8.3: Sistemas multipartículas

Dejando varios otros problemas en los sistemas de dos partículas para el ejercicio del lector, permítanme proceder a la discusión de sistemas con partículas\(N>2\) indistinguibles, cuya lista incluye notablemente átomos, moléculas y sistemas de materia condensada. En este caso, la ecuación (7) para fermiones se generaliza como\[\hat{\mathcal{P}}_{k k^{\prime}}\left|\alpha_{-}\right\rangle=-\left|\alpha_{-}\right\rangle, \text {for all } k, k^{\prime}=1,2, \ldots, N,\] donde el operador\(\hat{P}_{k k}\) permuta partículas con números\(k\) y\(k\) '. Como resultado, para sistemas con fermiones de interacción no directa, el principio Pauli prohíbe cualquier estado en el que dos partículas tengan funciones de onda similares de una sola partícula. Sin embargo, permite que dos fermiones tengan funciones de onda orbitales similares, siempre que sus espines estén en estado singlete (18), ya que esto satisface el requisito de permutación (55). Este hecho es de suma importancia para el estado fundamental de los sistemas cuyos hamiltonianos no dependen del espín porque permite que los fermiones estén en sus estados terrestres orbitales de una sola partícula, con dos electrones del singlete de espín compartiendo el mismo estado orbital. De ahí, para lo limitado (¡pero muy importante!) objetivo de encontrar energías de estado fundamental de sistemas multi-fermiones con interacción directa insignificante, podemos ignorar la estructura de espín singlete real, y reducir el principio de exclusión de Pauli a la imagen simple de los niveles de energía orbitales de una sola partícula, cada uno “ocupado con dos fermiones”.

Como ejemplo muy simple, encontremos la energía terrestre de cinco fermiones, confinados en un volumen 3D de pared dura, en forma cúbica de lado\(a\), ignorando su interacción directa. A partir de la Sec. 1.7, conocemos el espectro de energía de partícula única del sistema: de\[\varepsilon_{n_{x}, n_{y}, n_{z}}=\varepsilon_{0}\left(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}\right), \quad \text { with } \varepsilon_{0} \equiv \frac{\pi^{2} \hbar^{2}}{2 m a^{2}}, \quad \text { and } n_{x}, n_{y}, n_{z}=1,2, \ldots\] manera que los estados de menor energía son:

• un estado fundamental con\(\left\{n_{x}, n_{y}, n_{z}\right\}=\{1,1,1\}\), y energía\(\varepsilon_{111}=\left(1^{2}+1^{2}+1^{2}\right) \varepsilon_{0}=3 \varepsilon_{0}\), y
• tres estados excitados, con\(\left\{n_{x}, n_{y}, n_{z}\right\}\) igual a cualquiera\(\{2,1,1\}\), o\(\{1,2,1\}\), o\(\{1,1,2\}\), con energías iguales\(\varepsilon_{211}=\varepsilon_{121}=\varepsilon_{112}=\left(2^{2}+1^{2}+1^{2}\right) \varepsilon_{0}=6 \varepsilon_{0}\).

De acuerdo con la formulación simple anterior del principio Pauli, cada uno de estos niveles de energía orbital puede acomodar hasta dos fermiones. De ahí que el estado de menor energía (suelo) del sistema de cinco fermiones se logre colocando dos de ellos en el nivel del suelo\(\varepsilon_{111}=3 \varepsilon_{0}\), y las tres partículas restantes, en cualquiera de los estados degenerados “excitados” de energía\(6 \varepsilon_{0}\), de manera que la energía del estado fundamental del sistema sea \[E_{\mathrm{g}}=2 \times 3 \varepsilon_{0}+3 \times 6 \varepsilon_{0} \equiv 24 \varepsilon_{0} \equiv \frac{12 \pi^{2} \hbar^{2}}{m a^{2}} .\]Además, en muchos casos, la interacción relativamente débil entre fermiones no explota cualitativamente un esquema de clasificación de estado cuántico tan simple, y el principio de Pauli permite rastrear el orden del llenado de estado de partícula única. Este es exactamente el enfoque simple que se ha utilizado en nuestra discusión sobre los átomos en la Sec. 3.7. Desafortunadamente, no permite una caracterización más específica de los estados básicos de la mayoría de los átomos, en particular la evaluación de los valores correspondientes de los números cuánticos\(S\)\(L\), y\(J\) que caracterizan los momentos angulares netos de la átomo, y de ahí su respuesta a un campo magnético externo. Estos números se definen por relaciones similares a las ecuaciones (48), cada una para el operador vectorial correspondiente del momento angular neto:\[\hat{\mathbf{S}} \equiv \sum_{k=1}^{N} \hat{\mathbf{s}}_{k}, \quad \hat{\mathbf{L}} \equiv \sum_{k=1}^{N} \hat{\mathbf{1}}_{k}, \quad \hat{\mathbf{J}} \equiv \sum_{k=1}^{N} \hat{\mathbf{j}}_{k} ;\] tenga en cuenta que estas definiciones son consistentes con la Eq. (5.170) aplicada tanto al momento angular\(\mathbf{s}_{k}, \mathbf{l}_{k}\), como\(\mathbf{j}_{k}\) de cada partícula , y a los vectores completos\(\mathbf{S}, \mathbf{L}\), y\(\mathbf{J}\). Cuando se conocen los números\(S, L\), y\(J\) para un estado, tradicionalmente se registran en forma de los llamados símbolos Russell-Saunders:\(^{20}\)\[{ }^{2 S+1} \mathscr{L}_{J}\] dónde\(S\) y\(J\) son los valores correspondientes de estos números cuánticos, mientras que\(\mathscr{L}\) es una letra mayúscula, que codifica el número cuántico\(L\) - a través de la misma notación espectroscópica que para partículas individuales (ver Sec. 3.6):\(\mathscr{L}=S\)\(L=0, \mathscr{L}=P\) for\(L=1, \mathscr{L}=D\) for \(L=2\), etc. (La razón por la que el superíndice frontal del símbolo Russel-Saunders enumera\(2 S+1\) más que solo\(S\), es que de acuerdo con la última de las ecuaciones (48), muestra el número de valores posibles del número cuántico\(M_{S}\), lo que caracteriza la degeneración de espín del estado, y se llama su multiplicidad.)

