9.3: Emisión de fotones: espontánea y estimulada

En nuestro sencillo modelo de conteo de fotones, considerado en la última sección, el átomo disparador en el contador absorbió un fotón. Ahora echemos un vistazo al proceso opuesto de emisión espontánea de fotones por un átomo en estado excitado, utilizando todavía la misma aproximación eléctrico-dipolo (24) para la interacción átomo a campo. Para ello, todavía podemos usar la Regla de Oro para el modelo representado en la Fig. 6.12, pero ahora los roles han cambiado: tenemos que asociar al operador\(\hat{A}\) con el momento dipolo eléctrico del átomo, mientras que el operador\(\hat{B}\), con el campo eléctrico, para que el continuo espectro del sistema\(b\) representa la pluralidad de los modos de campo electromagnético en los que puede ocurrir la radiación espontánea. Desde ahora la transición aumenta la energía del campo electromagnético, y disminuye la del átomo, después de la multiplicación del corchete de campo en la ecuación (27a) por exp\(\{-i \omega t\}\), y el segundo, por\(\exp \{+i \omega t\}\), podemos mantener solo el operador de creación de fotones cuya evolución en el tiempo (26 ) compensa esta “rotación” rápida adicional. Como resultado, la Regla de Oro toma la siguiente forma:\[\Gamma_{\mathrm{s}}=\pi \omega\left|\left\langle\operatorname{fin}\left|\hat{a}^{\dagger}\right| 0\right\rangle\right|^{2} \mid\left.\langle\operatorname{fin}|\hat{\mathbf{d}} \cdot \mathbf{e}(\mathbf{r})| \text { ini }\rangle\right|^{2} \rho_{\mathrm{f}},\] donde todos los operadores y estados son independientes del tiempo (es decir, tomados en la imagen de Schrödinger), y\(\rho_{\mathrm{f}}\) es la densidad de estados finales del campo electromagnético -que en este problema juega el papel de los átomos medio ambiente. \({ }^{21}\)Aquí se ha supuesto que el oscilador de campo electromagnético está inicialmente en el estado fundamental, el supuesto que se cambiará más adelante en esta sección.

Esta relación, junto con la Ec. (19), muestra que para que el elemento matriz del campo sea diferente de cero, el estado final del campo tiene que ser el primer estado excitado de Fock,\(n=1\). (Por cierto, esta es exactamente la forma más practicable de generar un estado Fock excitado de un oscilador de campo). Con eso, la ecuación (48) produce\[\Gamma_{\mathrm{s}}=\pi \omega \mid\left.\langle\text { fin }|\hat{\mathbf{d}} \cdot \mathbf{e}(\mathbf{r})| \text { ini }\rangle\right|^{2} \rho_{\mathrm{f}} \equiv \pi \omega \mid\left.\left\langle\text { fin }\left|\hat{d} e_{d}(\mathbf{r})\right| \text { ini }\right\rangle\right|^{2} \rho_{\mathrm{f}},\] donde la densidad\(\rho_{\mathrm{f}}\) de los estados del campo electromagnético excitado debe calcularse a la energía\(E=\)\(\hbar \omega\), y\(e_{d}\) es el componente cartesiano del vector\(\mathbf{e}(\mathbf{r})\) a lo largo la dirección del dipolo eléctrico. La expresión para la densidad\(\rho_{\mathrm{f}}\) fue nuestra primera fórmula en este curso - ver Ec. (1.1). \({ }^{22}\)A partir de ella, obtenemos\[\rho_{\mathrm{f}} \equiv \frac{d N}{d E}=V \frac{\omega^{2}}{\pi^{2} \hbar c^{3}},\] donde el volumen delimitador\(V\) debe ser lo suficientemente grande como para garantizar la continuidad virtual del espectro:\(V \gg \lambda^{3}=\)\((2 \pi c / \omega)^{3}\). Por eso, en la condición de normalización utilizada para simplificar la Ec. (9), podemos considerar\(e^{2}(\mathbf{r})\) constante. Representemos este cuadrado como una suma de cuadrados de los tres componentes cartesianos del vector\(\mathbf{e}(\mathbf{r})\): uno de los\(\left(e_{d}\right)\) alineados con la dirección del dipolo; debido a la isotropía espacial podemos escribir\[e^{2} \equiv e_{d}^{2}+e_{\perp 1}^{2}+e_{\perp 2}^{2}=3 e_{d}^{2} .\] Como resultado, la condición de normalización arroja\[e_{d}^{2}=\frac{1}{3 \varepsilon_{0} V} .\] y Eq. (49) da la famosa (y muy importante) fórmula\({ }^{23}\)\[\Gamma_{\mathrm{s}}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{4 \omega^{3}}{3 \hbar c^{3}} \mid\left.\langle\text { fin }|\hat{\mathbf{d}}| \text { ini }\rangle\right|^{2} \equiv \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{4 \omega^{3}}{3 \hbar c^{3}}\langle\text { fin }|\hat{\mathbf{d}}| \text { ini }\rangle \cdot\langle\text { ini }|\hat{\mathbf{d}}| \text { fin }\rangle^{*}\] Dejando una comparación de esta fórmula con la teoría clásica de la radiación,\({ }^{24}\) y la evaluación exacta de\(\Gamma_{\mathrm{s}}\) para una transición particular en el átomo de hidrógeno, para ejercicios del lector, permítanme estimar su orden de magnitud. Suponiendo que\(d \sim e r_{\mathrm{B}} \equiv e \hbar^{2} / m_{\mathrm{e}}\left(e^{2} / 4 \pi \varepsilon_{0}\right)\) y\(\hbar \omega \sim E_{\mathrm{H}} \equiv m_{\mathrm{e}}\left(e^{2} / 4 \pi \varepsilon_{0}\right)^{2} / \hbar^{2}\), y tomando en cuenta la definición (6.62) de la constante de estructura fina\(\alpha \approx 1 / 137\), obtenemos\[\frac{\Gamma}{\omega} \sim\left(\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} \hbar c}\right)^{3} \equiv \alpha^{3} \sim 3 \times 10^{-7} .\] Esta estimación muestra que las líneas de emisión en las transiciones atómicas suelen ser muy agudas. Con la disponibilidad actual de la electrónica de alta velocidad, también tiene sentido evaluar la escala\(\tau=1 / \Gamma\) de tiempo de la transición cuántica típica: para una frecuencia óptica típica\(\omega \sim 3 \times 10^{15} \mathrm{~s}^{-1}\), está cerca de\(1 \mathrm{~ns}\). Esta es exactamente la constante de tiempo que determina la dependencia de tiempo-retardo de las estadísticas de conteo de fotones de la radiación emitida espontáneamente - ver Fig. 3. Coloquialmente, esta es la escala temporal del fotón emitido por un átomo. \({ }^{25}\)

