8.1: Distancia, punto medio y la parábola

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 109920

Anonymous
LibreTexts

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Objetivos de aprendizaje

Aplicar las fórmulas de distancia y punto medio.
Grafica una parábola usando su ecuación dada en estándar de.
Determinar la forma estándar para la ecuación de una parábola dada forma general.

Secciones Cónicas

Una sección cónica ¹ es una curva obtenida de la intersección de un cono circular derecho y un plano. Las secciones cónicas son la parábola, círculo, elipse e hipérbola.

El objetivo es esbozar estas gráficas en un plano de coordenadas rectangulares.

Las fórmulas de distancia y punto medio

Comenzamos con una revisión de la fórmula de distancia ². Dados dos puntos\((x_{1}, y_{1})\) y\(( x_{2}, y_{2})\) en un plano de coordenadas rectangulares, la distancia\(d\) entre ellos viene dada por la fórmula de distancia,

\(d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)

Además, el punto que bisecta el segmento lineal formado por estos dos puntos se denomina punto medio ³ y viene dado por la fórmula,

\(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)

El punto medio es un par ordenado formado por el promedio de los\(x\) -valores y el promedio de los\(y\) -valores.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

Dado\((−2,−5)\) y\((−4,−3)\) calcular la distancia y el punto medio entre ellos.

Solución:

En este caso, utilizaremos las fórmulas con los siguientes puntos:

\(\begin{array}{c c}{\left(x_{1}, y_{1}\right)} &{\left(x_{2}, y_{2}\right)} \\ {\color{black}{(\color{Cerulean}{-2}\color{black}{,}\color{OliveGreen}{-5})}}&{\color{black}{(\color{Cerulean}{-4}\color{black}{,}\color{OliveGreen}{-3})}}\end{array}\)

Es una buena práctica incluir la fórmula en su forma general antes de sustituir valores por las variables; esto mejora la legibilidad y reduce la probabilidad de cometer errores.

\(\begin{aligned} d &=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\ &=\sqrt{[\color{Cerulean}{-4}\color{black}{-}(\color{Cerulean}{-2}\color{black}{)}]^{2}+[\color{OliveGreen}{-3}\color{black}{-}(\color{OliveGreen}{-5}\color{black}{)}]^{2}} \\ &=\sqrt{(-4+2)^{2}+(-3+5)^{2}} \\ &=\sqrt{(-2)^{2}+(2)^{2}} \\ &=\sqrt{4+4} \\ &=\sqrt{8} \\ &=2 \sqrt{2} \end{aligned}\)

A continuación determinar el punto medio.

\(\begin{aligned}\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right) &=\left(\frac{-2+(-4)}{2}, \frac{-5+(-3)}{2}\right) \\ &=\left(\frac{-6}{2}, \frac{-8}{2}\right) \\ &=(-3,-4) \end{aligned}\)

Trazar estos puntos en una gráfica tenemos,

Respuesta:

Distancia:\(2\sqrt{2}\) unidades; punto medio:\((−3,−4)\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\):

El diámetro de un círculo se define por los dos puntos\((−1,2)\) y\((1,−2)\). Determine el radio del círculo y utilízelo para calcular su área.

Solución

Encuentra el diámetro usando la fórmula de distancia.

\(\begin{aligned} d &=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\ &=\sqrt{\left[\color{Cerulean}{1}\color{black}{-}(\color{Cerulean}{-1}\color{black}{)}^{2}+(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{-}\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)}^{2}\right.} \\ &=\sqrt{[2)^{2}+(-4)^{2}} \\&=\sqrt{4+16} \\&=\sqrt{20} \\ &=2 \sqrt{5} \end{aligned}\)

Recordemos que el radio de un círculo es la mitad del diámetro del círculo. Por lo tanto, si\(d=2\sqrt{5}\) las unidades, entonces

\(r=\frac{d}{2}=\frac{2 \sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}\)

El área de un círculo viene dada por la fórmula\(A=πr^{2}\) y tenemos

\(\begin{aligned} A &=\pi(\sqrt{5})^{2} \\ &=\pi \cdot 5 \\ &=5 \pi \end{aligned}\)

El área se mide en unidades cuadradas.