Por ejemplo, para el más simple, átomo de hidrógeno\((Z=1)\), con su electrón único en el\(1 s\) estado fundamental,\(L=l=0, S=s=1 / 2\), y\(J=S=1 / 2\), de tal manera que su símbolo Russell-Saunders es\(2 S_{1 / 2}\). A continuación, la discusión del átomo de helio\((Z=2)\) en la sección anterior ha demostrado que en su estado fundamental\(L=0\) (por el estado\(1 s\) orbital de ambos electrones), y\(S=0\) (por el estado de espín singlete), de manera que el total momento angular también se desvanece:\(J=0\). En consecuencia, el símbolo de Russell-Saunders es\({ }^{1} S_{0}\). La estructura del siguiente átomo, el litio también\((Z=3)\) es fácil de predecir, ya que, como se discutió en la Sec. 3.7, su configuración electrónica en estado fundamental es\(1 s^{2} 2 s^{1}\), es decir, incluye dos electrones en la “capa de helio”, es decir, en los\(1 s\) orbitales (ahora sabemos que en realidad están en un estado de espín singlete), y un electrón en el\(2 s\) estado, de mayor energía, también con impulso orbital cero,\(l=0\). En consecuencia, el total\(L\) en este estado es evidentemente igual a 0, y\(S\) es igual a, de modo que\(1 / 2\)\(J=1 / 2\), lo que significa que el símbolo Russell-Saunders del litio es\({ }^{2} P_{1 / 2}\). Incluso en el siguiente átomo, el berilio\((Z=4)\), con la configuración del estado fundamental\(1 s^{2} 2 s^{2}\), el símbolo es fácilmente predecible, porque ninguno de sus electrones tiene un impulso orbital distinto de cero, dando\(L=\) 0. Además, cada par de electrones está en el estado de espín singlete, es decir\(S=0\), tenemos, de modo que\(J=0\) -el conjunto de números cuánticos descrito por el símbolo Russell-Saunders\({ }^{1} S_{0}\) - al igual que para el helio.

Sin embargo, para el siguiente átomo de boro\((Z=5)\), con su configuración electrónica en estado fundamental\(1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{1}\) (ver, por ejemplo, Fig. 3.24), no hay una manera obvia de predecir el resultado. En efecto, este átomo tiene dos pares de electrones, con espines opuestos, en sus dos\(s\) orbitales más bajos, dando cero contribuciones a la red\(S, L\), y\(J\). De ahí que estos números cuánticos totales sólo puedan ser aportados por el último, quinto electrón con\(s=1 / 2\) y\(l=1\), dando\(S=1 / 2, L=1\). Como se discutió en la Sec. \(5.7\)para el caso de partícula única, la adición vectorial del momento angular\(\mathbf{S}\) y\(\mathbf{L}\) habilita dos valores del número cuántico\(J\): cualquiera\(L+S=3 / 2\) o\(L-S\)\(=1 / 2\). El experimento muestra que la diferencia entre las energías de estos dos estados es muy pequeña\((\sim 2\)\(\mathrm{meV}\)), de manera que a temperatura ambiente (con\(k_{\mathrm{B}} T \approx 26 \mathrm{meV}\)) ambas están ocupadas, teniendo el estado fundamental genuino\(J=1 / 2\), de manera que su El símbolo de Russell-Saunders es\({ }^{2} P_{1 / 2}\).

Tales diferencias de energía, que se hacen más grandes para los átomos más pesados, están determinadas tanto por las\({ }^{21}\) interacciones de Coulomb como de espín-órbita entre los electrones. Su análisis cuantitativo está bastante involucrado (ver abajo), pero los resultados tienden a seguir reglas fenomenológicas simples de Hund, con la siguiente jerarquía:

Regla 1. Para una configuración electrónica dada, el estado fundamental tiene la mayor multiplicidad posible y\(S\), por lo tanto, la mayor multiplicidad\(2 S+1\).

Regla 2. Para un dado\(S\), el estado base tiene el mayor posible\(L\).

Regla 3. Para dado\(\ S\) \text { and } L, J \text { has its smallest possible value, }|L-S| \text {, if the given sub-shell }\{n, l\}}\) se llena no más de a la mitad, mientras que en el caso contrario,\(J\) tiene su mayor valor posible,\(L+S\).

Veamos cómo funcionan estas reglas para el átomo de boro que acabamos de discutir. Para ello, las Reglas de Hund 1 y 2 se satisfacen automáticamente, mientras que la subcapa\(\{n=2, l=1\}\), que puede alojar hasta\(2 \times(2 l\)\(+1)=6\) electrones, se llena con un solo\(2 p\) electrón, es decir, por menos de la mitad del valor máximo. En consecuencia, la Regla 3 de Hund predice el valor del estado base\(J=1 / 2\), de acuerdo con el experimento.

Generalmente, para los átomos más ligeros, las reglas del Hund son bien obedecidas. Sin embargo, cuanto más baja es la jerarquía de la regla Hund, menos “poderosas” son las reglas, es decir, más a menudo se violan en átomos más pesados.

Ahora discutamos posibles enfoques para una teoría cuantitativa de sistemas multipartículas, no solo átomos. Como se discutió en la Sec. 1, si los fermiones no interactúan directamente, los estados estacionarios del sistema tienen que ser los autoestados antisimétricos del operador de permutación, es decir, satisfacer la Ec. (55). Para entender cómo se pueden formar tales estados a partir de los de un solo electrón, volvamos por un minuto al caso de dos electrones, y reescribamos la Ec. (11) en la siguiente forma compacta:\[\begin{aligned} \text { state } 1 & \text { state } 2 \\ \downarrow & \downarrow \\ \left.\left|\alpha_{-}\right\rangle \equiv \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\beta\rangle \otimes\left|\beta^{\prime}\right\rangle-\left|\beta^{\prime}\right\rangle \otimes|\beta\rangle\right) \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} \| \beta\right\rangle &\left|\beta^{\prime}\right\rangle \mid \\ |\beta\rangle &\left|\beta^{\prime}\right\rangle \mid & \leftarrow \text { particle number } 1, \\ & \leftarrow \text { particle number } 2, \end{aligned}\] donde los signos directos del producto están simplemente implícitos. De esta manera, el principio Pauli se mapea sobre la bien conocida propiedad de los determinantes matriciales: si alguna de las dos columnas de una matriz coincide, su determinante desaparece. Este enfoque determinante de Slater\(^{22}\) puede generalizarse fácilmente a los\(N\) fermiones que ocupan cualquier estado de partícula única\(N\) (no necesariamente el de menor energía)\(\beta, \beta^{\prime}, \beta^{\prime}\), etc.:\[\left|\alpha_{-}\right\rangle=\frac{1}{(N !)^{1 / 2}} \underbrace{\begin{array}{cccc} & \text { state list } \rightarrow & & \\ \beta\rangle & \left|\beta^{\prime}\right\rangle & \left|\beta^{\prime \prime}\right\rangle & \ldots \\ \beta\rangle & \left|\beta^{\prime}\right\rangle & \left|\beta^{\prime \prime}\right\rangle & \ldots \\ \beta\rangle & \left|\beta^{\prime}\right\rangle & \left|\beta^{\prime \prime}\right\rangle & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \end{array}}_{N} \text { particle }\] La forma determinante de Slater es extremadamente agradable y compacto - en comparación con la escritura directa de una suma de\(N !\) productos, cada uno de los factores\(N\) ket. Sin embargo, hay dos problemas principales con su uso para cálculos prácticos:

(i) Para el cálculo de cualquier producto de sujetador (digamos, dentro de la teoría de la perturbación) todavía necesitamos deletrear cada vector sujetador y ket-vector como una suma de términos componentes. Incluso para un número limitado de electrones (digamos\(N \sim 10^{2}\) en un átomo típico), el número\(N ! \sim 10^{160}\) de términos en tal suma es impracticablemente grande para cualquier cálculo analítico o numérico.

ii) En el caso de fermiones que interactúan, el determinante Slater no describe los vectores propios del sistema; más bien el estado estacionario es una superposición de tales funciones base, es decir, de los determinantes Slater, cada uno para una selección específica de\(N\) estados del conjunto completo de estados de partículas\(-\) que generalmente es mayor que\(N\).

