7.2: Parábolas

Al igual que elipses, has visto parábolas (e.g.$y=x^2$) y algunas de sus aplicaciones (p. ej. trayectorias de proyectiles), pero quizás sin conocer su definición puramente geométrica. La definición alternativa de elipse descrita en Ejercicio [exer:elipdirectrix] en la Sección 7.1 es, de hecho, similar a la definición de la parábola:

La figura [fig:parabolavert] ilustra la definición anterior, con un punto$P$ moviéndose a lo largo de la parábola de manera que la distancia desde$P$ el foco$F$ sea igual$P$ a la distancia desde la directriz$D$. Tenga en cuenta que el punto a medio camino entre el foco y la directriz debe estar en la parabola, ese punto es el vértice, que es el punto en la parábola más cercano a la directriz. El eje de la parábola es la línea que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz. Observe que la relación$\frac{PF}{PG}$ es igual a 1, mientras que esa relación para una elipse, según la definición alternativa, fue la excentricidad$e<1$. La excentricidad de la parábola, por lo tanto, es siempre 1. ⁴

Para construir una parábola a partir de la definición, corte un trozo de cuerda para que tenga la misma longitud$AB$ que un lado de un triángulo de dibujo, como en la Figura [fig:paraboladraw].

Sujete un extremo de la cuerda al vértice$A$ del triángulo y el otro extremo a un alfiler en algún lugar entre$A$ y$B$ —el pin será el foco$F$ de la parábola. Mantenga la cuerda tensa contra el borde$\overline{AB}$ del triángulo en un punto a cada$P$ lado del pasador, luego mueva el borde$\overline{BC}$ del triángulo a lo largo de la directriz$D$. La figura dibujada será una parábola, ya que las longitudes$PF$ y$PB$ serán iguales (ya que la longitud de la cuerda es$AB=AP+PF$ media$PF=PB$). Para derivar la ecuación de una parábola en el$xy$ plano -plano, comience con el caso simple del enfoque en el$y$ eje -en$(0,p)$, con$p>0$, y la línea$y=-p$ como la directriz, como en la figura de la derecha. El vértice está entonces en el origen$(0,0)$. Elija un punto$(x,y)$ cuyas distancias$d_1$ y$d_2$ desde el foco$(0,p)$ y la directriz$y=-p$, respectivamente, sean iguales. Entonces

$$\begin{aligned} d_1^2 ~&=~ d_2^2\\ (x-0)^2 ~+~ (y-p)^2 ~&=~ (x-x)^2 ~+~ (y+p)^2\\ x^2 ~+~ \cancel{y^2} ~-~ 2py ~+~ \cancel{p^2} ~&=~ \cancel{y^2} ~+~ 2py ~+~ \cancel{p^2}\\ x^2 ~&=~ 4py\end{aligned}$$ En otras palabras,$y = \frac{1}{4p}x^2$, que es la forma más familiar de una parábola. Así, cualquier curva de la forma$y=ax^2$, con$a \ne 0$, es una parábola cuyo foco y directriz se pueden encontrar dividiendo$a$ por$4$:$p = \frac{a}{4}$, de manera que el foco esté en$\left(0,\frac{a}{4}\right)$ y la directriz sea la línea$y=-\frac{a}{4}$. Por ejemplo, la parábola$y=x^2$ tiene su foco en$\left(0,\frac{1}{4}\right)$ y su directriz es la línea$y=-\frac{1}{4}$.

Cuando$p>0$ la parábola$4py = x^2$ se extiende hacia arriba; para$p<0$ ella se extiende hacia abajo, como en la Figura [fig:parabolap] (a) abajo:

Cambiar los roles$x$ y$y$ rendimientos de la parábola$4px=y^2$, con enfoque$(p,0)$ y directriz$x=-p$. Para$p>0$ esta parábola se extiende hacia la derecha, mientras que para$p<0$ ella se extiende hacia la izquierda. Ver Figura [fig:parabolap] (b) y (c).