Respuesta:

Radio:\(\sqrt{5}\) unidades; área: unidades\(5π\) cuadradas

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Dado\((0,0)\) y\((9,−3)\) calcular la distancia y el punto medio entre ellos.

Contestar

Distancia:\(3\sqrt{10}\) unidades; punto medio:\(\left(\frac{9}{2},-\frac{3}{2}\right)\)

www.youtube.com/v/6kqnaCocpw0

La Parábola

Una parábola ⁴ es el conjunto de puntos en un plano equidistante de una línea dada, llamada directrix, y un punto que no está en la línea, llamado foco. En otras palabras, si se le da una línea\(L\) la directrix, y un punto\(F\) el foco, entonces\((x,y)\) es un punto en la parábola si la distancia más corta de ella al foco y de ella a la línea es igual como se muestra a continuación:

El vértice de la parábola es el punto donde la distancia más corta a la directrix es mínima. Además, una parábola está formada por la intersección de un cono con un plano oblicuo que es paralelo al lado del cono:

Recordemos que la gráfica de una función cuadrática, una función polinómica de grado 2, es parabólica. Podemos escribir la ecuación de una parábola en forma general ⁵ o podemos escribir la ecuación de una parábola en forma estándar ⁶:

\(\begin{array}{cc}{\color{Cerulean} { General\: Form }} & {\color{Cerulean} { Standard\: Form }} \\ {y=a x^{2}+b x+c} & {y=a(x-h)^{2}+k}\end{array}\)

Ambas formas son útiles para determinar la forma general de la gráfica. No obstante, en esta sección nos enfocaremos en obtener la forma estándar, que a menudo se denomina forma de vértice ⁷. Dada una función cuadrática en forma estándar, el vértice es\((h,k)\). Para ver que este es el caso, considere graficar\(y=(x+3)^{2}+2\) usando transformaciones.

\(\begin{array}{ll}{y=x^{2}} & {\color{Cerulean} { Basic\: squaring\: function. }} \\ {y=(x+3)^{2}} & {\color{Cerulean} {Horizontal\: shift\: left\: 3\: units. }} \\ {y=(x+3)^{2}+2} & {\color{Cerulean} { Vertical\: shift\: up\: 2\: units. }}\end{array}\)

Usa estas traducciones para bosquejar la gráfica,

Aquí podemos ver que el vértice es\((−3,2)\). Esto se puede determinar directamente a partir de la ecuación en forma estándar,

\(\begin{array}{l}{y=a(x-h)^{2}\:+\:\:k} \\\color{Cerulean}{\quad\quad\quad\quad\:\downarrow \quad\quad\: \color{Cerulean}{\downarrow}} \\ {y=[x-(-3)]^{2}+2}\end{array}\)

Escrito en esta forma podemos ver que el vértice es\((−3,2)\). Sin embargo, la ecuación normalmente no se da en forma estándar. Transformar la forma general a forma estándar, completando el cuadrado, es el proceso principal por el cual esbozaremos todas las secciones cónicas.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\):

Reescribe la ecuación en forma estándar y determina el vértice de su gráfica:\(y=x^{2}-8 x+15\).

Solución

Comience por dejar espacio para el término constante que completa la plaza.

\(\begin{aligned} y &=x^{2}-8 x+15 \\ &=x^{2}-8 x \color{Cerulean}{+ \_\_\_ }\color{black}{+}15 \color{Cerulean}{- \_\_\_}\end{aligned}\)

La idea es sumar y restar el valor que completa el cuadrado,\(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}\), y luego factorizar. En este caso, sumar y restar\(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(\frac{-8}{2}\right)^{2}=(-4)^{2}=16\).

\(\begin{aligned} y &=x^{2}-8 x+15 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\:\:\color{Cerulean}{Add\:and\:subtract\:16.} \\ &=\color{black}{\left(x^{2}-8 x\color{Cerulean}{+16}\right)}+15\color{Cerulean}{-16}\quad\color{Cerulean}{Factor.} \\ &=(x-4)(x-4)-1 \\ &=(x-4)^{2}-1 \end{aligned}\)

Sumar y restar el mismo valor dentro de una expresión no lo cambia. Hacerlo equivale a sumar\(0\). Una vez que la ecuación está en esta forma, podemos determinar fácilmente el vértice.