Para átomos y moléculas simples, cuyos electrones de capa llenada pueden ser excluidos de un análisis explícito (describiendo sus efectos, aproximadamente, con pseudo-potenciales efectivos), el número efectivo\(N\) puede reducirse a un número menor del orden\(N_{\text {ef }}\) de 10, por lo que eso\(N_{\text {ef }} !<10^{6}\), y los determinantes de Slater pueden ser utilizados para cálculos numéricos -por ejemplo, en la teoría de Hartree-Fock- ver la siguiente sección. Sin embargo, para los sistemas de materia condensada, como metales y semiconductores, con el número de electrones libres es del orden de\(10^{23}\) per\(\mathrm{cm}^{3}\), este enfoque es generalmente inaceptable, aunque con algunos trucos inteligentes (como usar la periodicidad del cristal) todavía se puede usar para algunos cálculos aproximados (también en su mayoría numéricos).

Estos desafíos hacen que el desarrollo de una teoría más general que no utilice números de partículas (que son superficiales para las partículas indistinguibles para empezar) una necesidad para obtener resultados analíticos finales para sistemas multipartículas. El formalismo más efectivo para este propósito, que evita en absoluto la numeración de partículas, se llama la segunda cuantificación. \({ }^{23}\)En realidad, ya hemos discutido una versión particular de este formalismo, para el caso del oscilador armónico 1D, en la Sec. 5.4. Como recordatorio, después de la definición (5.65) de los operadores de “creación” y “aniquilación” a través de los de la coordenada e impulso de la partícula, hemos derivado sus propiedades clave (5.89),\[\hat{a}|n\rangle=n^{1 / 2}|n-1\rangle, \quad \hat{a}^{\dagger}|n\rangle=(n+1)^{1 / 2}|n+1\rangle,\] donde\(n\) están los estados estacionarios (Fock) del oscilador. Esta propiedad permite una interpretación de las acciones de los operadores como la creación/aniquilación de una sola excitación con la energía\(\hbar \omega_{0}\), justificando así los nombres de los operadores. En el siguiente capítulo, mostraremos que tal excitación de un modo de campo electromagnético puede interpretarse como un bosón sin masa con\(s=1\), llamado fotón.

Para generalizar este enfoque a los bosones arbitrarios, no apelando a un sistema específico, podemos usar relaciones similares a la ecuación (61) para definir los operadores de creación y aniquilación. Las definiciones se ven simples en el lenguaje de los llamados estados Dirac, descritos por los vectores\[\left|N_{1}, N_{2}, \ldots N_{j}, \ldots\right\rangle,\] cet-donde\(N_{j}\) está la ocupación del estado, es decir, el número de bosones en el estado de partícula única\(j\). Permítanme enfatizar que aquí los índices\(1,2, \ldots j, \ldots\) numeran estados de partículas únicas (incluidas sus partes de espín) en lugar de partículas. Así, la noción misma del número de una partícula individual está completamente (y para partículas indistinguibles, muy relevante) ausente de este formalismo. Generalmente, el conjunto de estados de partículas individuales que participan en el estado Dirac puede seleccionarse arbitrariamente, siempre que sea completo y ortonormal en el sentido\[\left\langle N_{1}^{\prime}, N_{2}^{\prime} \ldots, N_{j^{\prime}}^{\prime}, \ldots \mid N_{1}, N_{2} \ldots, N_{j}, \ldots\right\rangle=\delta_{N_{1} N_{1}^{\prime}} \delta_{N_{2} N_{2}^{\prime}} \ldots \delta_{N_{j} N^{\prime}{ }_{j}} \ldots\] aunque para sistemas de bosones no (o débilmente) que interactúan, utilizando los estados estacionarios de partículas individuales en el sistema bajo análisis es casi siempre la mejor opción.