Tenga en cuenta, sin embargo, que la estimación anterior de solo\(\tau\) es válida para una transición con un elemento de matriz de dipolo eléctrico distinto de cero. Si es igual a cero, es decir, la transición no satisface las reglas de selección,\({ }^{26}\) -digamos, debido a la simetría inicial y final del estado- está “prohibida”. La transición “prohibida” aún puede tener lugar debido a una interacción diferente y menor (digamos, a través de un campo dipolar magnético del átomo, o su campo eléctrico cuadrupolar\({ }^{27}\)), pero lleva mucho más tiempo. En algunos casos el aumento de\(\tau\) es bastante dramático a veces a horas! Dicha radiación de larga duración se llama luminiscencia -o fluorescencia si la excitación del átomo inicial se debió a una radiación externa de mayor frecuencia, seguida primero de transiciones no radiativas por la escalera de niveles de energía.

Ahora consideremos un caso más general cuando el modo de frecuencia del campo electromagnético\(\omega\) está inicialmente en un estado arbitrario de Fock\(n\), y de él puede obtener energía\(\hbar \omega\) del sistema atómico (emisión de fotones) o, viceversa, devolver dicha energía al átomo (absorción de fotones). Para la tasa de emisión de fotones, una generalización evidente de la ecuación (48) da\[\frac{\Gamma_{\mathrm{e}}}{\Gamma_{\mathrm{s}}} \equiv \frac{\Gamma_{n \rightarrow \text { fin }}}{\Gamma_{0 \rightarrow 1}}=\frac{\left|\left\langle\operatorname{fin}\left|\hat{a}^{\dagger}\right| n\right\rangle\right|^{2}}{\left|\left\langle 1\left|\hat{a}^{\dagger}\right| 0\right\rangle\right|^{2}}\] donde ambos corchetes deben calcularse en la imagen de Schrödinger, y\(\Gamma_{\mathrm{s}}\) es la tasa de emisión espontánea (48) del mismo sistema atómico. De acuerdo con la segunda de las ecuaciones (19), a la emisión de fotones, el estado final del campo tiene que ser el estado Fock con\(n^{\prime}=n+1\), y la Eq. (55) rinde\[\Gamma_{\mathrm{e}}=(n+1) \Gamma_{\mathrm{s}} .\] Así el campo inicial aumenta la tasa de emisión de fotones; este efecto se llama la emisión estimulada de radiación. Obsérvese que la emisión espontánea puede considerarse como un caso particular de la emisión estimulada para\(n=0\), y por lo tanto interpretada como la emisión estimulada por el estado fundamental del campo electromagnético\(-\) una manifestación más de la naturaleza no trivial de esta” vacío” estado.