\(\begin{array}{l}{y=a(x-h)^{2}\:+\:k} \\\quad\quad\quad\quad\:\color{Cerulean}{\downarrow}\quad\quad\color{Cerulean}{\downarrow} \\ {y=(x\:-\:4)^{2}+(-1)}\end{array}\)

Aquí tenemos una traducción a las\(4\) unidades adecuadas y abajo\(1\) unidad. De ahí,\(h = 4\) y\(k = −1\).

Respuesta:

\(y=(x-4)^{2}-1\); vértice:\((4,−1)\)

Si hay un coeficiente principal distinto de\(1\), entonces comience por factorizar ese coeficiente principal a partir de los dos primeros términos del trinomio.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\):

Reescribe la ecuación en forma estándar y determina el vértice de la gráfica:\(y=-2 x^{2}+12 x-16\).

Solución

Ya que\(a=−2\), factorizar esto de los dos primeros términos para completar el cuadrado. Deja espacio dentro de los paréntesis para sumar y restar el valor que completa el cuadrado.

\(\begin{aligned} y &=-2 x^{2}+12 x-16 \\ &=-2\color{black}{\left(x^{2}-6 x\color{Cerulean}{+\_\_\_-\_\_\_}\right)-}16\end{aligned}\)

Ahora usa\(−6\) para determinar el valor que completa el cuadrado. En este caso,\(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(\frac{-6}{2}\right)^{2}=(-3)^{2}=9\). Sumar y restar\(9\) y factorizar de la siguiente manera:

\(\begin{aligned} y &=-2 x^{2}+12 x-16 \\ &=-2\color{black}{\left(x^{2}-6 x\color{Cerulean}{+\_\_\_-\_\_\_}\right)}-16\quad\color{Cerulean}{Add\:and\:subtract\:9.} \\ &=-2\color{black}{\left(x^{2}-6 x\color{Cerulean}{+9-9}\right)-}16\quad\quad\:\:\quad\color{Cerulean}{Factor.} \\ &=-2[(x-3)(x-3)-9]-16\ \\ &=-2\left[(x-3)^{2}-9\right]-16\quad\quad\quad\quad\:\:\color{Cerulean}{Distribute\:the\:-2.} \\ &=-2(x-3)^{2}+18-16 \\ &=-2(x-3)^{2}+2 \end{aligned}\)

De esta forma, podemos determinar fácilmente el vértice.

\(\begin{array}{l}{y=a\:(x\:-\:h)^{2}+k}\\\quad\quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{\downarrow}\quad\:\:\color{Cerulean}{\downarrow} \\ {y=-2(x-3)^{2}+2}\end{array}\)

Aquí\(h = 3\) y\(k = 2\).

Respuesta:

y=−2 (x−3) 2+2y=−2 (x−3) 2+2; vértice: (3,2) (3,2)

Hacer uso tanto de la forma general como de la forma estándar al bosquejar la gráfica de una parábola.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\):

Gráfica:\(y=-2 x^{2}+12 x-16\).

Solución:

Del ejemplo anterior tenemos dos formas equivalentes de esta ecuación,

\(\begin{array}{c} {\color{Cerulean}{General\:Form}}&{\color{Cerulean}{Standard\:Form}}\\{y=-2 x^{2}+12 x-16}&{ y=-2(x-3)^{2}+2}\end{array}\)

Recordemos que si el coeficiente principal\(a>0\) la parábola se abre hacia arriba y si\(a<0\) la parábola se abre hacia abajo. En este caso,\(a=−2\) y concluimos que la parábola se abre hacia abajo. Utilice la forma general para determinar la\(y\) -intercepción. Cuando\(x=0\) podemos ver que la\(y\) -intercepción es\((0,−16)\). A partir de la ecuación en forma estándar, podemos ver que el vértice es\((3,2)\). Para encontrar la\(x\) -intercepción podríamos usar cualquiera de las dos formas. En este caso, utilizaremos la forma estándar para determinar los\(x\) valores -donde\(y=0\),

\(\begin{aligned} y &=-2(x-3)^{2}+2\quad\color{Cerulean}{Set\:y=0\:and\:solve.} \\ 0 &=-2(x-3)^{2}+2 \\-2 &=-2(x-3)^{2} \\ & 1=(x-3)^{2}\quad\quad\quad\:\:\color{Cerulean}{Apply\:the\:square\:root\:property.} \\ \pm 1 &=x-3 \\ 3 \pm 1 &=x \end{aligned}\)

Aquí\(x=3−1=2\) o\(x=3+1=4\) y por lo tanto los\(x\) -interceptos son\((2,0)\) y\((4,0)\). Usa esta información para bosquejar la gráfica.