Ahora podemos definir el operador de aniquilación de partículas de la siguiente manera:\[\hat{a}_{j}\left|N_{1}, N_{2}, \ldots N_{j}, \ldots\right\rangle \equiv N_{j}^{1 / 2}\left|N_{1}, N_{2}, \ldots N_{j}-1, \ldots\right\rangle\] Obsérvese que el coeficiente de pre-ket, similar al de la primera de las ecuaciones (61), garantiza que cualquier intento de aniquilar una partícula en un estado inicialmente despoblado da el estado inexistente (“nulo”):\[\hat{a}_{j}\left|N_{1}, N_{2}, \ldots 0_{j}, \ldots\right\rangle=0,\] donde el símbolo \(0_{j}\)significa ocupación cero del\(j^{\text {th }}\) estado. De acuerdo con la Ec. (63), una forma equivalente de escribir la Eq. (64) es\[\left\langle N_{1}^{\prime}, N_{2}^{\prime}, \ldots, N_{j}^{\prime}, \ldots\left|\hat{a}_{j}\right| \cdot N_{1}, N_{2}, . ., N_{j}, \ldots\right\rangle=N_{j}^{1 / 2} \delta_{N_{1} N_{1}^{\prime}} \delta_{N_{2} N_{2}^{\prime}} \ldots \delta_{N_{j}^{\prime}, N_{j}-1} \ldots\] De acuerdo con la ecuación general (4.65), el elemento matriz del operador conjugado hermitiano\(\hat{a}_{j}^{\dagger}\) es\[\begin{aligned} &\left\langle N_{1}^{\prime}, N_{2}^{\prime}, \ldots, N_{j}^{\prime}, \ldots\left|\hat{a}_{j}^{\dagger}\right| N_{1}, N_{2}, \ldots N_{j}, \ldots\right\rangle=\left\langle N_{1}, N_{2}, \ldots, N_{j}, \ldots\left|\hat{a}_{j}\right| N_{1}^{\prime}, N_{2}^{\prime}, \ldots, N_{j}^{\prime}, \ldots\right\rangle^{*} \\ &=\left\langle N_{1}, N_{2}, \ldots, N_{j}, \ldots\left|\left(N_{j}^{\prime}\right)^{1 / 2}\right| N_{1}^{\prime}, N_{2}^{\prime}, \ldots, N_{j}^{\prime}-1, \ldots\right\rangle=\left(N_{j}^{\prime}\right)^{1 / 2} \delta_{N_{1} N_{1}^{\prime}} \delta_{N_{2} N_{2}^{\prime}} \ldots \delta_{N_{j}, N^{\prime}-1} \ldots \\ &=\left(N_{j}+1\right)^{1 / 2} \delta_{N_{1} N_{1}^{\prime}} \delta_{N_{2} N_{2}^{\prime}} \ldots \delta_{N_{j}+1, N_{j}^{\prime}} \ldots \end{aligned}\] significando que\[\hat{a}_{j}^{\dagger}\left|N_{1}, N_{2}, \ldots, N_{j}, \ldots\right\rangle=\left(N_{j}+1\right)^{1 / 2}\left|N_{1}, N_{2}, \ldots, N_{j}+1, \ldots\right\rangle\] en total cumplimiento con el segundo de las ecuaciones (61). En particular, este operador de creación de partículas permite la descripción de la generación de una sola partícula a partir del vacío (¡no nula!) estado\(|0,0, \ldots\rangle\):\[\hat{a}_{j}^{\dagger}\left|0,0, \ldots, 0_{j}, \ldots, 0\right\rangle=\left|0,0, \ldots, 1_{j}, \ldots 0\right\rangle,\] y de ahí que un producto de tales operadores pueda crear, a partir del vacío, un estado multipartícula con un conjunto arbitrario de ocupaciones:\({ }^{24}\)\[\underbrace{\hat{a}_{1}^{\dagger} \hat{a}_{1}^{\dagger} \ldots \hat{a}_{1}^{\dagger}}_{N_{1} \text { times }} \underbrace{\hat{a}_{2}^{\dagger} \hat{a}_{2}^{\dagger} \ldots \hat{a}_{2}^{\dagger}}_{N_{2} \text { times }} \ldots|0,0, \ldots\rangle=\left(N_{1} ! N_{2} ! \ldots .\right)^{1 / 2}\left|N_{1}, N_{2}, \ldots\right\rangle .\] A continuación, combinando las ecuaciones (64) y (68), obtenemos de\[\hat{a}_{j}^{\dagger} \hat{a}_{j}\left|N_{1}, N_{2}, \ldots N_{j}, \ldots\right\rangle=N_{j}\left|N_{1}, N_{2}, \ldots, N_{j}, \ldots\right\rangle,\] manera que, al igual que para el caso particular de las excitaciones del oscilador armónico, el operador\[\hat{N}_{j} \equiv \hat{a}_{j}^{\dagger} \hat{a}_{j}\] “cuenta” el número de partículas en el estado de\(j^{\text {th }}\) partícula única, conservando al mismo tiempo todo el estado multipartícula. Actuando sobre un estado por los operadores de creación-aniquilación en el orden inverso, obtenemos las\[\hat{a}_{j} \hat{a}_{j}^{\dagger}\left|N_{1}, N_{2}, \ldots, N_{j}, \ldots\right\rangle=\left(N_{j}+1\right)\left|N_{1}, N_{2}, \ldots, N_{j}, \ldots\right\rangle .\] ecuaciones. (71) y (73) muestran que para cualquier estado de un sistema multipartícula (que puede representarse como una superposición lineal de estados Dirac con todos los conjuntos de números posibles\(N_{j}\)), podemos escribir \[\hat{a}_{j} \hat{a}_{j}^{\dagger}-\hat{a}_{j}^{\dagger} \hat{a}_{j} \equiv\left[\hat{a}_{j}, \hat{a}_{j}^{\dagger}\right]=\hat{I},\]nuevamente de acuerdo con lo que teníamos para el\(1 \mathrm{D}\) oscilador\(-\) cf. Eq. \((5.68)\). Según las Eqs. \((63),(64)\), y (68), los operadores de creación y aniquilación correspondientes a diferentes estados de partículas individuales se desplazan, de manera que la Ec. (74) puede generalizarse como\[\left[\hat{a}_{j}, \hat{a}_{j^{\prime}}^{\dagger}\right]=\hat{I} \delta_{i j^{\prime}},\] mientras los operadores similares conmutan, independientemente de en qué estados actúen:\[\left[\hat{a}_{j}^{\dagger}, \hat{a}_{j^{\prime}}^{\dagger}\right]=\left[\hat{a}_{j}, \hat{a}_{j^{\prime}}\right]=\hat{0} .\]\[\begin{aligned} &\text { commutation } \\ &\text { relations } \end{aligned}\] Como era mencionado anteriormente, un reto importante en el enfoque de Dirac es reescribir el hamiltoniano de un sistema multipartículas, que naturalmente lleva números de partículas\(k\) (ver, por ejemplo, la Ec. (22) para\(k=1,2\)), en el segundo lenguaje de cuantificación, en el que no hay estos números. Comencemos con componentes de partículas únicas de tales hamiltonianos, es decir, operadores del tipo\[\hat{F}=\sum_{k=1}^{N} \hat{f}_{k} .\] donde todos los\(N\) operadores\(\hat{f}_{k}\) son similares, además de que cada uno de ellos actúa sobre una\(\left(k^{\text {th }}\right)\) partícula específica, y\(N\) es el número total de partículas en el sistema, que es evidentemente igual a la suma de ocupaciones de estado de partículas individuales:\[N=\sum_{j} N_{j} .\] Los ejemplos más importantes de tales operadores son la energía cinética de partículas individuales\(N\) similares, y su energía potencial en un campo externo:\[\hat{T}=\sum_{k=1}^{N} \frac{\hat{p}_{k}^{2}}{2 m}, \quad \hat{U}=\sum_{k=1}^{N} \hat{u}\left(\mathbf{r}_{k}\right) .\] Para los bosones, en lugar del determinante Slater (60), tenemos que escribir una expresión similar, pero sin la alternancia de signos en las permutaciones:\[\left|N_{1}, \ldots N_{j}, \ldots\right\rangle=\left(\frac{N_{1} ! \ldots N_{j} ! \ldots}{N !}\right)^{1 / 2} \sum_{P}|\underbrace{\ldots \beta \beta^{\prime} \beta^{\prime \prime} \ldots}_{N \text { operands }}\rangle,\] a veces llamada permanente. Obsérvese nuevamente que el lado izquierdo de esta relación está escrito en la notación Dirac (que no usa numeración de partículas), mientras que en su lado derecho, solo en las relaciones de Secs. 1 y 2, los números de partículas se codifican con las posiciones de los estados de partícula única dentro de los vectores de estado, y el suma es sobre todas las diferentes permutaciones de los estados en el ket - cf. Ec. (10). (Según la combinatoria básica,\({ }^{25}\) existen\(N ! /\left(N_{1} ! \ldots N_{j} ! \ldots\right)\) tales permutaciones, de manera que el coeficiente frontal en la Ec. (80) asegura la normalización del estado Dirac, siempre que\(\beta, \beta^{\prime}, \ldots\) se normalicen los estados de partícula única). Usemos la ecuación (80) para deletrear el siguiente elemento de matriz para un sistema con\((N-1)\) partículas:

