6.7: Regla de oro para perturbaciones escalonadas

Ahora reutilicemos algunos de nuestros resultados para que una perturbación se encienda en\(t=0\), pero después de ese tiempo independiente:\[\hat{H}^{(1)}(t)= \begin{cases}0, & \text { for } t<0 \\ \hat{H}=\mathrm{const}, & \text { for } t \geq 0\end{cases}\] Una comparación superficial de esta igualdad y la ex Eq. (86) parece indicar que podemos usar todos nuestros resultados anteriores, tomando\(\omega=0\) y reemplazando\(\hat{A}+\hat{A}^{\dagger}\) con\(\hat{H}^{(1)}\). Sin embargo, esa conclusión (que nos daría un factor equivocado de 2 en el resultado) no toma en cuenta el hecho de que analizando tanto la aproximación de dos niveles en la Sec. 5, como la Regla de Oro en la Sec. 6, hemos bajado el segundo término (no resonante) en la Ec. (90). En nuestro caso actual (134), con\(\omega=0\), no existe tal diferencia entre estos términos. Por ello es más prudente utilizar la ecuación general (84),\[i \hbar \dot{a}_{n}=\sum_{n^{\prime}} a_{n^{\prime}} H_{n n^{\prime}} e^{i \omega_{n n^{\prime}}},\] en la que el elemento matriz de la perturbación es ahora independiente del tiempo en\(t>0\). Vemos que es formalmente equivalente a la Ec. (88) con sólo el primer término (resonante) guardado, si hacemos los siguientes reemplazos:\[\hat{A} \rightarrow \hat{H}, \quad \Delta_{n n^{\prime}} \equiv \omega-\omega_{n n^{\prime}} \rightarrow-\omega_{n n^{\prime}} .\] Usemos esta equivalencia para considerar los resultados del acoplamiento entre un estado discreto-energético\(n\) ', en el que se coloca inicialmente la partícula, y un grupo denso de estados con un espectro cuasi-continuo, en el mismo rango de energía. La Figura 11 a muestra un ejemplo de dicho sistema: una partícula se coloca inicialmente (digamos, at\(t\)\(=0\)) en un pozo potencial separado por una barrera de potencial penetrable de una región formalmente infinita con un espectro de energía continuo. Permítanme esperar que la discusión física en la última sección haga evidente el resultado de tal experimento: la partícula saldrá gradual e irreversiblemente del pozo, de manera que la probabilidad\(W_{n} \cdot(t)\) de que aún resida en el pozo se descomponga de acuerdo con la Ec. (114). La tasa de esta decadencia se puede encontrar haciendo los reemplazos (136) en la Ec. (111):\[\Gamma=\frac{2 \pi}{\hbar}\left|H_{n n^{\prime}}\right|^{2} \rho_{n},\] donde los estados\(n\) y\(n\) 'ahora tienen prácticamente la misma energía. \({ }^{42}\)

Fig. 6.11. Tunelización de un estado de energía discreta\(n\) ': (a) a un continuo de estado, y (b) a otro estado de energía discreta\(n\).

Es muy informativo comparar este resultado, semicuantitativamente, con la Ec. (105) para un sistema simétrico\(\left(E_{n}=E_{n}\right.\)) de dos pozos potenciales separados por una barrera potencial similar -ver Fig. 11b. Para el caso simétrico, es decir\(\xi=0\), la Ec. (105) se reduce a simplemente\[\Omega=\frac{1}{\hbar}\left|H_{n n^{\prime}}\right|_{\mathrm{con}} .\] Aquí he usado el índice “con” (de “confinamiento”) para enfatizar que este elemento de matriz es algo diferente al que participa en la Ec. (137), aunque las barreras potenciales sean similares. De hecho, en este último caso, el elemento matriz,\[H_{n n^{\prime}}=\left\langle n|\hat{H}| n^{\prime}\right\rangle=\int \psi_{n^{\prime}}^{*} \hat{H} \psi_{n} d x,\] tiene que ser calculado para dos funciones de onda\(\psi_{n}\) y\(\psi_{n}\) 'confinado a intervalos espaciales de la misma escala\(l_{\text {con }}\), mientras que en la Ec. (137), las funciones de onda\(\psi_{n}\) se extienden sobre una distancia mucho mayor\(l>>l_{\text {con }}-\operatorname{see}\) Fig. 11. Como nos dice la Ec. (128), en el modelo 1D esto significa un pequeño factor adicional del orden de\(\left(l_{\text {con }} / l\right)^{1 / 2} .\) Now usando la ecuación (128) como modelo crudo pero adecuado para las funciones de onda de estado final, llegamos a la siguiente estimación, independiente de la longitud introducida artificialmente \(l\):\[\hbar \Gamma \sim 2 \pi\left|H_{n n^{\prime}}\right|_{\mathrm{con}}^{2} \frac{l_{\mathrm{con}}}{l} \rho_{n} \sim 2 \pi\left|H_{n n^{\prime}}\right|_{\mathrm{con}}^{2} \frac{l_{\mathrm{con}}}{l} \frac{l m}{2 \pi \hbar^{2} k_{n}} \sim \frac{\left|H_{n n^{\prime}}\right|_{\mathrm{con}}^{2}}{\Delta E_{n^{\prime}}} \equiv \frac{(\hbar \Omega)^{2}}{\Delta E_{n^{\prime}}}\] donde\(\Delta E_{n} \sim \hbar^{2} / m l_{\text {con }}^{2}\) está la escala de las diferencias entre las energías propias de la partícula en un pozo de potencial imperturbable. Ya que la condición de validez de la Ec. (138) es\(\hbar \Omega<<\Delta E_{n}\), vemos que