Respuesta:

Hasta el momento hemos estado dibujando parábolas que se abren hacia arriba o hacia abajo porque estas gráficas representan funciones. En este punto ampliamos nuestro estudio para incluir parábolas que se abren a derecha o izquierda. Si tomamos la ecuación que define la parábola en el ejemplo anterior,

\(y=-2(x-3)^{2}+2\)

y cambiar los valores x e y que obtenemos

\(x=-2(y-3)^{2}+2\)

Esto produce una nueva gráfica con simetría sobre la línea\(y=x\).

Tenga en cuenta que la gráfica resultante no es una función. Sin embargo, sí tiene la misma forma parabólica general que se abre a la izquierda. Podemos reconocer ecuaciones de parábolas que se abren a la izquierda o a la derecha al notar que son cuadráticas en\(y\) lugar de\(x\). Graficar parábolas que se abren a izquierda o derecha es similar a graficar parábolas que se abren hacia arriba y hacia abajo. En general, tenemos

En todos los casos, el vértice es\((h,k)\). Tenga cuidado de anotar la ubicación de\(h\) y\(k\) en cada ecuación.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\):

Gráfica:\(x=y^{2}+10 y+13\).

Solución

Debido a que el coeficiente de\(y^{2}\) es positivo\(a=1\),, concluimos que la gráfica es una parábola que se abre a la derecha. Además, cuando\(y=0\) es claro que\(x=13\) y por lo tanto la\(x\) -intercepción es\((13,0)\). Complete el cuadrado para obtener la forma estándar. Aquí sumaremos y restaremos\(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(\frac{10}{2}\right)^{2}=(5)^{2}=25\).

\(\begin{aligned} x &=y^{2}+10 y+13 \\ &=y^{2}+10 y\color{Cerulean}{+25-25}\color{black}{+}13 \\ &=(y+5)(y+5)-12 \\ &=(y+5)^{2}-12 \end{aligned}\)

Por lo tanto,

\(\begin{array}{l}{x=a\:(y\:-\:k)^{2}\:\:\:+\:\:\:\:h}\\ \quad\quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{\downarrow}\quad\quad\quad\color{Cerulean}{\downarrow} \\ {x=(y-(-5))^{2}+(-12)}\end{array}\)

De esto podemos ver que el vértice\((h,k)=(−12,−5)\). A continuación, use el formulario estándar para encontrar las\(y\) intercepciones mediante la configuración\(x=0\).

\(\begin{aligned} x &=(y+5)^{2}-12 \\ 0 &=(y+5)^{2}-12 \\ 12 &=(y+5)^{2} \\ \pm \sqrt{12} &=y+5 \\ \pm 2 \sqrt{3} &=y+5 \\-5 \pm 2 \sqrt{3} &=y \end{aligned}\)

Los\(y\) -interceptos son\((0,-5-2 \sqrt{3})\) y\((0,-5+2 \sqrt{3})\). Usa esta información para bosquejar la gráfica.

Contestar

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Gráfica:\(x=-2 y^{2}+4 y-5\).

Solución

Debido a que el coeficiente de\(y^{2}\) es\(a=−2\), concluimos que la gráfica es una parábola que se abre a la izquierda. Además, cuando\(y=0\) es claro que\(x=−5\) y por lo tanto la\(x\) -intercepción es\((−5,0)\). Comience por factorizar el coeficiente principal de la siguiente manera:

\(\begin{aligned} x &=-2 y^{2}+4 y-5 \\ &=-2\left(y^{2}-2 y+\_\_\_-\_\_\_\right)-5\end{aligned}\)

Aquí sumaremos y restaremos\(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(\frac{-2}{2}\right)^{2}=(-1)^{2}=1\).