\[\begin{aligned} &\left\langle\ldots N_{j}, \ldots N_{j^{\prime}}-1, \ldots|\hat{F}| \ldots N_{j}-1, \ldots N_{j^{\prime}}, \ldots\right\rangle \\ &=\frac{N_{1} ! \ldots\left(N_{j}-1\right) ! \ldots\left(N_{j^{\prime}}-1\right) ! \ldots}{(N-1) !}\left(N_{j} N_{j^{\prime}}\right)^{1 / 2} \sum_{P\langle N-1|} \sum_{P|N-1\rangle}\left\langle\ldots \beta \beta^{\prime} \beta^{\prime \prime} \ldots\left|\sum_{k=1}^{N-1} \hat{f}_{k}\right| \ldots \beta \beta^{\prime} \beta^{\prime \prime} \ldots\right\rangle \end{aligned}\]donde todos los números de ocupación no especificados en las posiciones correspondientes de los vectores bra y ket son iguales entre sí. Cada operador de partícula única\(\hat{f}_{k}\) que participa en la suma del operador, actúa sobre los vectores bra y ket de los estados solo en una\(\left(k^{\text {th }}\right)\) posición, dando el siguiente resultado, independientemente del número de posición:\[\left\langle\left.\beta_{j}\right|_{\text {in }} k^{\text {th }} \text { position } \hat{f}_{k} \mid \beta_{j^{\prime}}\right\rangle_{\text {in }} k^{\text {th }} \text { position }=\left\langle\beta_{j}|\hat{f}| \beta_{j^{\prime}}\right\rangle \equiv f_{j j^{\prime}} .\] Dado que en ambos conjuntos de permutaciones participando en la Ec. (81), con vectores de\((N-1)\) estado cada uno, todas las posiciones son equivalentes, podemos fijar la posición (digamos, tomar la primera) y reemplazar la suma por\(k\) la multiplicación por del corchete por\((N-1)\). La fracción de permutaciones con el bra-vector necesario (con número\(j\)) en esa posición es\(N_{j} /(N-1)\), mientras que con el vector ketnecesario (con número\(j\) ') en la misma posición es\(N_{j} /(N-1)\). Como resultado, la suma de permutaciones en la Ec. (81) se reduce a\[(N-1) \frac{N_{j}}{N-1} \frac{N_{j^{\prime}}}{N-1} f_{j j^{\prime}} \sum_{P\langle N-2|P| N-2\rangle} \sum_{\left\langle\ldots \beta \beta^{\prime} \beta^{\prime \prime} \ldots \mid \ldots \beta \beta^{\prime} \beta^{\prime \prime} \ldots\right\rangle}\] donde nuestra posición específica ahora\(k\) está excluida de las permutaciones del vector de sujetador y de cet-vector. Cada una de estas permutaciones ahora incluye solo\(\left(N_{j}-1\right)\) estados\(j\) y\(\left(N_{j},-1\right)\) estados\(j\) ', de manera que, usando la ortonormalidad estatal, finalmente lleguemos a un resultado muy simple:\[\begin{aligned} &\left\langle\ldots N_{j}, \ldots N_{j^{\prime}}-1, \ldots|\hat{F}| \ldots N_{j}-1, \ldots N_{j^{\prime}}, \ldots\right\rangle \\ &=\frac{N_{1} ! \ldots\left(N_{j}-1\right) ! \ldots\left(N_{j^{\prime}}-1\right) ! \ldots}{(N-1) !}\left(N_{j} N_{j^{\prime}}\right)^{1 / 2}(N-1) \frac{N_{j}}{N-1} \frac{N_{j^{\prime}}}{N-1} f_{i j^{\prime}} \frac{(N-2) !}{N_{1} ! \ldots\left(N_{j}-1\right) ! \ldots .\left(N_{j^{\prime}}-1\right) ! \ldots} \\ &\equiv\left(N_{j} N_{j^{\prime}}\right)^{1 / 2} f_{i j^{\prime}} \end{aligned}\] Por otro lado, calculemos matriz elementos del siguiente operador:\[\sum_{j, j^{\prime}} f_{i j^{\prime}} \hat{a}_{j}^{\dagger} \hat{a}_{j^{\prime}}\] Una aplicación directa de las ecuaciones (64) y (68) muestra que los únicos que no se desvanecen de los elementos son\[\left\langle\ldots N_{j}, \ldots N_{j^{\prime}}-1, \ldots\left|f_{i j^{\prime}} \hat{a}_{j}^{\dagger} \hat{a}_{j^{\prime}}\right| \ldots N_{j}-1, \ldots, N_{j^{\prime}}, \ldots\right\rangle=\left(N_{j} N_{j^{\prime}}\right)^{1 / 2} f_{j j^{\prime}} .\] Pero esta es exactamente la última forma de la ecuación (84), de manera que en la base de los estados Dirac, el operador (77) puede ser solo representado como\[\text { (8.87) }\] \[\hat{F}=\sum_{j, j^{\prime}} f_{j j^{\prime}} \hat{a}_{j}^{\dagger} \hat{a}_{j^{\prime}}\]Esta relación maravillosamente simple es la fórmula clave de la segunda teoría de cuantificación, y es esencialmente el análogo en lenguaje Dirac de la ecuación (4.59) de la mecánica cuántica de partículas individuales. Cada término de la suma (87) puede ser descrito por una regla mnemotécnica muy simple: para cada par de estados de una sola partícula\(j\) y\(j\) ', aniquilar una partícula en el estado\(j\)', crear una en el estado\(j\), y pesar el resultado con el elemento de matriz de partículas individuales correspondiente. Uno de los corolarios de la Ec. (87) es que el valor de expectativa de un operador cuyos autoestados coinciden con los estados Dirac es\[\langle F\rangle \equiv\left\langle\ldots N_{j}, \ldots|\hat{F}| \ldots N_{j}, \ldots\right\rangle=\sum_{j} f_{i j} N_{j}\] con una interpretación física evidente como la suma de los valores de expectativa de partícula única sobre todos los estados, ponderados por la ocupación de cada estado.