\[\hbar \Gamma \sim \frac{\hbar \Omega}{\Delta E_{n}} \hbar \Omega<<\hbar \Omega . .\]Este resultado perturbador (suficientemente general\({ }^{43}\)) confirma la conclusión de un análisis más particular realizado al final de la Sec. 2.6: la velocidad del túnel cuántico (irreversible) en un continuo de estado es siempre mucho menor que la frecuencia de cuántica (reversible) oscilaciones entre estados discretos separados con la misma barrera potencial - al menos para el caso cuando ambos son mucho más bajos que\(\Delta E_{n} / \hbar\), de manera que la teoría de la perturbación es válida. Una interpretación muy agitada de este resultado es que la partícula oscila entre el estado confinado en el pozo y los estados extendidos en el espacio detrás de la barrera muchas veces antes de finalmente “decidir realizar” una transición irreversible hacia el continuo no confinado. Esta imagen cualitativa es consistente con los efectos experimentalmente observables de ambientes electromagnéticos dispersivos en la tunelización de electrones. \({ }^{44}\)

Permítanme concluir esta sección (y este capítulo) con la aplicación de la Ec. (137) a un caso muy importante, que proporcionará una transición sin problemas al tema del siguiente capítulo. Considera un sistema compuesto compuesto por sistemas de dos componentes,\(a\) y\(b\), con los espectros de energía esbozados en la Fig. 12.

Fig. 6.12. Relajación energética en el sistema a debido a su débil acoplamiento al sistema\(\ b\) (que sirve como ambiente de\(\ a\)).

Que los sistemas sean completamente independientes inicialmente. La independencia significa que en ausencia de su acoplamiento, el total hamiltoniano del sistema puede representarse como una suma de dos operadores:\[\hat{H}^{(0)}=\hat{H}_{a}(a)+\hat{H}_{b}(b),\] donde los argumentos\(a\) y\(b\) simbolizan los conjuntos no superpuestos de los grados de libertad de los dos sistemas. Dichos operadores, pertenecientes a sus espacios individuales, diferentes de Hilbert, transitan naturalmente. De igual manera, los propios mercados del sistema pueden ser factorizados naturalmente como\[|n\rangle=\left|n_{a}\right\rangle \otimes\left|n_{b}\right\rangle .\] El producto directo\(\operatorname{sign} \otimes\) se usa aquí (y abajo) para denotar la formación de un vector ket-conjunto a partir de los kets de los sistemas independientes, pertenecientes a diferentes espacios de Hilbert. Evidentemente, el orden de los operandos en dicho producto puede cambiarse a voluntad. Como resultado, sus energías propias se separan en una suma, tal como lo hace el hamiltoniano (142):\[\hat{H}^{(0)}|n\rangle=\left(\hat{H}_{a}+\hat{H}_{b}\right)\left|n_{a}\right\rangle \otimes\left|n_{b}\right\rangle \equiv\left(\hat{H}_{a}\left|n_{a}\right\rangle\right) \otimes\left|n_{b}\right\rangle+\left(\hat{H}_{b}\left|n_{b}\right\rangle\right) \otimes\left|n_{a}\right\rangle=\left(E_{n a}+E_{n b}\right)|n\rangle .\] En tales sistemas compuestos, la interacción relativamente débil de sus componentes puede representarse generalmente como un producto bilineal de dos operadores hermitianos, cada uno dependiendo únicamente de los grados de libertad de uno sistema de componentes:\[\hat{H}^{(1)}=\hat{A}(a) \hat{B}(b) .\] Un ejemplo muy común de tal interacción es la interacción eléctrico-dipolo entre un sistema de escala atómica (con un tamaño lineal del orden del radio de Bohr\(r_{\mathrm{B}} \sim 10^{-10} \mathrm{~m}\)) y el campo electromagnético a frecuencias ópticas\(\omega \sim 10^{16} \mathrm{~s}^{-1}\), con el longitud de onda\(\lambda=2 \pi c / \omega \sim 10^{-6} \mathrm{~m} \gg r_{\mathrm{B}}:{ }^{45}\)\[\hat{H}^{(1)}=-\hat{\mathbf{d}} \cdot \hat{E}, \quad \text { with } \hat{\mathbf{d}} \equiv \sum_{k} q_{k} \hat{\mathbf{r}}_{k},\] donde el momento eléctrico dipolo\(\mathbf{d}\) depende únicamente de las posiciones\(\mathbf{r}_{k}\) de las partículas cargadas (numeradas con índice\(k\)) del sistema atómico, mientras que la del campo eléctrico \(\mathscr{E}\)es una función únicamente de los grados de libertad del campo electromagnético, que se discutirá en el Capítulo 9 a continuación.