\(\begin{aligned} x &=-2 y^{2}+4 y-5 \\ &=-2\color{black}{\left(y^{2}-2 y\color{Cerulean}{+1-1}\right)-}5 \\ &=-2\left[(y-1)^{2}-1\right]-5 \\ &=-2(y-1)^{2}+2-5 \\ &=-2(y-1)^{2}-3 \end{aligned}\)

Por lo tanto, a partir de la forma de vértice\(x=-2(y-1)^{2}-3\),, podemos ver que el vértice es\((h,k)=(−3,1)\). Debido a que el vértice está en\((−3,1)\) y la parábola se abre a la izquierda, podemos concluir que no hay\(y\) -intercepciones. Ya que solo tenemos dos puntos, elige algunos\(y\) -valores y encuentra los\(x\) -valores correspondientes.

Mesa\(\PageIndex{1}\)
\(x\)	\(y\)	\(x=-2(y-1)^{2}-3\)
\(\color{Cerulean}{-11}\)	\(-1\)	\(x=-2(-1-1)^{2}-3=-2(-2)^{2}-3=-11\)
\(\color{Cerulean}{-5}\)	\(2\)	\(x=-2(2-1)^{2}-3=-2(1)^{2}-3=-5\)
\(\color{Cerulean}{-11}\)	\(3\)	\(x=-2(3-1)^{2}-3=-2(2)^{2}-3=-11\)

Respuesta:

Ejercicio\(\PageIndex{2}\):

Gráfica:\(x= y^{2}−y−6\).

Respuesta:

www.youtube.com/v/pxge96nhsci

Claves para llevar

Utilice la fórmula de distancia para determinar la distancia entre dos puntos dados. Utilice la fórmula de punto medio para determinar el punto medio entre dos puntos dados cualquiera.
Una parábola puede abrirse hacia arriba o hacia abajo, en cuyo caso, es una función. En esta sección, ampliamos nuestro estudio de las parábolas para incluir aquellas que se abren a la izquierda o a la derecha. Tales gráficas no representan funciones.
La ecuación de una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo es cuadrática en\(x, y=ax^{2}+bx+c\). Si\(a>0\), entonces la parábola se abre hacia arriba y si a<0a<0, entonces la parábola se abre hacia abajo.
La ecuación de una parábola que se abre a la izquierda o a la derecha es cuadrática en\(y, x=ay^{2}+by+c\). Si\(a>0\), entonces la parábola se abre a la derecha y si\(a<0\), entonces la parábola se abre a la izquierda.
La ecuación de una parábola en forma general\(y=ax^{2}+bx+c\) o\(x=ay^{2}+by+c\) puede transformarse a forma estándar\(y=a(x−h)^{2}+k\) o\(x=a(y−k)^{2}+h\) completando el cuadrado.
Al completar el cuadrado, asegúrese de que el coeficiente inicial de la agrupación de variables sea\(1\) antes de sumar y restar el valor que completa el cuadrado.
Tanto las formas generales como las estándar son útiles a la hora de graficar parábolas. Dada la forma estándar, el vértice es aparente\((h,k)\). Para encontrar el conjunto\(x\) -intercept\(y=0\) y resolver para\(x\) y para encontrar el conjunto\(y\) -intercept\(x=0\) y resolver para\(y\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Calcular la distancia y el punto medio entre los dos puntos dados.

\((-1,-3)\)y\((5,-11)\)
\((-3,2)\)y\((1,-1)\)
\((4,-2)\)y\((-2,-6)\)
\((-5,-6)\)y\((-3,-4)\)
\((10,-1)\)y\((9,6)\)
\((-6,-4)\)y\((-12,1)\)
\((0,0)\)y\((\sqrt{2}, \sqrt{3})\)
\((0,0)\)y\((2 \sqrt{2},-\sqrt{3})\)
\((\sqrt{5},-\sqrt{3})\)y\((2 \sqrt{5},-\sqrt{3})\)
\((3 \sqrt{10}, \sqrt{6})\)y\((\sqrt{10},-5 \sqrt{6})\)
\(\left(\frac{1}{2},-1\right)\)y\(\left(-2, \frac{3}{2}\right)\)
\(\left(-\frac{4}{3}, 2\right)\)y\(\left(-\frac{1}{3},-\frac{1}{2}\right)\)
\(\left(\frac{1}{5},-\frac{9}{5}\right)\)y\(\left(\frac{3}{10},-\frac{5}{2}\right)\)
\(\left(-\frac{1}{2}, \frac{4}{3}\right)\)y\(\left(-\frac{2}{3}, \frac{5}{6}\right)\)
\((a, b)\)y\((0,0)\)
\((0,0)\)y\((a \sqrt{2}, 2 \sqrt{a})\)

