19.1: Introducción a los Cicloides

Vamos a configurar un sistema de coordenadas$Oxy$, y una línea recta horizontal$y = 2a$. Imaginamos un círculo de diámetro$2a$ entre el$x$ eje y la línea$y = 2a$, e inicialmente el punto más bajo del círculo, P, coincide con el origen de las coordenadas O. Ahora permitimos que el círculo ruede en sentido antihorario sin deslizarse sobre la línea$y = 2a$, de manera que el centro de la círculo se mueve hacia la derecha. A medida que el círculo rueda sobre la línea, el punto P describe una curva, que se conoce como cicloide.

Cuando el círculo ha rodado en ángulo$2\theta$, el centro del círculo se ha movido hacia la derecha una distancia horizontal$2a \theta$, mientras que la distancia horizontal del punto P desde el centro del círculo es$a \sin 2 \theta$ y la distancia vertical del punto$P$ debajo del centro del círculo es$a \cos 2 \theta$. Así las coordenadas del punto$P$ son

$$x = a(2 \theta + \sin 2 \theta) \label{19.1.1} \tag{19.1.1}$$

y

$$y = a (1 - \cos 2 \theta ). \label{19.1.2}\tag{19.1.2}$$

Ecuaciones$\ref{19.1.1}$ y$\ref{19.1.2}$ son las ecuaciones paramétricas del cicloide. Usando una identidad trigonométrica simple, la ecuación también se$\ref{19.1.2}$ puede escribir

$$y = 2a \sin^2 \theta . \label{19.1.3}\tag{19.1.3}$$

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Cuando la$x$ coordenada -de P es 2.500$a$, ¿qué (a cuatro cifras significativas) es su$y$ -coordenada?

Solución

Tenemos que encontrar$2 \theta$ por solución de$2 \theta +\sin 2 \theta$. Por iteración de Newton-Raphson o de otra manera, encontramos$2 \theta$ = 0.931 599 201 radianes, y por lo tanto y = 0.9316$a$.