Pasando a los fermiones, que tienen que obedecer el principio Pauli, inmediatamente notamos que cualquier número de ocupación sólo\(N_{j}\) puede tomar dos valores, 0 o 1. Para dar cuenta de eso, y también hacer que la relación clave (87) sea válida también para fermiones, los operadores de creación-aniquilación se definen por las siguientes relaciones:\[\begin{aligned} &\hat{a}_{j}\left|N_{1}, N_{2}, \ldots, 0_{j}, \ldots\right\rangle=0, \quad \hat{a}_{j}\left|N_{1}, N_{2}, \ldots, 1_{j}, \ldots\right\rangle=(-1)^{\Sigma(1, j-1)}\left|N_{1}, N_{2}, \ldots, 0_{j}, \ldots\right\rangle \\ &\hat{a}_{j}^{\dagger}\left|N_{1}, N_{2}, \ldots, 0_{j}, \ldots\right\rangle=(-1)^{\Sigma(1, j-1)}\left|N_{1}, N_{2}, \ldots, 1_{j}, \ldots\right\rangle, \quad \hat{a}_{j}^{\dagger}\left|N_{1}, N_{2}, \ldots, 1_{j}, \ldots\right\rangle=0 \end{aligned}\] donde el símbolo\(\Sigma\left(J, J^{\prime}\right)\) significa la suma de todos los números de ocupación en los estados con números de\(J\) a \(J^{\prime}\), incluyendo los puntos fronterizos: de\[\Sigma\left(J, J^{\prime}\right) \equiv \sum_{j=J}^{J^{\prime}} N_{j},\] manera que la suma que participa en las Eqs. (89) - (90) sea la ocupación total de todas las entidades federativas con los números a continuación\(j\). (Se supone que los estados están numerados en un orden fijo aunque arbitrario). Como resultado, estas relaciones pueden resumirse convenientemente en la siguiente forma verbal: si un operador reemplaza la ocupación del\(j^{\text {th }}\) estado por la opuesta (ya sea 1 con 0, o viceversa), también cambia el signo antes del resultado si (y solo si) el número total de partículas en los estados con\(j\) '\(<j\)es impar.

Usemos esta regla de alternancia de signos (quizás algo contraintuitiva) para deletrear el ketvector\(|11\rangle\) de un sistema de dos estados completamente lleno, formado a partir del estado de vacío de dos\(|00\rangle\) maneras diferentes. Si empezamos por crear un fermion en el estado 1, obtenemos\[\hat{a}_{1}^{\dagger}|0,0\rangle=(-1)^{0}|1,0\rangle \equiv|1,0\rangle, \quad \hat{a}_{2}^{\dagger} \hat{a}_{1}^{\dagger}|0,0\rangle=\hat{a}_{2}^{\dagger}|1,0\rangle=(-1)^{1}|1,1\rangle \equiv-|1,1\rangle,\] mientras que si el orden del operador es diferente, el resultado es\[\hat{a}_{2}^{\dagger}|0,0\rangle=(-1)^{0}|0,1\rangle \equiv|0,1\rangle, \quad \hat{a}_{1}^{\dagger} \hat{a}_{2}^{\dagger}|0,0\rangle=\hat{a}_{1}^{\dagger}|0,1\rangle=(-1)^{0}|1,1\rangle \equiv|1,1\rangle,\] tal que\[\left(\hat{a}_{1}^{\dagger} \hat{a}_{2}^{\dagger}+\hat{a}_{2}^{\dagger} \hat{a}_{1}^{\dagger}\right)|0,0\rangle=0 .\] Dado que la acción de cualquiera de estos productos operarios en cualquier estado inicial en lugar del vacío uno también da el ket nulo, podemos escribir lo siguiente igualdad operador:\[\hat{a}_{1}^{\dagger} \hat{a}_{2}^{\dagger}+\hat{a}_{2}^{\dagger} \hat{a}_{1}^{\dagger} \equiv\left\{\hat{a}_{1}^{\dagger}, \hat{a}_{2}^{\dagger}\right\}=\hat{0} \text {. }\] Es sencillo comprobar que este resultado es válido para vectores Dirac de una longitud arbitraria, y no depende de la ocupación de otros estados, para que podamos generalizarlo ya que\[\left\{\hat{a}_{j}^{\dagger}, \hat{a}_{j^{\prime}}^{\dagger}\right\}=\left\{\hat{a}_{j}, \hat{a}_{j^{\prime}}\right\}=\hat{0}\]\[\left\{\hat{a}_{j}, \hat{a}_{j^{\prime}}^{\dagger}\right\}=\hat{I} \delta_{j j^{\prime}}\] Estas ecuaciones se parecen mucho a las Eqs. (75) - (76) para bosones, “solo” con la sustitución de los conmutadores por anticonmutadores. Dado que las leyes centrales de la mecánica cuántica, incluyendo la compatibilidad del operador (Sec. 4.5) y la ecuación de Heisenberg (4.199) de la evolución del operador en el tiempo, involucran a los colectores más que a los anticonmutadores, se podría pensar que todo el comportamiento de los sistemas multipartículas bosónicos y fermiónicos debe ser dramáticamente diferente. Sin embargo, la diferencia no es tan grande como cabría esperar; de hecho, una verificación directa muestra que los factores de signo en las ecuaciones (89) - (90) solo compensan a los del determinante Slater, y así hacen que la relación clave (87) sea válida también para los fermiones. (En efecto, este es el objetivo mismo de la introducción de estos factores.)

Para ilustrar este hecho en el ejemplo más simple, examinemos qué dice el segundo formalismo de cuantificación sobre la dinámica de partículas no interactuantes en el sistema cuyas propiedades de partículas individuales hemos discutido repetidamente, a saber, dos pozos potenciales casi similares, acoplados por tunelización a través del barrera de potencial de separación - véanse, por ejemplo, las Figs. \(2.21\)o 7.4. Si el acoplamiento es tan pequeño que los estados localizados en los pozos solo están débilmente perturbados, entonces en la base de estos estados, el hamiltoniano de partícula única del sistema puede estar representado por la\(2 \times 2\) matriz (5.3). Con la referencia energética seleccionada en el medio entre las energías de los estados imperturbables, el coeficiente\(b\) desaparece, esta matriz se reduce a\[\mathrm{h}=\mathbf{c} \cdot \boldsymbol{\sigma} \equiv\left(\begin{array}{cc} c_{z} & c_{-} \\ c_{+} & -c_{z} \end{array}\right), \quad \text { with } c_{\pm} \equiv c_{x} \pm i c_{y}\] y sus valores propios a\[\varepsilon_{\pm}=\pm c, \quad \text { with } c \equiv|\mathbf{c}| \equiv\left(c_{x}^{2}+c_{y}^{2}+c_{z}^{2}\right)^{1 / 2} .\] Ahora siguiendo la receta (87), podemos usar la Eq. (97) para representar el hamiltoniano del todo sistema de partículas en términos de los operadores de creación-aniquilación:\[\hat{H}=c_{z} \hat{a}_{1}^{\dagger} \hat{a}_{1}+c_{-} \hat{a}_{1}^{\dagger} \hat{a}_{2}+c_{+} \hat{a}_{2}^{\dagger} \hat{a}_{1}-c_{z} \hat{a}_{2}^{\dagger} \hat{a}_{2},\] dónde\(\hat{a}_{1,2}^{\dagger}\) y\(\hat{a}_{1,2}\) son los operadores de creación y aniquilación de una partícula en el pozo potencial correspondiente. (De nuevo, ¡en el segundo enfoque de cuantificación las partículas no están numeradas en absoluto!) Como muestra la Ec. (72), los términos primero y último del lado derecho de la ecuación (99) describen las energías de partículas\(\varepsilon_{1,2}=\pm c_{\mathrm{z}}\) en pozos desacoplados,\[c_{z} \hat{a}_{1}^{\dagger} \hat{a}_{1}=c_{z} \hat{N}_{1} \equiv \varepsilon_{1} \hat{N}_{1}, \quad-c_{z} \hat{a}_{2}^{\dagger} \hat{a}_{2}=-c_{z} \hat{N}_{2} \equiv \varepsilon_{2} \hat{N}_{2},\] mientras que la suma de los dos términos medios es la descripción de segunda cuantificación de la tunelización entre los pozos.