Contestar

1. Distancia:\(10\) unidades; punto medio:\((2, −7)\)

3. Distancia:\(2\sqrt{13}\) unidades; punto medio:\((1, −4)\)

5. Distancia:\(5\sqrt{2}\) unidades; punto medio:\((\frac{19}{2},\frac{5}{2})\)

7. Distancia:\(\sqrt{5}\) unidades; punto medio:\(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

9. Distancia:\(\sqrt{5}\) unidades; punto medio:\(\left(\frac{3 \sqrt{5}}{2},-\sqrt{3}\right)\)

11. Distancia:\(\frac{5 \sqrt{2}}{2}\) unidades; punto medio:\((−\frac{3}{4}, \frac{1}{4})\)

13. Distancia:\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) unidades; punto medio:\(\left(\frac{1}{4},-\frac{43}{20}\right)\)

15. Distancia:\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) unidades; punto medio:\(\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Determinar el área de un círculo cuyo diámetro está definido por los dos puntos dados.

\((-8,12)\)y\((-6,8)\)
\((9,5)\)y\((9,-1)\)
\((7,-8)\)y\((5,-10)\)
\((0,-5)\)y\((6,1)\)
\((\sqrt{6}, 0)\)y\((0,2 \sqrt{3})\)
\((0, \sqrt{7})\)y\((\sqrt{5}, 0)\)

Contestar

1. \(5π\)unidades cuadradas

3. \(2π\)unidades cuadradas

5. \(\frac{9}{2} π\)unidades cuadradas

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Determinar el perímetro del triángulo dadas las coordenadas de los vértices.

\((5,3),(2,-3),\)y\((8,-3)\)
\((-3,2),(-4,-1),\)y\((-1,0)\)
\((3,3),(5,3-2 \sqrt{3}),\)y\((7,3)\)
\((0,0),(0,2 \sqrt{2}),\)y\((\sqrt{2}, 0)\)

Contestar

1. \(6+6 \sqrt{5}\)unidades

3. \(12\)unidades

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Encuentra\(a\) para que la distancia\(d\) entre los puntos sea igual a la cantidad dada.

\((1,2)\)y\((4, a) ; d=5\) unidades
\((-3, a)\)y\((5,6) ; d=10\) unidades
\((3,1)\)y\((a, 0) ; d=\sqrt{2}\) unidades
\((a, 1)\)y\((5,3) ; d=\sqrt{13}\) unidades

Contestar

1. \(-2,6\)

3. \(2,4\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Gráfica. Asegúrate de encontrar el vértice y todas las intercepciones.

\(y=x^{2}+3\)
\(y=\frac{1}{2}(x-4)^{2}\)
\(y=-2(x+1)^{2}-1\)
\(y=-(x-2)^{2}+1\)
\(y=-x^{2}+3\)
\(y=-(x+1)^{2}+5\)
\(x=y^{2}+1\)
\(x=y^{2}-4\)
\(x=(y+2)^{2}\)
\(x=(y-3)^{2}\)
\(x=-y^{2}+2\)
\(x=-(y+1)^{2}\)
\(x=\frac{1}{3}(y-3)^{2}-1\)
\(x=-\frac{1}{3}(y+3)^{2}-1\)

Contestar

11.

13.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Reescribe en forma estándar y da el vértice.

\(y=x^{2}-6 x+18\)
\(y=x^{2}+8 x+36\)
\(x=y^{2}+20 y+87\)
\(x=y^{2}-10 y+21\)
\(y=x^{2}-14 x+49\)
\(x=y^{2}+16 y+64\)
\(x=2 y^{2}-4 y+5\)
\(y=3 x^{2}-30 x+67\)
\(y=6 x^{2}+36 x+54\)
\(x=3 y^{2}+6 y-1\)
\(y=2 x^{2}-2 x-1\)
\(x=5 y^{2}+15 y+9\)
\(x=-y^{2}+5 y-5\)
\(y=-x^{2}+9 x-20\)

Contestar

1. \(y=(x-3)^{2}+9 ;\)vértice:\((3,9)\)