Se deja como ejercicio para demostrar que en general una curva de la forma$y=ax^2+bx+c$ es una parábola. Al igual que no todas las formas ovaladas son una elipse, no todas las formas “ahuecadas” o “U” son una parábola (p. ej.$y=x^4$). La pendiente de la parábola$4py=x^2$ es$\dydx=\frac{2x}{4p}=\frac{x}{2p}$, de manera que la ecuación de la línea tangente a la parábola en un punto$(x_0,y_0)$ es:

$$\begin{aligned} y ~-~ y_0 ~&=~ \frac{x_0}{2p}\,(x - x_0)\nonumber\\ 2p\,(y-y_0) ~&=~ x_0x ~-~ x_0^2\nonumber\\ 2py ~-~ 2py_0 ~&=~ x_0x ~-~ 4py_0\nonumber\\ 2p\,(y+y_0) ~&=~ x_0x\label{eqn:parabtangenty}\end{aligned}$$ Asimismo, cambiar los roles de$x$ y$y$, la línea tangente a la parábola$4px=y^2$ en un punto$(x_0,y_0)$ es:

$$\label{eqn:parabtangentx} 2p\,(x+x_0) ~=~ y_0y$$ La fórmula ([eqn:parabtangentx]) simplifica la prueba de la propiedad de reflexión para las parábolas: la luz que brilló desde el foco hasta cualquier punto de la parábola se reflejará en un camino paralelo al eje de la parábola. La figura [fig:parabreflect] muestra la luz que emana del foco$F=(p,0)$ y que se refleja$P=(x_0,y_0)$ en un punto de la parábola$4px=y^2$. Si esa línea de reflexión es paralela al$x$ eje -el eje de la parábola- entonces la línea tangente a la parábola$(x_0,y_0)$ debe formar el mismo ángulo$\beta$ con la línea de reflexión que con el$x$ eje. Entonces extiende la línea tangente para intersectar el$x$ eje -y usa la fórmula ([eqn:parabtangentx]) para encontrar la$x$ -intercepción:

$$2p\,(x+x_0) ~=~ y_0y ~=~ y_0 \cdot 0 ~=~ 0 \quad\Rightarrow\quad x ~=~ -x_0$$ Vamos$Q=(-x_0,0)$, para que la distancia$FQ$ sea igual$p+x_0$. El objetivo es mostrar que el ángulo de incidencia$\angle FPQ$ es igual al ángulo de reflexión$\beta$. El radio focal$\overline{FP}$ tiene longitud

$$FP ~=~ \sqrt{(p-x_0)^2 + (0-y_0)^2} ~=~ \sqrt{p^2 - 2px_0 + x_0^2 + 4px_0} ~=~ \sqrt{p^2 + 2px_0 + x_0^2} ~=~ p+x_0 ~.$$ Así,$FQ=FP$ en el triángulo$\triangle FPQ$, de modo que$\angle FPQ = \angle FQP = \beta$, es decir, el camino de la luz sí satisface el Principio de Fermat para superficies curvas. $\quad\checkmark$

La propiedad de reflexión de la parábola se manifiesta en algunas aplicaciones de ingeniería, típicamente girando parte de una parábola alrededor de su eje, produciendo una superficie parabólica en tres dimensiones llamada paraboloide. Por ejemplo, solía ser común que los faros de los vehículos usaran paraboloides para su superficie reflectante interna, con una bombilla en el foco, de modo que, por la propiedad de reflexión, la luz brillaría directamente en un haz sólido. Muchas linternas aún funcionan con ese principio. La propiedad de reflexión también funciona en la dirección opuesta, razón por la cual las antenas parabólicas y los radiotelescopios suelen ser paraboloides anchos con un receptor de señal en el foco, para maximizar la recepción de las señales reflejadas entrantes.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: parabenvelope

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Solución

Supongamos que un objeto es lanzado desde el suelo con una velocidad inicial$v_0$ y en ángulos variables con el suelo. Demostrar que la familia de todas las trayectorias posibles —que son parabólicas— forman una región cuyo límite (llamado envolvente de las trayectorias) es en sí mismo una parábola.