Ahora podemos usar la ecuación general (4.199) de la imagen de Heisenberg para deletrear las ecuaciones de movimiento de los operadores de creación-aniquilación. Por ejemplo,\[i \hbar \dot{\hat{a}}_{1}=\left[\hat{a}_{1}, \hat{H}\right]=c_{z}\left[\hat{a}_{1}, \hat{a}_{1}^{\dagger} \hat{a}_{1}\right]+c_{-}\left[\hat{a}_{1}, \hat{a}_{1}^{\dagger} \hat{a}_{2}\right]+c_{+}\left[\hat{a}_{1}, \hat{a}_{2}^{\dagger} \hat{a}_{1}\right]-c_{z}\left[\hat{a}_{1}, \hat{a}_{2}^{\dagger} \hat{a}_{2}\right] .\] dado que los operadores Bose y Fermi satisfacen diferentes relaciones de conmutación, se podría esperar que el lado derecho de esta ecuación sea diferente para bosones y fermiones. Sin embargo, no es así. En efecto, todos los colectores del lado derecho de la Eq. (101) tienen la siguiente forma:\[\left[\hat{a}_{j}, \hat{a}_{j^{\prime}}^{\dagger} \hat{a}_{j^{\prime \prime}}\right] \equiv \hat{a}_{j} \hat{a}_{j^{\prime}}^{\dagger} \hat{a}_{j^{\prime \prime}}-\hat{a}_{j^{\prime}}^{\dagger} \hat{a}_{j^{\prime \prime}} \hat{a}_{j} .\] Como muestran las ecuaciones (74) y (94), el primer par producto de operadores en el lado derecho puede ser refundido como\[\hat{a}_{j} \hat{a}_{j^{\prime}}^{\dagger}=\hat{I} \delta_{j j^{\prime}} \pm \hat{a}_{j^{\prime}}^{\dagger} \hat{a}_{j},\] donde el signo superior pertenece a bosones y el inferior a fermiones, mientras que según las ecuaciones (76) y\((95)\), el último producto par en la Ec. (102) es\[\hat{a}_{j^{\prime \prime}} \hat{a}_{j}=\pm \hat{a}_{j} \hat{a}_{j^{\prime \prime}},\] con la misma convención de signo. Al enchufar estas expresiones en la ecuación (102), vemos que independientemente del tipo de partícula, existe una relación de conmutación universal (y generalmente muy útil)\[\left[\hat{a}_{j}, \hat{a}_{j^{\prime}}^{\dagger} \hat{a}_{j^{\prime \prime}}\right]=\hat{a}_{j^{\prime \prime}} \delta_{j j^{\prime}},\] válida tanto para bosones como para fermiones. Como resultado, la ecuación de movimiento de Heisenberg para el operador\(\hat{a}_{1}\), y la ecuación para\(\hat{a}_{2}\) (que puede obtenerse de manera absolutamente similar), también son universales:27\[\begin{aligned} &i \hbar \dot{\hat{a}}_{1}=c_{z} \hat{a}_{1}+c_{-} \hat{a}_{2}, \\ &i \hbar \dot{\hat{a}}_{2}=c_{+} \hat{a}_{1}-c_{z} \hat{a}_{2} . \end{aligned}\] Este es un sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales acopladas, que es similar a las ecuaciones para las amplitudes de probabilidad\(c\) -numérica de las funciones de onda de una sola partícula de un sistema de dos niveles - véase, por ejemplo, la Ec. (2.201) y la solución del modelo del Problema 4.25. Su solución general es una superposición lineal\[\hat{a}_{1,2}(t)=\sum_{\pm} \hat{\alpha}_{1,2}^{(\pm)} \exp \left\{\lambda_{\pm} t\right\} .\] Como es habitual, para encontrar los exponentes\(\lambda_{\pm}\), es suficiente tapar una solución particular\(\hat{a}_{1,2}(t)=\hat{\alpha}_{1,2} \exp \{\lambda t\}\) en la ecuación (106) y requerir que el determinante del sistema lineal homogéneo resultante para los “coeficientes” ( en realidad, operadores independientes del tiempo)\(\hat{\alpha}_{1,2}\) es igual a cero. Esto nos da la siguiente ecuación característica

\[\left|\begin{array}{cc} c_{z}-i \hbar \lambda & c_{-} \\ c_{+} & -c_{z}-i \hbar \lambda \end{array}\right|=0,\]con dos raíces\(\lambda_{\pm}=\pm i \Omega / 2\), donde\(\Omega \equiv 2 c / \hbar-c f\). Eq. (5.20). Ahora tapando cada una de las raíces, una por una, en el sistema de ecuaciones para\(\hat{\alpha}_{1,2}\), podemos encontrar estos operadores, y de ahí la solución general del sistema (98) para condiciones iniciales arbitrarias.

