19.9: El péndulo cicloidal

Imaginemos la construcción de una construcción de madera en forma de cicloide

$$\begin{align} x &= a(2 \theta - \sin 2 \theta ) \label{19.9.1} \\[4pt] y &= 2a \cos ^2 \theta \label{19.9.2} \end{align}$$

mostrado con la línea gruesa en la Figura XIX.10. Ahora suspenda un péndulo de longitud$4a$ desde la cúspide, y permita que oscile de un lado a otro, envolviéndose parcialmente contra el marco de madera mientras lo hace. Si la longitud del arco desde la cúspide hasta P es$s$, entonces la longitud de la cuerda “libre” es$4a − s$, y así las coordenadas del bob al final del péndulo son

$$\begin{align} x &= a(2 \theta - \sin 2 \theta) + (4 a - s) \cos (180 ^\circ - \psi) \nonumber \\ &= a (2 \theta - \sin 2 \theta) + (4a - s) \sin \theta. \nonumber \end{align} \label{19.9.3}$$

y

$$\begin{align} y &= 2 a \cos^2 \theta - (4a - s) \sin (180 ^\circ - \psi) \nonumber \\&= 2 a \cos^2 \theta - (4a - s) \cos \theta \nonumber \end{align} \label{19.9.4}$$

(Deberá recordarse el significado exacto de$\psi$ y también hacer uso de la Ecuación 19.4.20.) Ahora la Ecuación 19.4.18 dice u s eso, y, sobre la suposición de esto en ecuaciones$\ref{19.9.3}$ y$\ref{19.9.4}$, encontramos (después de muy poco álgebra y trigonometría) para las ecuaciones paramétricas al camino descrito por el bob del péndulo:

$$x = a(2 \theta + \sin 2 \theta \label{19.9.5}$$

y

$$y = -2 a \cos ^2 \theta. \label{19.9.6}$$

Así, la trayectoria del bob del péndulo (mostrada como una línea discontinua en la Figura XIX.10) es un cicloide, y por lo tanto su periodo es independiente de su amplitud. (Recordar Sección 19.5.) Así, el péndulo es isócrono o tautócrono. Es asombroso saber que Huygens construyó justamente tal péndulo hace ya en 1673.

Figura$\PageIndex{1}$: Cinco péndula cicloidal isócrona con diferentes amplitudes. Todos ellos son isócronos, es decir, tienen la misma frecuencia independientemente de sus amplitudes. Observe los dos arcos cicloidales superiores que hacen que las bobs describan trayectorias cicloidales. (CC BY-SA 4.0; REM088roy).