Solución: Recuérdalo del Ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: minmax3

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Solución

en la Sección 4.1 que si el objeto es lanzado en ángulo$0<\theta<\frac{\pi}{2}$ con el suelo, entonces la altura$y$ alcanzada por el objeto en función de la distancia horizontal$x$ que recorre viene dada por

$$y ~=~ -\frac{gx^2}{2v_0^2 \cos^2\,\theta} ~+~ x\tan\,\theta ~.$$ La curva es una parábola, con la figura de la derecha mostrando estas trayectorias parabólicas para 500 valores del ángulo$\theta$. Claramente cada parábola se cruza al menos una con la otra.La distancia horizontal máxima$\frac{v_0^2}{g}$ ocurre solo para$\theta=\frac{\pi}{4}$, como se mostró en el Ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: minmax3

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Solución

. La altura vertical máxima$\frac{v_0^2}{2g}$ se alcanza cuando el objeto es lanzado hacia arriba (i.e.$\theta = \frac{\pi}{2}$), como se muestra en Ejercicio [exer:projmax0] en la Sección 5.1. Por simetría solo se deben considerar los ángulos$0<\theta\le\frac{\pi}{2}$ en un mismo plano vertical. Entonces, en la figura anterior, imagina si se incluyeron las trayectorias para todos los ángulos posibles, llenando una región que sí parece tener un límite parabólico. Ahora se demostrará que esto es cierto.

Primero, resulta que todas las parábolas para$0<\theta<\frac{\pi}{2}$ tienen la misma directrix$y=\frac{v_0^2}{2g}$. Para ver por qué, recuerda del Ejercicio [exer:projmaxangle] en la Sección 4.1 que la altura máxima alcanzada por el objeto es$\frac{v_0^2\,\sin^2 \theta}{2g}$, que es así la$y$ coordenada -del vértice de la parábola. Ese vértice está a medio camino entre el foco y la directrix. La parábola es de la forma$4py = x^2 + bx$, donde$b$ es una constante que no afecta la distancia entre el vértice y la directriz ⁵, y$4p$ es una constante con$p<0$ tal que la directriz es$-p$ unidades por encima del vértice (ya que$p<0$), al igual que en el caso $4py=x^2$. La ecuación de la parábola muestra entonces que

$$\frac{1}{4p} ~=~ -\frac{g}{2v_0^2 \cos^2\,\theta} \quad\Rightarrow\quad p ~=~ -\frac{v_0^2 \cos^2\,\theta}{2g}$$ para que la directrix esté en

$$\begin{aligned} y ~&=~ \text{$y$-coordinate of the vertex} ~+~ (-p)\\ &=~ \frac{v_0^2\,\sin^2 \theta}{2g} ~+~ -\left(-\frac{v_0^2 \cos^2\,\theta}{2g}\right) ~=~ \frac{v_0^2}{2g}(\sin^2 \theta ~+~ \cos^2\,\theta)\\ y ~&=~ \frac{v_0^2}{2g}\end{aligned}$$ Quizás sea sorprendente que todas las trayectorias parabólicas compartan la misma directriz$y=\frac{v_0^2}{2g}$, que es independiente del ángulo$\theta$. Tenga en cuenta que las alturas de cada vértice$\left(\frac{v_0^2\,\sin^2 \theta}{2g}\right)$ y enfoque$\left(\frac{v_0^2}{2g}(\sin^2 \theta - \cos^2\,\theta)\right)$ sí dependen de$\theta$. La directrix común es la clave del resto de la prueba. Ahora deja$P$ ser un punto en el primer cuadrante del$xy$ -plano por debajo de la directriz común$y=\frac{v_0^2}{2g}$, denotada por$D$. Entonces$P$ puede estar dentro, fuera o sobre el sobre, como en la Figura [fig:envelope3]:

El origen$O=(0,0)$ está en cada trayectoria, por lo que por definición de una parábola los focos para todas las trayectorias deben estar a una$\frac{v_0^2}{2g}$ distancia de$O$, es decir, la distancia de$O$ a$D$. Es decir, los focos de todas las trayectorias deben estar en el círculo$C_0$ de radio$\frac{v_0^2}{2g}$ centrado en$O$. Si$P$ hay algún otro punto dentro de la envolvente, de manera que se encuentre sobre al menos una trayectoria, entonces debe estar a una distancia$r>0$ por debajo de la línea$D$. Por definición de una parábola,$P$ debe estar a la misma distancia de los focos de cualquier trayectoria a la que pertenezca. Es decir, los focos deben estar en un círculo$C$ de radio$r$ centrado en$P$ y tocando la directriz$D$, como en la Figura [fig:envfoci3]:

