1.4: Números Complejos

La raíz cuadrada de −1, llamada\(i\), es importante en física y matemática por muchas razones. Las cantidades físicas medibles siempre se pueden describir por números reales. Nunca obtienes una lectura de\(i\) medidores en tu medidor. Sin embargo, veremos que cuando\(i\) se incluya junto con los números reales y las operaciones aritméticas habituales (suma, resta, multiplicación y división), entonces el álgebra, la trigonometría y el cálculo se vuelven más simples. Si bien los números complejos no son necesarios para describir los fenómenos de las olas, nos permitirán discutirlos de una manera más simple y perspicaz.

Algunas definiciones

Un número imaginario es un número de la forma\(i\) multiplicado por un número real.

Un número complejo,\(z\), es la suma de un número real y un número imaginario:\(z = a + ib.\)

Las partes reales e “imaginarias”\(Im (z)\),\(Re (z)\) y, del número complejo\(z = a+ib:\)

\[Re (z) = a , Im (z) = b.\]

Tenga en cuenta que la parte imaginaria es en realidad un número real, el coeficiente real de\(i\) in\(z = a + ib.\)

El conjugado complejo\(z^*\),, del número complejo\(z\), se obtiene cambiando el signo de\(i\):

\[z^* = a − ib.\]

Tenga en cuenta que\(Re (z) = (z + z^*)/2\) y\(Im (z) = (z − z^*)/2i.\)

El plano complejo: Debido a que un número complejo\(z\) está especificado por dos números reales, puede pensarse como un vector bidimensional, con componentes\((a, b)\). La parte real de\(z\),\(a = Re (z)\), es el\(x\) componente y la parte imaginaria de\(z\),\(b = Im (z)\), es el\(y\) componente. Los diagramas de las figuras 1.5 y 1.6 muestran dos vectores en el plano complejo junto con los números complejos correspondientes:

El valor absoluto,\(|z|\), de\(z\), es la longitud del vector\((a, b)\):

\[|z| = √{a^2 + b^2} = √{z^* z}.\]

El valor absoluto\(|z|\) es siempre un número real, no negativo.

Figura 1.5: Un vector con parte real positiva en el plano complejo.

El argumento o fase, arg\((z)\), de un número complejo distinto de cero\(z\), es el ángulo, en radianes, del vector en\((a, b)\) sentido antihorario desde el\(x\) eje:

\[arg(z) = { arctan(b/a) for a ≥ 0,\]

\[ { arctan(b/a) + π for a < 0.\]

Como cualquier ángulo, se\(arg(z)\) puede redefinir añadiendo un múltiplo de\(2π\) radianes o 360 ^◦ (ver figura 1.5 y 1.6).

Figura 1.6: Un vector con parte real negativa en el plano complejo.

Aritmética

Las operaciones aritméticas suma, resta y multiplicación sobre números complejos se definen simplemente tratando la variable\(i\) similar en álgebra, usando la ley distributiva y la relación\(i^2 = −1.\) Así si\(z = a + ib\) y\(z' = a' + ib'\), entonces

\[z + z' = (a + a') + i(b + b'),\]

\[z − z' = (a − a') + i(b − b'),\]

\[zz' = (aa' − bb' ) + i(ab' + ba').\]

Por ejemplo:

\[(3 + 4i) + (−2 + 7i) = (3 − 2) + (4 + 7)i = 1 + 11i ,\]

\[(3 + 4i) · (5 + 7i) = (3 · 5 − 4 · 7) + (3 · 7 + 4 · 5)i = −13 + 41i.\]

Vale la pena jugar con multiplicación compleja y conocer el plano complejo. En este punto, debes revisar el programa 1-2.

La división es más complicada. Dividir un número complejo\(z\) por un número real\(r\) es fácil, simplemente dividir tanto la parte real como la imaginaria por\(r\)\(z/r = a/r + ib/r.\) para obtener Dividir por un número complejo,\(z'\), podemos usar el hecho de que\(z'^* z' = |z'|^2\) es real. Si multiplicamos el numerador y el denominador de\(z/z' by z'^*\), podemos escribir:

\[z/z' = z'^*z/|z'|^2 = (aa' + bb' )/(a'^2 + b'^2) + i(ba' − ab' )/(a'^2 + b'^2).\]

Por ejemplo:

\[(3 + 4i)/(2 + i) = (3 + 4i) · (2 − i)/5 = (10 + 5i)/5 = 2 + i .\]

Con estas definiciones para las operaciones aritméticas, el valor absoluto se comporta de manera muy sencilla bajo multiplicación y división. Bajo multiplicación, el valor absoluto de un producto de dos números complejos es el producto de los valores absolutos:

\[|z z' | = |z| |z' | .\]

La división funciona de la misma manera siempre que no se divida por cero:

\[|z/z' | = |z|/|z' | if z'=0 .\]

Los matemáticos llaman a un conjunto de objetos sobre los que se definen la suma y la multiplicación y para los cuales hay un valor absoluto satisfactorio (1.51) y (1.52) un álgebra de división. Es un hecho matemático peculiar (aunque irrelevante, para nosotros) que los números complejos son uno de sólo cuatro álgebras de división, siendo los otros los números reales y cosas más extrañas llamadas cuaterniones y octonianos obtenidos al relajar los requisitos de conmutatividad y asociatividad (respectivamente) de las leyes de multiplicación.

Lo maravilloso de los números complejos desde el punto de vista del álgebra es que todas las ecuaciones polinómicas tienen soluciones. Por ejemplo, la ecuación no\(x^2 − 2x + 5 = 0\) tiene soluciones en los números reales, sino que tiene dos soluciones complejas,\(x = 1 ± 2i.\) en general, una ecuación de la forma\(p(x) = 0\), donde\(p(x)\) es un polinomio de grado\(n\) con coeficientes complejos (o reales) tiene\(n\) soluciones si los números complejos son permitido, pero puede que no tenga ninguno si\(x\) se restringe a ser real.

