{n}=E_{n}{ }^{\prime}+\hbar \omega\), es una función de la frecuencia de la fuerza externa, cambiando como\(\omega^{1 / 2}\) en \(\omega>>\omega_{\min }\)(de manera que\(\Gamma\) cae como\(\omega^{-7 / 2}\) en\(\omega \rightarrow \infty\)), y como\(\left(\omega-\omega_{\min }\right)^{1 / 2}\) cuando se\(\omega\) acerca al “límite rojo” (121) del efecto de ionización, de manera que\(\Gamma \propto\left(\omega-\omega_{\min }\right)^{1 / 2} \rightarrow 0\) en ese límite también.

Un análisis conceptualmente muy similar, pero un poco más involucrado de tal efecto en un caso 3D más realista, a saber, la ionización del átomo de hidrógeno por una onda óptica, se deja para el ejercicio del lector.

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\({ }^{36}\)Véase, por ejemplo, MA Ec. (6.12).

\({ }^{37}\)En algunos textos, la densidad de estados en la Ec. (111) es reemplazada por una expresión formal\(\sum \delta\left(E_{n}-E_{n^{\prime}}-\hbar \omega\right)\). En efecto, aplicado a un intervalo de energía finito\(\Delta E_{n}\) con\(\Delta n \gg 1\) niveles, da el mismo resultado:\(\Delta n \equiv\left(d n / d E_{n}\right) \Delta E_{n} \equiv \rho_{n} \Delta E_{n}\). Dicho reemplazo puede ser técnicamente útil en algunos casos, pero es incorrecto para\(\Delta n \sim 1\), y por lo tanto debe usarse con el máximo cuidado, de manera que para la mayoría de las aplicaciones es preferible la forma más explícita (111).

\({ }^{38}\)A veces el Eq. (111) se llama “La regla de oro de Fermi”. Esto es bastante injusto, porque este resultado fue desarrollado principalmente por el mismo P. A. M. Dirac en 1927, y el papel de Enrico Fermi no fue mucho más que publicarlo, bajo el nombre de “Regla de Oro No. 2", en sus influyentes notas de conferencia sobre física nuclear, que fueron publicadas mucho más tarde, en 1950. (Para ser justo con Fermi, nunca ha tratado de hacerse pasar por el autor de la Regla de Oro.)

\({ }^{39}\)Esta es una aparición más de la “relación de incertidumbre energía-tiempo”, que se discutió en la Sec. \(2.5\).

\({ }^{40}\)Esta situación también es similar al incremento irreversible de la entropía de los sistemas macroscópicos, a pesar de que sus componentes microscópicos obedecen leyes reversibles del movimiento, lo cual se postula en la termodinámica y se explica en la física estadística - ver, e.g., SM Secs. \(1.2\)y\(2.2 .\)

\({ }^{41}\)La normalización a volumen infinito, usando la Ec. (4.263), también es posible, pero físicamente menos transparente.