En la Figura [fig:envfoci3] (a)$C$ e$C_0$ intersectar en dos puntos$F_1$ y$F_2$, así$P$ pertenece a dos trayectorias; entonces$P$ debe estar dentro de la envolvente. En la Figura [fig:envfoci3] (b)$C$ y$C_0$ no se cruzan, por lo que$P$ debe estar fuera del sobre (ya que no está en una parábola con un enfoque encendido$C_0$). Si$C$ y se$C_0$ cruzan en un solo punto$F$, como en la Figura [fig:envfoci3] (c), entonces$P$ debe estar en el sobre. En ese caso,$P$ es una distancia$r+\frac{v_0^2}{2g}$ de$O$, que es también la distancia desde$P$ la línea$y=\frac{v_0^2}{g}$ (denotada por$L$). Así, por definición de una parábola,$P$ está sobre una parábola con enfoque$O$ y directriz$L$. El vértice está en$\left(0,\frac{v_0^2}{2g}\right)$. Por lo tanto, el sobre es una parábola: el límite de la región sombreada en la figura de la derecha. $\quad\checkmark$

En Ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: parabenvelope

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Solución

todas las trayectorias estaban en el$xy$ plano solamente. Eliminar esa restricción, de manera que sean posibles trayectorias en todos los planos verticales a través$y$ del eje, resultaría en un paraboloide sólido compuesto por todas las trayectorias posibles desde el origen. Las parábolas también aparecen en los puentes colgantes: los cables de suspensión que soportan un puente horizontal (a través de tirantes verticales, como en la figura de la derecha) tienen que ser parábolas si el peso del puente se distribuye uniformemente. ⁶

[sec7dot2]

Construir una parábola usando el procedimiento mostrado en la Figura [fig:paraboladraw].

Para los Ejercicios 2-6, dibuje la gráfica de la parábola dada e indique las ubicaciones exactas del foco, vértice y directriz. [[1.] ]

5

$8y=x^2$

$y=8x^2$

$x=y^2$

$x=-3y^2$

$-1000y=x^2$

Encuentra los puntos de intersección de las parábolas$4py=x^2$ y$4px=y^2$ cuándo$p>0$. ¿Cuál es la ecuación de la línea a través de esos puntos?

Un faro de vehículo en forma de paraboloide tiene 3 pulgadas de profundidad y tiene un borde abierto con un diámetro de 8 pulgadas. ¿Dónde se debe colocar el centro de la bombilla para estar en el foco, medido en pulgadas con relación al vértice?

El recto latus de una parábola es el acorde que pasa por el foco y es paralelo a la directriz. Encuentra la longitud del recto latus para la parábola$4py=x^2$.

Mostrar que el círculo cuyo diámetro es el recto latus de una parábola toca la directriz de la parábola en un punto.

Encuentra los puntos en la parábola de$4px=y^2$ tal manera que los radios focales a esos puntos tengan la misma longitud que el recto latus.

De cada extremo del recto latus de una parábola dibuja una línea hasta el punto donde se cruzan la directriz y el eje. Mostrar que las dos líneas dibujadas son perpendiculares. [[1.] ]

Demuestre que cualquier punto que no esté en una parábola está en cero o en dos líneas tangentes a la parábola.

Mostrar que$y=mx-2mp-m^3p$ es la línea normal de pendiente$m$ a la parábola$4px=y^2$.

Desde un punto$P$ sobre una parábola con vértice$V$ deja$\overline{PQ}$ ser el segmento de línea perpendicular al eje en un punto$Q$. Mostrar que$PQ^2$ es igual al producto$QV$ y la longitud del recto latus.

Mostrar que la curva$y=ax^2+bx+c$ es una parábola para$a \ne 0$, utilizando sólo la definición de una parábola. Encuentra el foco, vértice y directrix.

Mostrar que el conjunto de todos los puntos medios de una familia de acordes paralelos en una parábola se encuentran en una línea paralela al eje de la parábola.