Por otra parte, siguiendo los argumentos de la Sec. \(2,{ }^{28}\)para la descripción de la absorción de radiación, el operador de creación de fotones tiene que ser reemplazado por el operador de aniquilación, dando la relación de velocidad\[\frac{\Gamma_{\mathrm{a}}}{\Gamma_{\mathrm{s}}}=\frac{|\langle\operatorname{fin}|\hat{a}| n\rangle|^{2}}{\left|\left\langle 1\left|\hat{a}^{\dagger}\right| 0\right\rangle\right|^{2}} .\] Según esta relación y la primera de las ecuaciones (19), el estado final del campo en la absorción de fotones tiene que ser el Fock estado con\(n^{\prime}=n-1\), y Eq. (57) rendimientos\[\Gamma_{\mathrm{a}}=n \Gamma_{\mathrm{s}} .\] Los resultados (56) y (58) suelen formularse en términos de relaciones entre los coeficientes de Einstein\(A\) y\(B\) se definen de la manera mostrada en la Fig. 4, donde los dos niveles de energía son los del átomo, \(\Gamma_{\mathrm{a}}\)es la tasa de absorción de energía del campo electromagnético en su estado\(n^{\text {th }}\) Fock, y\(\Gamma_{\mathrm{e}}\) es la de emisión de energía al campo, inicialmente en el mismo estado. En esta notación, las ecuaciones (56) y (58) rinden\({ }^{29}\)\[A_{21}=B_{21}=B_{12},\] porque cada uno de estos coeficientes es igual a la tasa de emisión espontánea\(\Gamma_{\mathrm{s}}\).

Fig. 9.4. Los coeficientes de Einstein en el diagrama de transición cuántica atómica — cf. Fig. 7.6.

No puedo resistirme a la tentación de usar este punto para un pequeño desvío, una derivación alternativa de la estadística de Bose-Einstein para fotones. En efecto, en el equilibrio termodinámico, los flujos de probabilidad promedio entre los niveles 1 y 2 (ver Fig. 4 nuevamente) deben ser iguales: 30\[W_{2}\left\langle\Gamma_{\mathrm{e}}\right\rangle=W_{1}\left\langle\Gamma_{\mathrm{a}}\right\rangle,\] donde\(W_{1}\) y\(W_{2}\) son las probabilidades de que el sistema atómico ocupe los niveles correspondientes, de manera que las ecuaciones (56) y (58) rendimiento\[W_{2} \Gamma_{\mathrm{s}}\langle 1+n\rangle=W_{1} \Gamma_{\mathrm{s}}\langle n\rangle, \quad \text { i.e. } \frac{W_{2}}{W_{1}}=\frac{\langle n\rangle}{\langle n\rangle+1},\] donde\(\langle n\rangle\) es el número promedio de fotones en el campo que causan las transiciones interestatales. Pero, por otro lado, para un subsistema atómico solo débilmente acoplado a su entorno electromagnético, deberíamos tener la distribución Gibbs de estas probabilidades:\[\frac{W_{2}}{W_{1}}=\frac{\exp \left\{-E_{2} / k_{\mathrm{B}} T\right\}}{\exp \left\{-E_{1} / k_{\mathrm{B}} T\right\}}=\exp \left\{-\frac{\Delta E}{k_{\mathrm{B}} T}\right\}=\exp \left\{-\frac{\hbar \omega}{k_{\mathrm{B}} T}\right\} .\] Requeriendo Eqs. (61) y (62) para dar el mismo resultado para la relación de probabilidad, obtenemos la distribución de Bose-Einstein para el campo electromagnético en equilibrio térmico:\[\langle n\rangle=\frac{1}{\exp \left\{\hbar \omega / k_{\mathrm{B}} T\right\}-1}\]

• el mismo resultado que el obtenido en la Sec. \(7.1\)por otros medios - véase la Ec. (7.26b).

Volviendo ahora a la discusión de las ecuaciones (56) y (58), su implicación muy importante es la posibilidad de lograr la emisión estimulada de radiación coherente utilizando la inversión de ocupación de niveles. De hecho, si la relación\(W_{2} / W_{1}\) es mayor que la dada por la ecuación (62), el flujo de potencia neta desde el sistema atómico hacia el campo electromagnético,\[\text { power }=\hbar \omega \times \Gamma_{s}\left[W_{2}(\langle n\rangle+1)-W_{1}\langle n\rangle\right],\] puede ser positivo. La inversión necesaria se puede producir de varias maneras, notablemente por transiciones cuánticas intensivas al nivel 2 desde un nivel de energía aún mayor (que, a su vez, está poblado, por ejemplo, por absorción de radiación externa, generalmente llamada bombeo, a una frecuencia más alta).