3. \(x=(y+10)^{2}-13 ;\)vértice:\((-13,-10)\)

5. \(y=(x-7)^{2} ;\)vértice:\((7,0)\)

7. \(x=2(y-1)^{2}+3 ;\)vértice:\((3,1)\)

9. \(y=6(x+3)^{2} ;\)vértice:\((-3,0)\)

11. \(y=2\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{3}{2} ;\)vértice:\(\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right)\)

13. \(x=-\left(y-\frac{5}{2}\right)^{2}+\frac{5}{4} ;\)vértice:\(\left(\frac{5}{4}, \frac{5}{2}\right)\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Reescribir en forma estándar y gráfica. Asegúrate de encontrar el vértice y todas las intercepciones.

\(y=x^{2}-4 x-5\)
\(y=x^{2}+6 x-16\)
\(y=-x^{2}+12 x-32\)
\(y=-x^{2}-10 x\)
\(y=2 x^{2}+4 x+9\)
\(y=3 x^{2}-6 x+4\)
\(y=-5 x^{2}+30 x-45\)
\(y=-4 x^{2}-16 x-16\)
\(x=y^{2}-2 y-8\)
\(x=y^{2}+4 y+8\)
\(x=y^{2}-2 y-3\)
\(x=y^{2}+6 y-7\)
\(x=-y^{2}-10 y-24\)
\(x=-y^{2}-12 y-40\)
\(x=3 y^{2}+12 y+12\)
\(x=-2 y^{2}+12 y-18\)
\(x=y^{2}-4 y-3\)
\(x=y^{2}+6 y+1\)
\(x=-y^{2}+2 y+5\)
\(y=2 x^{2}-2 x+1\)
\(y=-3 x^{2}+2 x+1\)
\(y=-x^{2}+3 x+10\)
\(x=-4 y^{2}-4 y-5\)
\(x=y^{2}-y+2\)
\(y=x^{2}+5 x-1\)
\(y=2 x^{2}+6 x+3\)
\(x=2 y^{2}+10 x+12\)
\(x=y^{2}+y-1\)

Contestar

1. \(y=(x-2)^{2}-9\);

3. \(y=-(x-6)^{2}+4\);

5. \(y=2(x+1)^{2}+7\);

7. \(y=-5(x-3)^{2}\);

9. \(x=(y-1)^{2}-9\);

11. \(x=(y-1)^{2}-4\);

13. \(x=-(y+5)^{2}+1\);

15. \(x=3(y+2)^{2}\);

17. \(x=(y-2)^{2}-7\);

19. \(x=-(y-1)^{2}+6\);

21. \(y=-3\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}+\frac{4}{3}\);

23. \(x=-4\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}-4\);

25. \(y=\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}-\frac{29}{4}\);

27. \(x=2\left(y+\frac{5}{2}\right)^{2}-\frac{1}{2}\);

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Investigar y discutir aplicaciones del mundo real que involucren una parábola.
¿Todas las parábola tienen\(x\) -intercepciones? Explique.
¿Todas las parábola tienen\(y\) -intercepciones? Explique.
Haz tu propia parábola que se abra a la izquierda o a la derecha, escríbalo en forma general y gráficalo.

Contestar

1. La respuesta puede variar

3. La respuesta puede variar

Notas al pie

¹ Curva obtenida de la intersección de un cono circular derecho y un plano.

² Dados dos puntos\((x_{1} , y_{1})\) y\((x_{2}, y_{2})\), la distancia\(d\) entre ellos viene dada por\(d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\).

³ Dados dos puntos\((x_{1}, y_{1})\) y\((x_{2}, y_{2})\), el punto medio es un par ordenado dado por\(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\).

⁴ El conjunto de puntos en un plano equidistante de una línea dada, llamado directrix, y un punto que no está en la línea, llamado foco.

⁵ La ecuación de una parábola escrita en la forma\(y=a x^{2}+b x+c\) o\(x=a y^{2}+b y+c\), donde\(a, b\), y\(c\) son números reales y\(a ≠ 0\).

⁶ La ecuación de una parábola escrita en la forma\(y=a(x-h)^{2}+k\) o\(x=a(y-k)^{2}+h\).

⁷ La ecuación de una parábola escrita en forma estándar a menudo se llama forma de vértice. En esta forma el vértice es aparente:\((h, k)\).