Volviendo a la situación general mostrada en la Fig. 12, si el sistema de componentes\(a\) estaba inicialmente en un estado excitado\(n_{a}^{\prime}\), la interacción (145), encendida en algún momento del tiempo, puede llevarlo a otro estado discreto\(n_{a}\) de menor energía -por ejemplo, el estado base. En el proceso de esta transición, la energía liberada, en forma de un cuántico de energía\[\hbar \omega \equiv E_{n^{\prime} a}-E_{n a},\] es captada por el sistema\(b\):\[E_{n b}=E_{n^{\prime} b}+\hbar \omega \equiv E_{n^{\prime} b}+\left(E_{n^{\prime} a}-E_{n a}\right),\] para que la energía total\(E=E_{a}+E_{b}\) del sistema no cambie. (Si los estados\(n_{a}\) y\(n_{b}^{\prime}\) son los estados básicos de los dos sistemas componentes, como lo son en la mayoría de las aplicaciones de este análisis, y tomamos la energía\(E_{\mathrm{g}}=E_{n a}+E_{n^{\prime} b}\) del estado fundamental del sistema compuesto para la referencia, entonces la Ec. (148) da meramente \(E_{n b}=E_{n^{\prime} a}\).) Si el estado final\(n_{b}\) del sistema\(b\) está dentro de un grupo de estados con un espectro de energía cuasi-continuo (Fig. 12), el proceso tiene el carácter exponencial (114)\(4^{4}\) y puede interpretarse como el efecto de la relajación energética del sistema \(a\), con la energía cuántica liberada\(\hbar \omega\) absorbida por el sistema\(b\). Tenga en cuenta que dado que el espectro cuasi-continuo requiere esencialmente un sistema de gran tamaño espacial, dicho modelo es muy conveniente para la descripción del entorno\(b\) del sistema cuántico\(a\). (En física, el “entorno” generalmente significa todo el Universo, menos el sistema bajo consideración).

Si la tasa de relajación\(\Gamma\) es suficientemente baja, puede ser descrita por la Regla de Oro (137). Dado que la perturbación (145) no depende del tiempo explícitamente, y la energía total\(E\) no cambia, esta relación, con la cuenta de las ecuaciones (143) y (145), toma la forma\[\Gamma=\frac{2 \pi}{\hbar}\left|A_{n n^{\prime}}\right|^{2}\left|B_{n n^{\prime}}\right|^{2} \rho_{n}, \quad \text { where } A_{n n^{\prime}} \equiv\left\langle n_{a}|\hat{A}| n_{a}^{\prime}\right\rangle, \quad \text { and } B_{n n^{\prime}}=\left\langle n_{b}|\hat{B}| n_{b}^{\prime}\right\rangle,\] donde\(\rho_{n}\) está la densidad de los estados finales del sistema\(b\) a la energía relevante (147). En particular, la ecuación (149), con el dipolo hamiltoniano (146), permite un cálculo muy sencillo del ancho de línea natural de las transiciones atómicas eléctrico-dipolo. Sin embargo, dicho cálculo tiene que ser pospuesto hasta el Capítulo 9, en el que discutiremos la cuantificación del campo electromagnético -es decir, la naturaleza exacta de los estados\(n_{b}\) y\(n_{b}\) para este problema, y de ahí podremos calcular\(B_{n n^{\prime}}\) y \(\rho_{n}\). En cambio, procederé ahora a una discusión general sobre los efectos de la interacción de los sistemas cuánticos con su entorno, hacia lo cual la situación mostrada en la Fig. 12 proporciona un claro camino conceptual.

---

\({ }^{42}\)La condición de validez de la Ec. (137) viene dada nuevamente por la Ec. (117), justo con\(\omega=0\) en el límite superior para\(\Gamma\).

\({ }^{43}\)Es sencillo verificar que la estimación (141) es válida para problemas similares de cualquier dimensionalidad espacial, no solo para el caso 1D que hemos analizado.

\({ }^{44}\)Véase, por ejemplo, P. Delsing et al., Phys. Rev. Lett. 63, 1180 (1989).

\({ }^{45}\)Véase, por ejemplo, EM Sec. 3.1, en particular la Ec. (3.16), en la que\(\mathbf{p}\) se utiliza la letra para el momento dipolar eléctrico.

\({ }^{46}\)Dicho proceso es espontáneo: no requiere ningún agente externo, y comienza tan pronto como la interacción (145) se ha activado, o (si está siempre encendida) tan pronto como el sistema\(a\) se coloca en el estado excitado\(n_{a}^{\prime}\).