Consideremos el caso simple\(c_{y}=c_{z}=0\) (es decir, en particular, que los pozos están exactamente alineados, ver Fig. 2.21), de manera que\(\hbar \Omega / 2 \equiv c=c_{x}\); entonces la solución de la Ec. (106) es\[\hat{a}_{1}(t)=\hat{a}_{1}(0) \cos \frac{\Omega t}{2}-i \hat{a}_{2}(0) \sin \frac{\Omega t}{2}, \quad \hat{a}_{2}(t)=-i \hat{a}_{1}(0) \sin \frac{\Omega t}{2}+\hat{a}_{2}(0) \cos \frac{\Omega t}{2} .\] Multiplicar la primera de estas relaciones por su conjugado hermitiano, y ensemble-promediando el resultado, obtenemos\[\begin{aligned} \left\langle N_{1}\right\rangle \equiv &\left\langle\hat{a}_{1}^{\dagger}(t) \hat{a}_{1}(t)\right\rangle=\left\langle\hat{a}_{1}^{\dagger}(0) \hat{a}_{1}(0)\right\rangle \cos ^{2} \frac{\Omega t}{2}+\left\langle\hat{a}_{2}^{\dagger}(0) \hat{a}_{2}(0)\right\rangle \sin ^{2} \frac{\Omega t}{2} \\ &-i\left\langle\hat{a}_{1}^{\dagger}(0) \hat{a}_{2}(0)+\hat{a}_{2}^{\dagger}(0) \hat{a}_{1}(0)\right\rangle \sin \frac{\Omega t}{2} \cos \frac{\Omega t}{2} . \end{aligned}\] Dejar que el estado inicial del sistema sea un solo estado Dirac, es decir, tener un número definido de partículas en cada pozo; en este caso, solo los dos primeros términos en el lado derecho de la Ec. (110) son diferentes de cero, dando:\({ }^{28}\)\[\left\langle N_{1}\right\rangle=N_{1}(0) \cos ^{2} \frac{\Omega t}{2}+N_{2}(0) \sin ^{2} \frac{\Omega t}{2} .\] Para una partícula, inicialmente colocada en cualquiera de los pozos, esto nos da nuestro antiguo resultado (2.181) describiendo las oscilaciones cuánticas habituales de la partícula entre dos pozos con la frecuencia\(\Omega\). Sin embargo, la Ec. (111) es válida para cualquier conjunto de ocupaciones iniciales; usemos este hecho. Por ejemplo, partiendo de dos partículas, con inicialmente una partícula en cada pozo, obtenemos\(\left\langle N_{1}\right\rangle=1\), independientemente del tiempo. Entonces, las ocupaciones no oscilan, y ningún experimento puede detectar las oscilaciones cuánticas, aunque su frecuencia todavía\(\Omega\) está formalmente presente en las ecuaciones de evolución temporal. Este hecho puede interpretarse como las oscilaciones cuánticas simultáneas de dos partículas entre los pozos, exactamente en antifase. Para los bosones, podemos pasar a ocupaciones aún mayores preparando el sistema, por ejemplo, en el estado con\(N_{1}(0)=N, N_{2}(0)=0\). El resultado (111) dice que en este caso, vemos que la amplitud de oscilación cuántica aumenta\(N\) -fold; esta es una manifestación particular del hecho general de que los bosones pueden estar (y evolucionar en el tiempo) en el mismo estado cuántico. Por otro lado, para los fermiones no podemos aumentar las ocupaciones iniciales más allá de 1, de manera que la mayor amplitud de oscilación que podemos obtener es si inicialmente llenamos solo una bien.

El enfoque Dirac puede generalizarse fácilmente a sistemas más complejos. Por ejemplo, la Ec. (99) implica que un sistema arbitrario de pozos potenciales con acoplamiento de túnel débil entre los pozos adyacentes puede ser descrito por el hamiltoniano\[\hat{H}=\sum_{j} \varepsilon_{j} a_{j}^{\dagger} \hat{a}_{j}+\sum_{\left\{j, j^{\prime}\right\}} \delta_{j j^{\prime}} a_{j}^{\dagger} \hat{a}_{j^{\prime}}+\text { h.c., }\] donde el símbolo\(\left\{j, j^{\prime}\right\}\) significa que la segunda suma está restringida a pares de pozos vecinos próximos; véase, por ejemplo, la Ec. (2.203) ) y su discusión. Tenga en cuenta que este hamiltoniano sigue siendo una forma cuadrática de los operadores de aniquilación de creación, por lo que las ecuaciones de movimiento de imágenes de Heisenberg de estos operadores siguen siendo lineales, y sus soluciones exactas, aunque posiblemente engorrosas, pueden estudiarse en detalle. Debido a este hecho, el hamiltoniano (112) es ampliamente utilizado para el estudio de algunos fenómenos, por ejemplo, los muy interesantes efectos de localización Anderson, en los que una distribución aleatoria de las energías localizadas\(\varepsilon_{j}\) impide que las partículas tunelizadoras, dentro de un cierto rango de energía, se propaguen a distancias ilimitadas. \({ }^{29}\)

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\({ }^{20}\)El nombre de H. Russell y F. Saunders, cuyo procesamiento pionero (circa 1925) de datos espectrallinos experimentales ha establecido la idea misma de la adición vectorial de los espines electrónicos, descrita por la primera de las ecuaciones (58).

\({ }^{21}\)En los átomos de luz, la interacción espín-órbita es tan débil que puede describirse razonablemente bien como una interacción del momento total\(\mathbf{L}\) y\(\mathbf{S}\) del sistema, el llamado acoplamiento\(L S\) (o “Russell-Saunders”). Por otro lado, en átomos muy pesados, la interacción es efectivamente entre los momentos netos\(\mathbf{j}_{k}=\mathbf{l}_{k}+\mathbf{s}_{k}\) de los electrones individuales, el llamado acoplamiento jj. Esta es la razón por la que en tales átomos puede ser violada la regla 3 de Hund.

\({ }^{22}\)Fue sugerido en 1929 por John C. Slater.

\({ }^{23}\)Fue inventada (primero para fotones y luego para bosones arbitrarios) por P. Dirac en 1927, y luego modificada en 1928 para fermiones por E. Wigner y P. Jordan. Nótese que el término “segunda cuantificación” es bastante engañoso para las aplicaciones no relativistas que estamos discutiendo aquí, pero encuentra cierta justificación en la teoría cuántica de campos.

\({ }^{24}\)El estado Dirac resultante no es un estado propio de cada hamiltoniano multipartícula. No obstante, veremos a continuación que para un conjunto de partículas que no interactúan es un estado estacionario, por lo que el conjunto completo de tales estados puede ser utilizado como una buena base en las teorías de perturbación de sistemas de partículas que interactúan débilmente.

\({ }^{25}\)Véase, por ejemplo, MA Ec. (2.3).

\({ }^{26}\)Un subproducto de este cálculo es la prueba de que el operador definido por la Ec. (72) cuenta el número de partículas\(N_{j}\) (ahora igual a 1 o 0), justo en que lo hace para los bosones.

\({ }^{27}\)Las ecuaciones de movimiento para los operadores de creación\(\hat{a}_{1,2}^{\dagger}\) son solo los conjugados hermitianos de las ecuaciones (106), y no agregan ninguna información nueva sobre la dinámica del sistema.

\({ }^{28}\)Para la ocupación del segundo pozo, el resultado es complementario\(N_{2}(t)=N_{1}(0) \sin ^{2} \Omega t+N_{2}(0) \cos ^{2} \Omega t\), dando en particular un buen chequeo de cordura:\(N_{1}(t)+N_{2}(t)=N_{1}(0)+N_{2}(0)=\) const.

\({ }^{29}\)Para una revisión de la versión 1D de este problema, véase, por ejemplo, J. Pendry,\(A d v .\) Phys. 43,461 (1994).