Una característica menos obvia, pero crucial de la emisión estimulada se explica por la Ec. (55): como se mencionó anteriormente, muestra que el estado final del campo después de la absorción de energía\(\hbar \omega\) del átomo es un estado de Fock puro (coherente)\((n+1)\). Coloquialmente, se puede decir que el nuevo\((n+1)^{\text {st }}\) fotón emitido por el átomo se encuentra automáticamente en fase con los\(n\) fotones que habían estado inicialmente en modo campo, es decir, los une coherentemente. \({ }^{31}\)La idea de emisión estimulada de radiación coherente mediante inversión poblacional se\(^{32}\) implementó por primera vez a principios de la década de 1950 en el rango de microondas (másers) y en 1960 en el rango óptico (láseres). Hoy en día, los láseres son componentes ubicuos de casi todos los sistemas de alta tecnología y constituyen una de las piedras angulares de nuestra civilización tecnológica.

Una discusión cuantitativa sobre el funcionamiento del láser va mucho más allá del marco de este curso, y tengo que referir al lector a literatura especial,\({ }^{33}\) pero aún así me gustaría mencionar brevemente dos puntos clave:

(i) En un láser típico, cada modo de campo electromagnético generado está en su estado Glauber (en lugar del Fock), de manera que las ecuaciones (56) y (58) son aplicables solo para la descomposición\(n\) promediada sobre el estado FOCK del estado Glauber - ver Eq. (5.134).

(ii) Dado que en un láser típico\(\langle n\rangle \gg>1\), su funcionamiento puede ser bien descrito utilizando teorías cuasiclásicas que utilizan la Ec. (64) para describir el balance de energía electromagnética (con la adición de un término que describe la pérdida de energía debida a la absorción de campo en componentes externos del láser, incluyendo la carga útil), más la ecuación que describe el equilibrio de ocupaciones\(W_{1,2}\) debido a todas las transiciones entre niveles - similar a la ecuación (60), pero incluyendo también la contribución (s) del mecanismo de inversión poblacional particular utilizado en el láser. En este enfoque, el papel de la mecánica cuántica en la ciencia láser se reduce esencialmente al cálculo del parámetro\(\Gamma_{\mathrm{s}}\) para el sistema particular.

Este papel se vuelve más prominente cuando se necesita describir las fluctuaciones del campo láser. Aquí son posibles dos enfoques, siguiendo las dos opciones discutidas en el Capítulo 7. Si las fluctuaciones son relativamente pequeñas, se pueden linealizar las ecuaciones de movimiento de Heisenberg de los operadores de osciladores de campo cerca de sus “valores” estacionarios de láser, con las “fuerzas” de Langevin (también operadores dependientes del tiempo) describiendo las fuentes de fluctuación, y usar estas ecuaciones de Heisenberg-Langevin para calcular las fluctuaciones de radiación, tal como se describió en la Sec. 7.5. Por otro lado, cerca del umbral de láser, las fluctuaciones de campo son relativamente grandes, manchando la transición de fase entre los estados sin láser y láser. Aquí la linealización no es una opción, pero se puede utilizar el enfoque densidad-matriz descrito en la Sec. 7.6, para el análisis de fluctuación. \({ }^{34}\)Obsérvese que si bien las fluctuaciones del láser pueden parecer un tema periférico, la investigación pionera en ese campo ha llevado al desarrollo de la teoría general de los sistemas cuánticos abiertos, la cual se discutió en el Capítulo 7.

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\({ }^{21}\)Aquí la suma sobre todos los modos de campo electromagnético\(j\) puede ser devuelta de contrabando. Dado que en la aproximación cuasiestática\(k_{j} a<<1\), que es necesaria para la representación de interacción por la ecuación (24), los elementos de la matriz en la ecuación (48) son prácticamente independientes de la dirección de los vectores de onda, y sus magnitudes se fijan por\(\omega\), la suma se reduce a el cálculo del total\(\rho_{\mathrm{f}}\) para todos los modos, y el promedio de\(e^{2}(\mathbf{r})-\) ver más abajo.