Obsérvese que el conjugado complejo de cualquier suma, producto, etc, de números complejos se puede obtener simplemente cambiando el signo de\(i\) donde quiera que aparezca. Esto implica que si el polinomio\(p(z)\) tiene coeficientes reales, las soluciones de\(p(z) = 0\) vienen en pares conjugados complejos. Es decir, si\(p(z) = 0\), entonces\(p(z^*) = 0\) también.

Exponenciales Complejos

Considera un número complejo\(z = a + ib\) con valor absoluto 1. Porque\(|z| = 1\) implica\(a^2 + b^2 = 1\), podemos escribir\(a\) y\(b\) como coseno y seno de un ángulo\(θ\).

\[z = cos θ + isin θ for |z| = 1 .\]

Porque

\[tan θ = \frac{sin θ}{cos θ} = \frac{b}{a}\]

el ángulo\(θ\) es el argumento de\(z\):

\[arg(cos θ + isin θ) = θ .\]

Pensemos en ello\(z\) como una función\(θ\) y consideremos el cálculo. El derivado con respecto a\(θ\) es:

\[\frac{∂}{∂θ} (cos θ + isin θ) = − sin θ + i cos θ = i(cos θ + isin θ)\]

Una función que se adentra en sí misma hasta una constante bajo diferenciación es una exponencial. En particular, si tuviéramos una función de\(θ\),\(f(θ)\), esa satisfecha\(\frac{∂}{∂θ} f(θ) = kf(θ)\) de verdad\(k\), concluiríamos que\(f(θ) = e^{kθ}.\) Así, si queremos que el cálculo funcione de la misma manera para números complejos que para números reales, debemos concluir que

\[e^{iθ} = cos θ + isin θ.\]

Podemos comprobar esta relación señalando que las expansiones de la serie Taylor de los dos lados son iguales. La expansión de Taylor de las funciones exponencial, cos y pecado son:

\[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + …\]

\[cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + …\]

\[sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + …\]

Así la expansión Taylor del lado izquierdo de (1.57) es

\[1 + iθ + (iθ)^2/2 + (iθ)^3/3! + ...\]

mientras que la expansión Taylor del lado derecho es

\[(1 − θ^2/2 + ...) + i(θ − θ^3/6 +...)\]

Los poderes de\(i\) in (1.59) funcionan de la manera justa para reproducir el patrón de signos menos en (1.60).

Además, la ley de multiplicación funciona correctamente:

\[e^{iθ}e^{iθ'} = (cos θ + isin θ)(cos θ' + isin θ' )\]

\[= (cos θ cos θ' − sin θ sin θ' ) + i(sin θ cos θ' + cos θ sin θ' )\]

\[= cos(θ + θ' ) + isin(θ + θ' ) = e^{i(θ + θ')} .\]

Así (1.57) tiene sentido en todos los aspectos. Esta conexión entre exponenciales complejos y funciones trigonométricas se llama Identidad de Euler. Es sumamente útil. Por un lado, la lógica se puede revertir y las funciones trigonométricas se pueden “definir” algebraicamente en términos de exponenciales complejos:

\[cosθ = \frac{e^{iθ} + e^{-iθ}}{2}\]

\[sinθ = \frac{e^{iθ} - e^{-iθ}}{2i} = -i \frac{e^{iθ} - e^{-iθ}}{2}\]

Usando (1.62), las identidades trigonométricas se pueden derivar de manera muy simple. Por ejemplo:

\[cos 3θ = Re (e^{3iθ}) = Re ((e^{iθ})^3) = cos^3 θ − 3 cos θ sin^2 θ .\]

Otro ejemplo que nos será útil más adelante es:

\[cos(θ + θ') + cos(θ - θ') = (e^{i(θ+θ')} + e^{−i(θ+θ')} + e^{i(θ-θ')} + e^{−i(θ-θ')}) / 2\]

\[= (e^{iθ} + e^{-iθ})(e^{iθ'} + e^{-iθ'}) / 2 = 2 cosθ cosθ'.\]

Cada número complejo distinto de cero puede escribirse como el producto de un número real positivo (su valor absoluto) y un número complejo con valor absoluto 1. Así

\[z = x + iy = R e^{iθ} where R = |z| , and θ = arg(z).\]

En el plano complejo, (1.65) expresa el hecho de que un vector bidimensional se puede escribir √ ya sea en coordenadas cartesianas\((x, y)\),, o en coordenadas polares,\((R, θ)\). Por ejemplo,\(√3+i = 2e^{iπ/6}; 1 + i = √2e^{iπ/4}; −8i = 8e^{3iπ/2} = 8e^{-iπ/2}\) la Figura 1.7 muestra el número complejo\(1 + i = √2e^{iπ/4}.\)

La relación, (1.65), da otra manera útil de pensar sobre la multiplicación de números complejos. Si

\[z_1 = R_1e^{iθ_1} and z_2 = R_2e^{iθ_2} ,\]

entonces

\[z_1z_2 = R_1R_2e^{i(θ_1+θ_2)} .\]

En palabras, para multiplicar dos números complejos, se multiplican los valores absolutos y se suman los argumentos. Ahora deberías volver y jugar con el programa 1-2 con esta relación en mente.

La ecuación (1.57) arroja una serie de relaciones que pueden parecer sorprendentes hasta que te acostumbras a ellas. Por ejemplo:\(e^{iπ} = −1; e^{iπ/2} = i; e^{2iπ} = 1.\) Estos tienen una interpretación en el plano complejo donde\(e^{iθ}\) está el vector de unidad\((cos θ,sin θ),\)