\({ }^{22}\)Si el mismo átomo se coloca en una cavidad de alta\(Q\) resonancia (ver, por ejemplo, EM 7.9), la velocidad de su emisión de fotones se suprime fuertemente a frecuencias entre las resonancias de la cavidad (donde\(\rho_{\mathrm{f}} \rightarrow 0\)) - véase, por ejemplo, la revisión por\(\mathrm{S}\). Haroche y D. Klepner, Phys. Hoy\(\mathbf{4 2 ,} 24\) (Ene. 1989). Por otro lado, la emisión se ve fuertemente (por un factor\(\sim\left(\lambda^{3} / V\right) Q\), donde\(V\) está el volumen de la cavidad) potenciada a frecuencias de resonancia, el llamado efecto Purcell, descubierto por E. Purcell en la década de 1940. Para una breve discusión de este y otros efectos electrodinámicos cuánticos en las cavidades, consulte la siguiente sección.

\({ }^{23}\)Este fue el resultado revolucionario obtenido por P. Dirac en 1927, que puso en marcha todo el campo de la electrodinámica cuántica. Una expresión equivalente se obtuvo a partir de argumentos más formales en 1930 por V. Weisskopf y E. Wigner, de manera que a veces la Ec. (53) es (muy injustamente) llamada la “fórmula Weisskopf-Wigner”.

\({ }^{24}\)Véase, por ejemplo, EM Sec. 8.2, en particular la Ec. (8.29).

\({ }^{25}\)La escala\(c \tau\) de la extensión espacial del paquete de ondas correspondiente es sorprendentemente macroscópica, en el rango de unos pocos milímetros. Tal tamaño “humano” de fotones emitidos espontáneamente hace que la tabla óptica habitual, con sus componentes a\(1-\mathrm{cm}\) escala, sea el equipo clave para muchos experimentos ópticos; véase, por ejemplo, la Fig. \(2 .\)

\({ }^{26}\)Como ya se discutió en la Sec. 5.6, para una sola partícula sin espín que se mueve en un potencial esféricamente simétrico (por ejemplo, un átomo similar a hidrógeno), las reglas de selección orbital son simples: las únicas transiciones eléctrico-dipolo permitidas son aquellas con\(\Delta l \equiv l_{\mathrm{fin}}-l_{\mathrm{ini}}=\pm 1\) y \(\Delta m \equiv m_{\mathrm{fin}-} m_{\mathrm{ini}}=0\)o\(\pm 1\). El ejemplo más simple de la transición que sí\(n o t\) satisface esta regla, es decir, está “prohibida”, es que entre los\(s\) -estados\((l=0)\) con\(n=2\) y\(n=1\); por eso, la vida de los más bajos excitados \(s\)-estado de un átomo de hidrógeno es tan largo como\(\sim 0.15 \mathrm{~s}\).

\({ }^{27}\)Véase, por ejemplo, EM Sec. 8.9.

\({ }^{28}\)Obsérvese, sin embargo, una diferencia importante entre la tasa\(\Gamma\) discutida en\(\operatorname{Sec} .2\), y\(\Gamma_{\mathrm{a}}\) en la Ec. (57). En nuestro caso actual, la transición atómica sigue estando entre dos niveles discretos de energía (ver Fig. 4 a continuación), de manera que la tasa\(\Gamma_{\mathrm{a}}\) es proporcional a\(\rho_{\mathrm{f}}\), la densidad de los estados finales del campo electromagnético, es decir, la misma densidad que en la Ec. (48) y más allá, mientras que la tasa (27) es proporcional a\(\rho_{\mathrm{a}}\), la densidad de los estados finales (ionizados) del átomo “disparador” -más exactamente, de él es el electrón liberado en su ionización.

\({ }^{29}\)Estas relaciones fueron conjeturadas, a partir de argumentos muy generales, por Albert Einstein ya\(1916 .\)

\({ }^{30}\)Esta es solo una realización particular de la ecuación de balance detallada (7.198).

\({ }^{31}\)Es sencillo demostrar que este hecho también es cierto si el campo se encuentra inicialmente en el estado Glauber, que es más típico para los modos en los láseres prácticos.

\({ }^{32}\)Esta idea se remonta al menos a una oscura publicación de 1939 de V. Fabrikant.

\({ }^{33}\)Puedo recomendar, por ejemplo, P. Milloni y J. Eberly, Laser Physics,\(2^{\text {nd }}\) ed., Wiley, 2010, y un texto menos técnico de A. Yariv, Quantum Electronics, 3a ed., Wiley,\(1989 .\)

\({ }^{34}\)Este camino ha sido desarrollado (también a mediados de la década de 1960), por varios investigadores, entre ellos, entre ellos M. Sully y W. Lamb, véanse, por ejemplo, M. Sargent III, M. Scully, y W. Lamb, Jr., Laser Physics, Westview,\(1977 .\)